2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение12.05.2016, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
MarshalBanana в сообщении #1123149 писал(а):
Я так понимаю

Нет. Проделайте Шаг 1 сами (поскольку я не знаю, какие обозначения Вы вытащили из статьи. Правильно будет исправленная (*) и Вы получите ОДУ в котором не будет ни $x$ ни $t$ отдельно а только $xt^{-1/2}=y$. Найдите решение (которое должно зависеть от произвольной константы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение12.05.2016, 22:11 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1123171 писал(а):
Нет. Проделайте Шаг 1 сами (поскольку я не знаю, какие обозначения Вы вытащили из статьи. Правильно будет исправленная (*) и Вы получите ОДУ в котором не будет ни $x$ ни $t$ отдельно а только $xt^{-1/2}=y$. Найдите решение (которое должно зависеть от произвольной константы).


Я на самом деле подставил вашу функцию (*) просто не обозначал $xt^{-1/2}=y$ и не выражал от туда $x$(Если это вообще надо было).
Цитата:
$\nu=t^{1/2}$ и получаем
u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})

А там точно перед функцией $t^{-1/2}$.
И да, я забыл на самом деле дописать условия задачи.
$$-\infty<x<+\infty , t\in[0, T], T=const $$
Если это на что-то повлияет

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение12.05.2016, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Где ОДУ для $v$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение12.05.2016, 23:16 
Аватара пользователя


05/04/13
580
может попробовать найти сначала какое нибудь стационарное решение $u(x,t)=v(x,t)e^{i\mu t}$, а потом воздействовать соответствующим галилеевым преобразованием, чтоб найти бегущее решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение12.05.2016, 23:24 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1123215 писал(а):
Где ОДУ для $v$?

Так вот же. в результате.
Просто я там ещё пару вопрос задал по поводу нужно ли выражать $x$ из $xt^{-1/2}=y$ и подставлять его в начальное уравнение. Я просто не совсем понимаю, что я сейчас делаю и как мне это поможет найти начальное условие при $t=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
MarshalBanana в сообщении #1123225 писал(а):
Так вот же.
в

Сделайте сами, руками. Т.б. что там вроде неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 00:21 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1123244 писал(а):
Сделайте сами, руками. Т.б. что там вроде неверно.

Руками я конечно решу, но завтра. И ответьте, пожалуйста, на вопрос.$xt^{-1/2}=y$ отсюда нужно выражать $x$ для замены $x$ в моём уравнении или просто подставляю $u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
MarshalBanana в сообщении #1123252 писал(а):
просто подставляю
Просто подставьте, сократите и узрите, что
Red_Herring в сообщении #1123171 писал(а):
получите ОДУ в котором не будет ни $x$ ни $t$ отдельно а только $xt^{-1/2}=y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 18:20 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1123261 писал(а):
Просто подставьте, сократите и узрите

$$
\frac{\partial}{\partial t}(\frac{v(y)}{\sqrt t}) + (\frac{v(y)}{\sqrt t})(\frac{\partial v(y)}{\partial x})=(\frac{v(y)}{\sqrt t})^3
$$
Считаем
$$
- \frac{v(y)}{2t^{3/2}} -  \frac{xv'(y)}{2t^2}+ \frac{2v(y)}{\sqrt t}\frac{v'(y)}{t^{3/2}}= \frac{v(y)^3}{2t^{3/2}}
$$
Сокращаем на $2t^{3/2}$ и пару преобразований делаем.
$$
v'(y)(\sqrt t x -2v(y))+v(y)-v(y)^3
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 18:38 


02/11/08
1193
MarshalBanana в сообщении #1123392 писал(а):
Red_Herring в сообщении #1123261 писал(а):
Просто подставьте, сократите и узрите

...
Сокращаем на $2t^{3/2}$ и пару преобразований делаем.
$$
v'(y)(\sqrt t x -2v(y))+v(y)-v(y)^3
$$

Вроде немного напутали - что-то такое должно получиться (кстати Wolfram там выше у Вас правильно все продифференцировал)
$$v'(-y +2v)-v=-2v^3$$ - проверьте еще раз знаки и прочее. Но тоже не очень хорошее уравнение.

То что начали с характеристиками делать - там понятно что решение сильно затухает и асимптотика вроде очевидная. Вообще какая цель ставится - если нужно подобрать функцию, чтобы была красивая явная формула для решения - то это очень маловероятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Ну не умеете Вы дифференцировать! В третьем члене во второй строке ошибка. И умножать не умеете.

-- 13.05.2016, 10:42 --

Yu_K в сообщении #1123401 писал(а):
Но тоже не очень хорошее уравнение.

А если считать независимой переменной $v$? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 18:54 


02/11/08
1193
Да правильно - был такой порыв - почему то я его отверг. И ещё вопрос - там особенность при $t=0$ - в центрированных волнах это как-то обходится - подзабыл уже - а здесь не ясно что будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Yu_K в сообщении #1123401 писал(а):
То что начали с характеристиками делать - там понятно что решение сильно затухает

Отнюдь: за затухание ответственен $-v^3 \ll v$ при $v\ll 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 19:35 


02/11/08
1193
Red_Herring
Вроде для любых начальных значений, вдоль характеристики решение стремится к нулю. Или там "казусы" могут быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 20:03 


11/05/16
20
Производную то я правильно посчитал, а вот преобразования на отдельной строчке делать поленился...
Получается что-то такое. Нам сейчас нужно найти $C_1$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group