2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Yu_K в сообщении #1123425 писал(а):
Red_Herring
Вроде для любых начальных значений, вдоль характеристики решение стремится к нулю. Или там "казусы" могут быть?

Стремятся разумеется, но не быстро. Сами посмотрите, как стремятся к $0$ решения $v'=-v^3$? Как $t^{-1/2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 23:23 


11/05/16
20
Red_Herring писал(а):

Извините, наверно я многого прошу уже. Но я если честно не совсем понимаю что собственно найдено.
Если мы нашли при решении ОДУ- $ v (x t^{-1/2})$, а $C_1$ я как понимаю мы зануляем,получаем вот это и подставляем его в $u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})$. Но это же явно не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 23:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Так где же правильное ОДУ? Подсказка: Yu_K в сообщении #1123401 его выписал.

Любое $c_1$ в решении правильного ОДУ даст в итоге автомодельное решение (их же может быть много). Разумеется, надо взять таким чтобы $v$ было определено для всех значений аргумента.

Кстати, что будет происходить при изменении $t$ с графиком $u(x; t)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 00:25 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1123460 писал(а):
Так где же правильное ОДУ? Подсказка: Yu_K в
Любое $c_1$ в решении правильного ОДУ даст в итоге автомодельное решение (их же может быть много). Разумеется, надо взять таким чтобы $v$ было определено для всех значений аргумента.

Так я его и [решил], просто поменял $v$ на $z$, что бы вольфрам не ругался.Вот при упрощении что v(y)= $C_1+(2 v^3-v)\log(y-2 v)$
Что с этими $v$ то делать?
Цитата:
Кстати, что будет происходить при изменении $t$ с графиком $u(x; t)$ ?

Убывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
MarshalBanana в сообщении #1123462 писал(а):
просто поменял
Ну как то странно поменяли. Т.б. что у меня вольфрамальфа не ругается а работает.

Ну сами хоть написать $u(x,t)$ сможете?



MarshalBanana в сообщении #1123462 писал(а):
Убывает?

Сжимается по одной оси и во столько же раз растягивается по другой, т.ч. если бы площадь была конечной, то оставалась бы постоянной (но она увы неопределена)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 01:08 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1123464 писал(а):
Ну как то странно поменяли. Т.б. что у меня вольфрамальфа не ругается а работает.

Ну сами хоть написать $u(x,t)$ сможете?

-- 13.05.2016, 16:46 --

Ну вообще вы говорили про независимую $v$ вот я и подумал. А не важно, я просто совсем перестал походу вьезжать в то, что делаю
Цитата:
Ну сами хоть написать $u(x,t)$ сможете?

Ну я так понимаю заменяю $y$ обратно на $xt^{-(1/2)}$ и подставляю сюда $u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})$
Про $C$ я правда не понял, я в принципе туда же могу любое число, кроме нуля подставить

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 01:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
MarshalBanana в сообщении #1123466 писал(а):
Ну я так понимаю заменяю

Так сделайте
MarshalBanana в сообщении #1123466 писал(а):
я в принципе туда же могу любое число, кроме нуля подставить

Если подставите $1/2$ будет $v$ определено в $y=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 22:11 


11/05/16
20
Забавный круг мы проделали, всё пришло опять к тому, что получается $\frac{const}{x}$
Походу других решений и нету.
Ну ладно, всё равно больше спасибо за помощь всем вам, особенно Red_Herring за то, что терпел мою тормознутость.
P.S Если конечно я опять не ошибся как обычно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 23:05 


02/11/08
1193
Ошибаетесь. При каждом значении константы будет своё решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Да как же нет? Вольфрам же выдал цельное семейство которое ведет
$$u(x,t)= \frac{x \pm \sqrt{c^2 x^2 + 2(c^4-c^2)t}}{2c^2 t+x^2}$$

Чтобы иметь вещественную функцию при всех $-\infty<x<\infty, t>0$ мы должны потребовать либо $c=0$, либо $c\ge 1$.

Кстати, как связаны решения с "$+$" и "$-$"?

В частности, при $c=1$ будут весьма интересные решения
$$u(x,t)= \frac{x \pm |x|}{2 t+x^2}$$

Поскольку оба они равны 0 при x=0, то их можно "перешить" в
$$u(x,t)= \frac{2x}{2 t+x^2}\qquad\text{и}\qquad u(x,t)= \frac{2|x|}{2 t+x^2}$$


Напротив, решение с $c=0 $ следует отбросить из-за сингулярности при $x=0$.
Заодно познакомились с автомодельными решениями очень полезными для приложений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение15.05.2016, 01:53 


11/05/16
20
Ну да, конечно же, я просто так расстроился, когда посмотрел на это $u(x,t)$ и резко занулил $t$ для получения начального условия и увидел $\frac{2}{x}$, что даже не пытался подставить просто функцию в уравнение и посмотреть что получается :( .
Ну а автомодельное решение очень интересная штукенция, хоть и не для всех задач.
Ещё раз спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение15.05.2016, 02:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
MarshalBanana в сообщении #1123625 писал(а):
Ну да, конечно же, я просто так расстроился, когда посмотрел на это $u(x,t)$ и резко занулил $t$ для получения начального условия и увидел $\frac{2}{x}$,
Даже если мы занулим $t$, то получим отнюдь не $\frac{2}{x}$ (корень арифметический!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение15.05.2016, 05:54 


02/11/08
1193
И ещё решение типа бегущей волны можно попробовать построить - с разрывом и приклеенной к нему зоной "релаксации".

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение16.05.2016, 22:41 


11/05/16
20
Yu_K в сообщении #1123647 писал(а):
И ещё решение типа бегущей волны можно попробовать построить - с разрывом и приклеенной к нему зоной "релаксации".

Извините, я совершенно не заметил ваше сообщение. Да, я был бы рад послушать, хоть и не совсем понял, что значит "зона релаксации"(это резкий скачок вниз графика до нуля, а потом возрастание?) т.к дифференциальные уравнения не являются моей специальностью.
И что понимается в физическом смысла под правой частью уравнения($-u^3$) попытки загуглить не увенчались успехом, там везде идёт однородное уравнение.(Я примерно понимаю, что это связано с воздействием на течение жидкости)
И если вы знаете ссылки на книги/статьи где описываются уравнения подобные моему, поделитесь, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение17.05.2016, 18:54 


02/11/08
1193
Решение типа бегущей волны ищется, как решение зависящее от одной переменной
$$\xi=x-Dt$$
Ваше уравнение перепишется в виде $(U-D)U'_{\xi}=F(U), F(U)=U^3$ - обыкновенный диффур. И можно строить решения с разрывами, при этом скорость волны $D$ должна быть связана со значениями функции $U$ по разные стороны от разрыва, определенным соотношением (получается аналог ударной волны в газовой динамике). Понятие "релаксации" я понимаю для подобной задачи, как переход решения в некоторое стационарное состояние на бесконечности. Погуглите "структура ударных волн в релаксирующих средах". В случае $F(U)=U(U-1)$, где-то видел примеры решений. Решение не сложно построить самому - оно состоит из $U=0$ при $\xi>0$, затем разрыв и за ним монотонный переход к $U=1$ при $\xi<0$ - получается хороший тестовый пример для численного расчета нестационарной задачи, как и построенное выше автомодельное решение.
Должно быть что-то в книжках Уизема Дж. Линейные и нелинейные волны, у Б.Л.Рождественский, Н.Н.Яненко СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ и т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group