Решение типа бегущей волны ищется, как решение зависящее от одной переменной
Ваше уравнение перепишется в виде
- обыкновенный диффур. И можно строить решения с разрывами, при этом скорость волны
должна быть связана со значениями функции
по разные стороны от разрыва, определенным соотношением (получается аналог ударной волны в газовой динамике). Понятие "релаксации" я понимаю для подобной задачи, как переход решения в некоторое стационарное состояние на бесконечности. Погуглите "структура ударных волн в релаксирующих средах". В случае
, где-то видел примеры решений. Решение не сложно построить самому - оно состоит из
при
, затем разрыв и за ним монотонный переход к
при
- получается хороший тестовый пример для численного расчета нестационарной задачи, как и построенное выше автомодельное решение.
Должно быть что-то в книжках Уизема Дж. Линейные и нелинейные волны, у Б.Л.Рождественский, Н.Н.Яненко СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ и т.д.