2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Yu_K в сообщении #1123425 писал(а):
Red_Herring
Вроде для любых начальных значений, вдоль характеристики решение стремится к нулю. Или там "казусы" могут быть?

Стремятся разумеется, но не быстро. Сами посмотрите, как стремятся к $0$ решения $v'=-v^3$? Как $t^{-1/2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 23:23 


11/05/16
20
Red_Herring писал(а):

Извините, наверно я многого прошу уже. Но я если честно не совсем понимаю что собственно найдено.
Если мы нашли при решении ОДУ- $ v (x t^{-1/2})$, а $C_1$ я как понимаю мы зануляем,получаем вот это и подставляем его в $u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})$. Но это же явно не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение13.05.2016, 23:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Так где же правильное ОДУ? Подсказка: Yu_K в сообщении #1123401 его выписал.

Любое $c_1$ в решении правильного ОДУ даст в итоге автомодельное решение (их же может быть много). Разумеется, надо взять таким чтобы $v$ было определено для всех значений аргумента.

Кстати, что будет происходить при изменении $t$ с графиком $u(x; t)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 00:25 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1123460 писал(а):
Так где же правильное ОДУ? Подсказка: Yu_K в
Любое $c_1$ в решении правильного ОДУ даст в итоге автомодельное решение (их же может быть много). Разумеется, надо взять таким чтобы $v$ было определено для всех значений аргумента.

Так я его и [решил], просто поменял $v$ на $z$, что бы вольфрам не ругался.Вот при упрощении что v(y)= $C_1+(2 v^3-v)\log(y-2 v)$
Что с этими $v$ то делать?
Цитата:
Кстати, что будет происходить при изменении $t$ с графиком $u(x; t)$ ?

Убывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
MarshalBanana в сообщении #1123462 писал(а):
просто поменял
Ну как то странно поменяли. Т.б. что у меня вольфрамальфа не ругается а работает.

Ну сами хоть написать $u(x,t)$ сможете?



MarshalBanana в сообщении #1123462 писал(а):
Убывает?

Сжимается по одной оси и во столько же раз растягивается по другой, т.ч. если бы площадь была конечной, то оставалась бы постоянной (но она увы неопределена)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 01:08 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1123464 писал(а):
Ну как то странно поменяли. Т.б. что у меня вольфрамальфа не ругается а работает.

Ну сами хоть написать $u(x,t)$ сможете?

-- 13.05.2016, 16:46 --

Ну вообще вы говорили про независимую $v$ вот я и подумал. А не важно, я просто совсем перестал походу вьезжать в то, что делаю
Цитата:
Ну сами хоть написать $u(x,t)$ сможете?

Ну я так понимаю заменяю $y$ обратно на $xt^{-(1/2)}$ и подставляю сюда $u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})$
Про $C$ я правда не понял, я в принципе туда же могу любое число, кроме нуля подставить

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 01:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
MarshalBanana в сообщении #1123466 писал(а):
Ну я так понимаю заменяю

Так сделайте
MarshalBanana в сообщении #1123466 писал(а):
я в принципе туда же могу любое число, кроме нуля подставить

Если подставите $1/2$ будет $v$ определено в $y=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 22:11 


11/05/16
20
Забавный круг мы проделали, всё пришло опять к тому, что получается $\frac{const}{x}$
Походу других решений и нету.
Ну ладно, всё равно больше спасибо за помощь всем вам, особенно Red_Herring за то, что терпел мою тормознутость.
P.S Если конечно я опять не ошибся как обычно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 23:05 


02/11/08
1193
Ошибаетесь. При каждом значении константы будет своё решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение14.05.2016, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Да как же нет? Вольфрам же выдал цельное семейство которое ведет
$$u(x,t)= \frac{x \pm \sqrt{c^2 x^2 + 2(c^4-c^2)t}}{2c^2 t+x^2}$$

Чтобы иметь вещественную функцию при всех $-\infty<x<\infty, t>0$ мы должны потребовать либо $c=0$, либо $c\ge 1$.

Кстати, как связаны решения с "$+$" и "$-$"?

В частности, при $c=1$ будут весьма интересные решения
$$u(x,t)= \frac{x \pm |x|}{2 t+x^2}$$

Поскольку оба они равны 0 при x=0, то их можно "перешить" в
$$u(x,t)= \frac{2x}{2 t+x^2}\qquad\text{и}\qquad u(x,t)= \frac{2|x|}{2 t+x^2}$$


Напротив, решение с $c=0 $ следует отбросить из-за сингулярности при $x=0$.
Заодно познакомились с автомодельными решениями очень полезными для приложений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение15.05.2016, 01:53 


11/05/16
20
Ну да, конечно же, я просто так расстроился, когда посмотрел на это $u(x,t)$ и резко занулил $t$ для получения начального условия и увидел $\frac{2}{x}$, что даже не пытался подставить просто функцию в уравнение и посмотреть что получается :( .
Ну а автомодельное решение очень интересная штукенция, хоть и не для всех задач.
Ещё раз спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение15.05.2016, 02:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
MarshalBanana в сообщении #1123625 писал(а):
Ну да, конечно же, я просто так расстроился, когда посмотрел на это $u(x,t)$ и резко занулил $t$ для получения начального условия и увидел $\frac{2}{x}$,
Даже если мы занулим $t$, то получим отнюдь не $\frac{2}{x}$ (корень арифметический!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение15.05.2016, 05:54 


02/11/08
1193
И ещё решение типа бегущей волны можно попробовать построить - с разрывом и приклеенной к нему зоной "релаксации".

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение16.05.2016, 22:41 


11/05/16
20
Yu_K в сообщении #1123647 писал(а):
И ещё решение типа бегущей волны можно попробовать построить - с разрывом и приклеенной к нему зоной "релаксации".

Извините, я совершенно не заметил ваше сообщение. Да, я был бы рад послушать, хоть и не совсем понял, что значит "зона релаксации"(это резкий скачок вниз графика до нуля, а потом возрастание?) т.к дифференциальные уравнения не являются моей специальностью.
И что понимается в физическом смысла под правой частью уравнения($-u^3$) попытки загуглить не увенчались успехом, там везде идёт однородное уравнение.(Я примерно понимаю, что это связано с воздействием на течение жидкости)
И если вы знаете ссылки на книги/статьи где описываются уравнения подобные моему, поделитесь, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение17.05.2016, 18:54 


02/11/08
1193
Решение типа бегущей волны ищется, как решение зависящее от одной переменной
$$\xi=x-Dt$$
Ваше уравнение перепишется в виде $(U-D)U'_{\xi}=F(U), F(U)=U^3$ - обыкновенный диффур. И можно строить решения с разрывами, при этом скорость волны $D$ должна быть связана со значениями функции $U$ по разные стороны от разрыва, определенным соотношением (получается аналог ударной волны в газовой динамике). Понятие "релаксации" я понимаю для подобной задачи, как переход решения в некоторое стационарное состояние на бесконечности. Погуглите "структура ударных волн в релаксирующих средах". В случае $F(U)=U(U-1)$, где-то видел примеры решений. Решение не сложно построить самому - оно состоит из $U=0$ при $\xi>0$, затем разрыв и за ним монотонный переход к $U=1$ при $\xi<0$ - получается хороший тестовый пример для численного расчета нестационарной задачи, как и построенное выше автомодельное решение.
Должно быть что-то в книжках Уизема Дж. Линейные и нелинейные волны, у Б.Л.Рождественский, Н.Н.Яненко СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ и т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group