Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных

[Red_Herring]

Yu_K в сообщении #1123425 писал(а):

Red_Herring
Вроде для любых начальных значений, вдоль характеристики решение стремится к нулю. Или там "казусы" могут быть?

Стремятся разумеется, но не быстро. Сами посмотрите, как стремятся к $0$ решения $v'=-v^3$? Как $t^{-1/2}$

[MarshalBanana]

Red_Herring писал(а):

Извините, наверно я многого прошу уже. Но я если честно не совсем понимаю что собственно найдено.
Если мы нашли при решении ОДУ- $ v (x t^{-1/2})$, а $C_1$ я как понимаю мы зануляем,получаем вот это и подставляем его в $u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})$. Но это же явно не так.

[Red_Herring]

Так где же правильное ОДУ? Подсказка: Yu_K в сообщении #1123401 его выписал.

Любое $c_1$ в решении правильного ОДУ даст в итоге автомодельное решение (их же может быть много). Разумеется, надо взять таким чтобы $v$ было определено для всех значений аргумента.

Кстати, что будет происходить при изменении $t$ с графиком $u(x; t)$ ?

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1123460 писал(а):

Так где же правильное ОДУ? Подсказка: Yu_K в
Любое $c_1$ в решении правильного ОДУ даст в итоге автомодельное решение (их же может быть много). Разумеется, надо взять таким чтобы $v$ было определено для всех значений аргумента.

Так я его и [решил], просто поменял $v$ на $z$, что бы вольфрам не ругался.Вот при упрощении что v(y)= $C_1+(2 v^3-v)\log(y-2 v)$
Что с этими $v$ то делать?

Цитата:

Кстати, что будет происходить при изменении $t$ с графиком $u(x; t)$ ?

Убывает?

[Red_Herring]

MarshalBanana в сообщении #1123462 писал(а):

просто поменял

Ну как то странно поменяли. Т.б. что у меня вольфрамальфа не ругается а работает.

Ну сами хоть написать $u(x,t)$ сможете?

MarshalBanana в сообщении #1123462 писал(а):

Убывает?

Сжимается по одной оси и во столько же раз растягивается по другой, т.ч. если бы площадь была конечной, то оставалась бы постоянной (но она увы неопределена)

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1123464 писал(а):

Ну как то странно поменяли. Т.б. что у меня вольфрамальфа не ругается а работает.

Ну сами хоть написать $u(x,t)$ сможете?

-- 13.05.2016, 16:46 --

Ну вообще вы говорили про независимую $v$ вот я и подумал. А не важно, я просто совсем перестал походу вьезжать в то, что делаю

Цитата:

Ну сами хоть написать $u(x,t)$ сможете?

Ну я так понимаю заменяю $y$ обратно на $xt^{-(1/2)}$ и подставляю сюда $u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})$
Про $C$ я правда не понял, я в принципе туда же могу любое число, кроме нуля подставить

[Red_Herring]

MarshalBanana в сообщении #1123466 писал(а):

Ну я так понимаю заменяю

Так сделайте

MarshalBanana в сообщении #1123466 писал(а):

я в принципе туда же могу любое число, кроме нуля подставить

Если подставите $1/2$ будет $v$ определено в $y=0$?

[MarshalBanana]

Забавный круг мы проделали, всё пришло опять к тому, что получается $\frac{const}{x}$
Походу других решений и нету.
Ну ладно, всё равно больше спасибо за помощь всем вам, особенно Red_Herring за то, что терпел мою тормознутость.
P.S Если конечно я опять не ошибся как обычно.

[Yu_K]

Ошибаетесь. При каждом значении константы будет своё решение.

[Red_Herring]

Да как же нет? Вольфрам же выдал цельное семейство которое ведет

$$u(x,t)= \frac{x \pm \sqrt{c^2 x^2 + 2(c^4-c^2)t}}{2c^2 t+x^2}$$

Чтобы иметь вещественную функцию при всех $-\infty<x<\infty, t>0$ мы должны потребовать либо $c=0$, либо $c\ge 1$.

Кстати, как связаны решения с "$+$" и "$-$"?

В частности, при $c=1$ будут весьма интересные решения

$$u(x,t)= \frac{x \pm |x|}{2 t+x^2}$$

Поскольку оба они равны 0 при x=0, то их можно "перешить" в

$$u(x,t)= \frac{2x}{2 t+x^2}\qquad\text{и}\qquad u(x,t)= \frac{2|x|}{2 t+x^2}$$

Напротив, решение с $c=0 $ следует отбросить из-за сингулярности при $x=0$.
Заодно познакомились с автомодельными решениями очень полезными для приложений.

[MarshalBanana]

Ну да, конечно же, я просто так расстроился, когда посмотрел на это $u(x,t)$ и резко занулил $t$ для получения начального условия и увидел $\frac{2}{x}$, что даже не пытался подставить просто функцию в уравнение и посмотреть что получается :( .
Ну а автомодельное решение очень интересная штукенция, хоть и не для всех задач.
Ещё раз спасибо.

[Red_Herring]

MarshalBanana в сообщении #1123625 писал(а):

Ну да, конечно же, я просто так расстроился, когда посмотрел на это $u(x,t)$ и резко занулил $t$ для получения начального условия и увидел $\frac{2}{x}$,

Даже если мы занулим $t$, то получим отнюдь не $\frac{2}{x}$ (корень арифметический!)

[Yu_K]

И ещё решение типа бегущей волны можно попробовать построить - с разрывом и приклеенной к нему зоной "релаксации".

[MarshalBanana]

Yu_K в сообщении #1123647 писал(а):

И ещё решение типа бегущей волны можно попробовать построить - с разрывом и приклеенной к нему зоной "релаксации".

Извините, я совершенно не заметил ваше сообщение. Да, я был бы рад послушать, хоть и не совсем понял, что значит "зона релаксации"(это резкий скачок вниз графика до нуля, а потом возрастание?) т.к дифференциальные уравнения не являются моей специальностью.
И что понимается в физическом смысла под правой частью уравнения($-u^3$) попытки загуглить не увенчались успехом, там везде идёт однородное уравнение.(Я примерно понимаю, что это связано с воздействием на течение жидкости)
И если вы знаете ссылки на книги/статьи где описываются уравнения подобные моему, поделитесь, пожалуйста.

[Yu_K]

Решение типа бегущей волны ищется, как решение зависящее от одной переменной

$$\xi=x-Dt$$

Ваше уравнение перепишется в виде $(U-D)U'_{\xi}=F(U), F(U)=U^3$ - обыкновенный диффур. И можно строить решения с разрывами, при этом скорость волны $D$ должна быть связана со значениями функции $U$ по разные стороны от разрыва, определенным соотношением (получается аналог ударной волны в газовой динамике). Понятие "релаксации" я понимаю для подобной задачи, как переход решения в некоторое стационарное состояние на бесконечности. Погуглите "структура ударных волн в релаксирующих средах". В случае $F(U)=U(U-1)$, где-то видел примеры решений. Решение не сложно построить самому - оно состоит из $U=0$ при $\xi>0$, затем разрыв и за ним монотонный переход к $U=1$ при $\xi<0$ - получается хороший тестовый пример для численного расчета нестационарной задачи, как и построенное выше автомодельное решение.
Должно быть что-то в книжках Уизема Дж. Линейные и нелинейные волны, у Б.Л.Рождественский, Н.Н.Яненко СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ и т.д.