Кольцо из 5 элементов либо изоморфно Z5, либо нулевое умнож.

[student1138]

RIP в сообщении #1117747 писал(а):

Докажите, что тогда найдётся такой элемент $e=ka\ne0$, что $e^2=e$.

Доказал методом тупого перебора:
$a^2 = 2a \Rightarrow e = 3a$
$a^2 = 3a \Rightarrow e = 2a$
$a^2 = 4a \Rightarrow e = 4a$

Значит всегда существует элемент $e$ квадрат которого равен ему самому. Выбираем его вместо $a$. И тогда отображение $ne \mapsto n$ будет изоморфизмом.

[provincialka]

А если так попробовать? Умножим $a$ на $a,2a,3a,4a$, получим элементы $b,2b,3b,4b$. Может получится одно из двух. Либо эти элементы все различные, либо два совпадают. А чему в этом случае равно $b$?

[student1138]

provincialka в сообщении #1117843 писал(а):

А если так попробовать? Умножим $a$ на $a,2a,3a,4a$, получим элементы $b,2b,3b,4b$. Может получится одно из двух. Либо эти элементы все различные, либо два совпадают. А чему в этом случае равно $b$?

Я так понимаю что совпадать они могут только если $b = 0$ в этом случае получим кольцо с нулевым умножением. В противном случае они все разные. Тогда надо вернуться к предыдущему рассуждению, перебором доказать что всегда найдется $e$ такой что $e^2 = e$ и тогда кольцо изоморфно $Z_5$

[provincialka]

student1138 в сообщении #1117879 писал(а):

В противном случае они все разные. Тогда надо вернуться к предыдущему рассуждению, перебором

Нет! Не надо возвращаться. Если все произведения разные и не нули, то среди них обязательно встретится $a$, например, $a\cdot c = a$. Вот это $c$ и будет единицей.

[student1138]

provincialka в сообщении #1117885 писал(а):

Нет! Не надо возвращаться. Если все произведения разные и не нули, то среди них обязательно встретится $a$, например, $a\cdot c = a$. Вот это $c$ и будет единицей.

Спасибо большое, разобрался. Так получается утверждение задачи верно для любого простого $p$, не только для 5, верно?

[Xaositect]

student1138 в сообщении #1117917 писал(а):

Спасибо большое, разобрался. Так получается утверждение задачи верно для любого простого $p$, не только для 5, верно?

Верно.

[provincialka]

student1138
О! Я надеялась, что вы догадаетесь про любое простое. Молодец!

[jiffy]

provincialka в сообщении #1117885 писал(а):

student1138 в сообщении #1117879 писал(а):

В противном случае они все разные. Тогда надо вернуться к предыдущему рассуждению, перебором

Нет! Не надо возвращаться. Если все произведения разные и не нули, то среди них обязательно встретится $a$, например, $a\cdot c = a$. Вот это $c$ и будет единицей.

Мы полагаем, что кольцо коммутативное? Если коммутативное, то $a\cdot c = a$, конечно, даст нам единицу.
Но вот в изначальном условии про коммутативность кольца не упоминается. Там просто "кольцо из пяти элементов".

[Xaositect]

jiffy в сообщении #1213772 писал(а):

Мы полагаем, что кольцо коммутативное? Если коммутативное, то $a\cdot c = a$, конечно, даст нам единицу.

Все сработает, если $c$ - односторонняя единица.

[jiffy]

provincialka в сообщении #1117843 писал(а):

А если так попробовать? Умножим $a$ на $a,2a,3a,4a$, получим элементы $b,2b,3b,4b$. Может получится одно из двух. Либо эти элементы все различные, либо два совпадают. А чему в этом случае равно $b$?

Вот туплю: почему из совпадения двух элементов из $b,2b,3b,4b$ следует, что $x \cdot y = 0$ для любых двух элементов из кольца?

[AV_77]

jiffy в сообщении #1214293 писал(а):

почему из совпадения двух элементов из $b,2b,3b,4b$ следует, что $x \cdot y = 0$ для любых двух элементов из кольца?

Пусть $nb = mb$, причем $0 \leq n < m < 5$. Тогда $(m - n)b = 0$. Чему тогда равно $b$, если аддитивная группа кольца является циклической простого порядка?

[jiffy]

AV_77 в сообщении #1214300 писал(а):

jiffy в сообщении #1214293 писал(а):

почему из совпадения двух элементов из $b,2b,3b,4b$ следует, что $x \cdot y = 0$ для любых двух элементов из кольца?

Пусть $nb = mb$, причем $0 \leq n < m < 5$. Тогда $(m - n)b = 0$. Чему тогда равно $b$, если аддитивная группа кольца является циклической простого порядка?

Это понятно, что $b$ равно нулю.
Но тогда что же, получается, что все элементы кольца равны нулю, то есть кольцо состоит из одного элемента?

[AV_77]

Нет, тогда получается, что $a^2 = b = 0$ и кольцо с нулевым умножением.

[jiffy]

AV_77 в сообщении #1214304 писал(а):

Нет, тогда получается, что $a^2 = b = 0$ и кольцо с нулевым умножением.

Я еще разок проговорю доказательство, на случай, если что-то недопонял.
Мы берем каждый элемент кольца и умножаем его на остальные, получаем каждый раз набор $b,2b,3b,4b$ (в общем случае, это будут несовпадающие наборы).
Если хотя бы в одном наборе не встретится совпадающих элементов, то в кольце есть единица.
Если в каждом наборе есть совпадающие элементы, это кольцо с нулевым умножением, так?
То есть, для того, чтобы в кольце была единица, нам достаточно, чтобы хотя бы один из наборов не содержал совпадающих элементов,
а для того, чтобы кольцо было с нулевым умножением, необходимо, чтобы каждый из этих наборов содержал совпадающие элементы?

Ну, то есть, не получится так, что у нас в кольце четыре не равных нулю элемента, мы каждый элемент умножаем на остальные,
получаем четыре набора. В трех из этих наборов есть совпадающие элементы, а в четвертом - все элементы разные?

[AV_77]

Мы берем не каждый элемент кольца, а только один элемент $a$, который порождает его аддитивную группу. И этот элемент умножаем на все остальные элементы $0a = 0$, $a$, $2a$, $3a$ и $4a$.