Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных

[Red_Herring]

Yu_K
Проблема с разрывными решениями: как его понимать? Ответ, разумеется записать уравнение в дивергентной форме и понимать в смысле обобщенных решений, но не уверен, что ТС готов к этому

[Yu_K]

Начать с однородного уравнения

Red_Herring в сообщении #1122844 писал(а):

2) Поищите кусочно-постоянную $f(x)=\left\{\begin{aligned} &u_1&&x<0,\\&u_2 &&x>0\end{aligned}\right. $, рассмотрите случаи $u_1 < u_2$ и $u_1 > u_2$

книжки смотреть и вперед.

[Red_Herring]

Yu_K в сообщении #1124182 писал(а):

Начать с однородного уравнения

Дело в том, что в неоднородном случае при кусочно постоянной начальной функции разрыв будет вдоль кривой $x=\phi(t)$ которую еще найти надо

[Yu_K]

Red_Herring

Yu_K в сообщении #1124167 писал(а):

Решение типа бегущей волны ищется, как решение зависящее от одной переменной

$$\xi=x-Dt$$

.В случае $F(U)=U(U-1)$, где-то видел примеры решений. Решение не сложно построить самому - оно состоит из $U=0$ при $\xi>0$, затем разрыв и за ним монотонный переход к $U=1$ при $\xi<0$.

В этом случае траектория разрыва прямая $x=Dt$, только вроде знак в правой части надо поменять $F(U)=-U(U-1)$. Скорость волны равна полусумме значений $U$ по разные стороны разрыва.

[Red_Herring]

Yu_K
В неоднородном (например с $-u^3$) случае при кусочно-постоянных начальных данных решение будет кусочно-постоянным, но с другими значениями; в нашем случае

$$U_j(t)= \frac{u_j}{\sqrt{1+2tu_j^2}}.$$

Тогда конечно мгновенная скорость разрыва будет полусуммой решений с обеих сторон

$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\Bigl( \frac{u_1}{\sqrt{1+2tu_1^2}} + \frac{u_2}{\sqrt{1+2tu_2^2}}\Bigr), \qquad x(0)=0 $$

и линия разрыва не будет прямой (исключая, конечно, случай $u_1=-u_2$)

Т.е. слева от этой линии $U=U_1(t)$, а справа $U=U_2(t)$. Но это будет правильным решением только при $u_1>u_2$.

Если же $u_1<u_2$, то решение будет другим: проведем линиии

$$\frac{dx}{dt}= \frac{u_j}{\sqrt{1+2tu_j^2}} , \qquad x(0)=0; $$

слева от левой $U=U_1(t)$, а справа от правой $U=U_2(t)$. А что же между?

Возьмем $u: u_1<u<u_2$ и проведем

$$\frac{dx}{dt}= \frac{u}{\sqrt{1+2tu^2}} , \qquad x(0)=0. $$

На ней

$$U(t)= \frac{u}{\sqrt{1+2tu^2}}.$$

Эти линии заполняют указанную зону.

[Yu_K]

Red_Herring
Получилось два варианта - аналог ударной волны, где характеристики пересекаются - первый, аналог волны разрежения, где характеристики разбегаются - второй. Обычно во всех книжках говорится о наступлении градиентной катастрофы и дальше особо эволюция разрыва не анализируется. По крайней мере, как то мне не попадалось на глаза, то что можно так просто описать динамику разрыва для неоднородного уравнения, как это сделали Вы в крайнем посте.

(Оффтоп)

Интересно, а для такого варианта http://dxdy.ru/topic25024.html можно понять как будет меняться скорость УВ и ее параметры?

Вариант бегущей волны для $U_t+UU_x=U(U-1)$. Состояния слева и справа на бесконечности стационарные точки для обыкновенного уравнения - это возможно, так как два корня у правой части - и ищется решение соединяющее два этих состояния - ну и приходится вводить разрыв, чтобы построить такое решение. Если есть только один корень, как в случае $U^3=0$ - одно стационарное состояние - может и можно что-то придумать, чтобы была бегущая волна (пример солитона или пример решения задачи Седова о сильном взрыве с треугольным импульсом - там стационарные состояния перед волной и за волной одинаковы). Ниже картинка под катом - пример решения типа бегущей волны, где скорость разрыва постоянна - и сама волна не деформируется - движется как единое целое.

(Оффтоп)

[Red_Herring]

Разумеется речь идет об ударной волне сжатия и волне разрежения и есть физически мотивированное дополнительное условие запрещающее ударные волны разрежения.

Интересные вещи происходят только после образования ударных волн которые начинают сталкиваться между собой, сливаясь (аналогично, сталкиваются и волны разрежения и между собой и с волнами сжатия. Помнится где-то здесь обсуждалась задача с 0 п.ч. и начальной $u$ кусочно-постоянной с двумя разрывами; возможны разные варианты в зависимости от неравенств между $u_1,u_2,u_3$). При этом если у-е имеет вид

$$u_t + (a(u))_x =f(u)$$

то очень важно что траектории ОДУ $u'=f(u)$ не пересекаются.

(Оффтоп)

Имейте в виду что в нелинейных УЧП я любитель.