2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение17.05.2016, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Yu_K
Проблема с разрывными решениями: как его понимать? Ответ, разумеется записать уравнение в дивергентной форме и понимать в смысле обобщенных решений, но не уверен, что ТС готов к этому

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение17.05.2016, 19:42 


02/11/08
1193
Начать с однородного уравнения :D
Red_Herring в сообщении #1122844 писал(а):
2) Поищите кусочно-постоянную $f(x)=\left\{\begin{aligned} &u_1&&x<0,\\&u_2 &&x>0\end{aligned}\right. $, рассмотрите случаи $u_1 < u_2$ и $u_1 > u_2$

книжки смотреть и вперед.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение17.05.2016, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Yu_K в сообщении #1124182 писал(а):
Начать с однородного уравнения

Дело в том, что в неоднородном случае при кусочно постоянной начальной функции разрыв будет вдоль кривой $x=\phi(t)$ которую еще найти надо

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение18.05.2016, 05:08 


02/11/08
1193
Red_Herring
Yu_K в сообщении #1124167 писал(а):
Решение типа бегущей волны ищется, как решение зависящее от одной переменной
$$\xi=x-Dt$$.В случае $F(U)=U(U-1)$, где-то видел примеры решений. Решение не сложно построить самому - оно состоит из $U=0$ при $\xi>0$, затем разрыв и за ним монотонный переход к $U=1$ при $\xi<0$.


В этом случае траектория разрыва прямая $x=Dt$, только вроде знак в правой части надо поменять $F(U)=-U(U-1)$. Скорость волны равна полусумме значений $U$ по разные стороны разрыва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение18.05.2016, 07:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Yu_K
В неоднородном (например с $-u^3$) случае при кусочно-постоянных начальных данных решение будет кусочно-постоянным, но с другими значениями; в нашем случае
$$U_j(t)= \frac{u_j}{\sqrt{1+2tu_j^2}}.$$
Тогда конечно мгновенная скорость разрыва будет полусуммой решений с обеих сторон
$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\Bigl( \frac{u_1}{\sqrt{1+2tu_1^2}} + \frac{u_2}{\sqrt{1+2tu_2^2}}\Bigr), \qquad x(0)=0
$$
и линия разрыва не будет прямой (исключая, конечно, случай $u_1=-u_2$)

Т.е. слева от этой линии $U=U_1(t)$, а справа $U=U_2(t)$. Но это будет правильным решением только при $u_1>u_2$.

Если же $u_1<u_2$, то решение будет другим: проведем линиии
$$\frac{dx}{dt}= \frac{u_j}{\sqrt{1+2tu_j^2}} , \qquad x(0)=0;
$$
слева от левой $U=U_1(t)$, а справа от правой $U=U_2(t)$. А что же между?

Возьмем $u: u_1<u<u_2$ и проведем
$$\frac{dx}{dt}= \frac{u}{\sqrt{1+2tu^2}} , \qquad x(0)=0.
$$
На ней $$U(t)= \frac{u}{\sqrt{1+2tu^2}}.$$
Эти линии заполняют указанную зону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение18.05.2016, 14:49 


02/11/08
1193
Red_Herring
Получилось два варианта - аналог ударной волны, где характеристики пересекаются - первый, аналог волны разрежения, где характеристики разбегаются - второй. Обычно во всех книжках говорится о наступлении градиентной катастрофы и дальше особо эволюция разрыва не анализируется. По крайней мере, как то мне не попадалось на глаза, то что можно так просто описать динамику разрыва для неоднородного уравнения, как это сделали Вы в крайнем посте.

(Оффтоп)

Интересно, а для такого варианта http://dxdy.ru/topic25024.html можно понять как будет меняться скорость УВ и ее параметры?


Вариант бегущей волны для $U_t+UU_x=U(U-1)$. Состояния слева и справа на бесконечности стационарные точки для обыкновенного уравнения - это возможно, так как два корня у правой части - и ищется решение соединяющее два этих состояния - ну и приходится вводить разрыв, чтобы построить такое решение. Если есть только один корень, как в случае $U^3=0$ - одно стационарное состояние - может и можно что-то придумать, чтобы была бегущая волна (пример солитона или пример решения задачи Седова о сильном взрыве с треугольным импульсом - там стационарные состояния перед волной и за волной одинаковы). Ниже картинка под катом - пример решения типа бегущей волны, где скорость разрыва постоянна - и сама волна не деформируется - движется как единое целое.

(Оффтоп)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение18.05.2016, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Разумеется речь идет об ударной волне сжатия и волне разрежения и есть физически мотивированное дополнительное условие запрещающее ударные волны разрежения.

Интересные вещи происходят только после образования ударных волн которые начинают сталкиваться между собой, сливаясь (аналогично, сталкиваются и волны разрежения и между собой и с волнами сжатия. Помнится где-то здесь обсуждалась задача с 0 п.ч. и начальной $u$ кусочно-постоянной с двумя разрывами; возможны разные варианты в зависимости от неравенств между $u_1,u_2,u_3$). При этом если у-е имеет вид
$$u_t + (a(u))_x =f(u)$$
то очень важно что траектории ОДУ $u'=f(u)$ не пересекаются.

(Оффтоп)

Имейте в виду что в нелинейных УЧП я любитель.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group