Логические следствия из противоречия

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1115457 писал(а):

Во-вторых, употребление таких оборотов в повседневной жизни происходит значительно реже из-за того, что сформулировать их в мозгу несколько сложнее

Ой ну прям. Нужны доказательства, а не слова (порочные круги тоже не принимаются).

Sinoid в сообщении #1115457 писал(а):

вы, чтобы привести пример такого рода импликации, эквивалентность замаскировали под импликацию, затратив на формулировку своих мыслей, опять-таки повторюсь, дополнительные усилия

Есть вполне распространённая формула «Если <что-нибудь>, то я Папа Римский». Неужели не слышали?

-- Сб апр 16, 2016 00:30:31 --

Впрочем, действительно, про спотыкание некоторых людей об импликацию тут уже тем десять. Ясно, что это не связано с функционированием мозга и исправимо, как и, скажем, неумение плавать, планировать здания или решать квадратное уравнение. А вот почему какие-то ненулевые чувства появляются с самого начала — интересный вопрос. Да, вероятно, люди чаще имеют дело с импликациями вообще и с выводом по Modus ponens из них и посылки, чем с выводом самой импликации из ложности посылки. И импликация последнего вида не может пригодиться при пользовании MP. Может, именно эта кажущаяся бесполезность путает людям карты?

[provincialka]

Хм... Кстати, Лиходеев действительно был директором... только хреновым плохим.
И я думаю, что чаще всего связку "Если А, то В" используют, когда заранее неизвестно, верно ли А или нет. Иначе вы сказали"Верно А и В"
Думаю, проблема в другом: человек предполагает, что следование можно как-то объяснить. Содержательно.

К.Прутков писал(а):

Щелкни кобылу в нос, она махнёт хвостом

[Someone]

arseniiv в сообщении #1115463 писал(а):

Да, вероятно, люди чаще имеют дело с импликациями вообще и с выводом по Modus ponens из них и посылки, чем с выводом самой импликации из ложности посылки. И импликация последнего вида не может пригодиться при пользовании MP.

Ну почему же? В Modus Ponens истинность ни при чём. Там речь идёт исключительно о выводимости. Если у нас имеются высказывания $A$ и $A\Rightarrow B$, про которые мы знаем, что они в нашей теории выводимы, то Modus ponens позволяет нам вывести $B$. При этом $A$ вполне может быть ложным.
Другое дело, что такая ситуация весьма неприятна для теории.

[arseniiv]

Да, плохо получилось (вроде, уже давно отличаю одно от другого, вот ведь). Я имел в виду ситуацию, когда кажется, что ложных утверждений не было выведено к моменту очередного использования MP.

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1115498 писал(а):

Хм... Кстати, Лиходеев действительно был директором... только хреновым плохим

Стыд, позор мне Хотя я и читал эту книгу, правда, сто лет назад и фильм смотрел

arseniiv в сообщении #1115463 писал(а):

Modus ponens

Someone в сообщении #1115522 писал(а):

Modus Ponens

Ох уж эти Modus'ы мне! Как же их много и как их только все запомнить?!

Sinoid в сообщении #1115411 писал(а):

Вот в повседневной жизни мы говорим фразу "Если $P$, то $Q$". А до конца-то, во всяком случае, большинство из нас, не вникает, что это означает

Я вчера ради интереса спросил у своих домочадцев, среднестатистических людей, какой смысл они вкладывают в предложения типа "Если..., то..." так они не только до умозаключения не дошли, они не смогли уловить, что всякий раз они в эти предложения вкладывают истинный смысл.

arseniiv в сообщении #1115548 писал(а):

Я имел в виду ситуацию, когда кажется,

provincialka в сообщении #1115416 писал(а):

оборот неопредленный

provincialka в сообщении #1115416 писал(а):

Я уж не говорю про фразы с оборотом "если бы"

Так я же, вроде, и не употреблял таких оборотов. А даже если и так, что здесь такого? В формулировках большинства теорем этот оборот присутствует, пусть даже и в завуалированном виде, но все-таки присутствует.

arseniiv в сообщении #1115463 писал(а):

А вот почему какие-то ненулевые чувства появляются с самого начала — интересный вопрос.

Так потому и появляются, что ее с самого начала преподносят как связку, ложную в единственном случае и все, точка. Сколько я пересмотрел книг, только у Игошина импликация преподносится как допустимость или недопустимость процесса данного рассуждения (данного доказательства) для перехода от допустимости истинности посылки к истинности следствия. У остальных импликация дается уже с самого начала в чрезмерно абстрактном виде. Кстати, про абстрагирование.

provincialka в сообщении #1115498 писал(а):

человек предполагает, что следование можно как-то объяснить. Содержательно.

Так, ИМХО таблица истинности импликации и выделена была среди других таблиц вида

$$\begin{array}{c|c|c||c|} \cline{2-4} & P & Q & \\ \cline{2-4} & 0 & 0 & *\\ \cline{2-4} & 0 & 1 & *\\ \cline{2-4} & 1 & 0 & *\\ \cline{2-4} & 1 & 1 & *\\ \cline{2-4} \end{array}$$

чтобы можно было применить матлогику к анализу теорем. Большинство теорем формулируется с подразумеванием истинности предположения посылки. Поэтому в первую очередь логикам понравились в сегодняшней таблице истинности строки с истинной посылкой. Остальные же строки ими были додуманы потом. Опять-таки не на пустом месте. Когда логики поставили в первую строку единицу, они подгоняли еще этот аппарат под анализ теорем, а там посылка и следствие всегда связаны, так что в тот момент посылка и следствие для логиков еще были связаны. Но а т.к. посылка и следствие в общем случае посылка и следствие не связаны, им и пришлось заложить эту мысль в еще формируемую связку, внутри себя предполагая, что при необходимости можно протянуть верную цепочку рассуждений от неверной (верной) посылке к неверному (верному) следствию. Именно последнюю мысль и иллюстрирует, например легенда о философе, приведенная arseniiv'ым. И только потом они связке для удачно построенной таблицы и дали имя.

arseniiv в сообщении #1115463 писал(а):

Sinoid в сообщении #1115457 писал(а):

Во-вторых, употребление таких оборотов в повседневной жизни происходит значительно реже из-за того, что сформулировать их в мозгу несколько сложнее

Ой ну прям. Нужны доказательства, а не слова (порочные круги тоже не принимаются).

Я имел в виду мирную повседневную жизнь. Зачем какой-нибудь бабе Зине, сидящей у подъезда, какие-то доказательства?

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1116114 писал(а):

Ох уж эти Modus'ы мне! Как же их много и как их только все запомнить?!

В матлогике обычно хватает одного Modus ponens, остальные названия м «modus» можно считать историзмами, и какие-нибудь другие правила вывода зовутся не по-латински, даже если было название. Удобнее работать для, скажем, $\frac{A}{A\vee B}$ с названием «введение дизъюнкции», чем «<старое латинское название, если есть>».

-- Пн апр 18, 2016 00:02:20 --

Sinoid в сообщении #1116114 писал(а):

В формулировках большинства теорем этот оборот присутствует, пусть даже и в завуалированном виде, но все-таки присутствует.

Ну, математика — отдельная песня. Там просто нельзя понимать «если …, то …» не как импликацию. Плачевный результат получится. Я уж подумал, захотели обсудить тонкости обычного не [только] математического языка.

Sinoid в сообщении #1116114 писал(а):

Зачем какой-нибудь бабе Зине, сидящей у подъезда, какие-то доказательства?

Не, я имел в виду доказательство вами того, что вы сказали. Это может казаться очевидным, но это, скорее всего, верно лишь в определённых ситуациях, потому что люди и языки это не что-то настолько просто себя ведущее.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1116138 писал(а):

В матлогике обычно хватает одного Modus ponens, остальные названия м «modus» можно считать историзмами, и какие-нибудь другие правила вывода зовутся не по-латински, даже если было название. Удобнее работать для, скажем, $\frac{A}{A\vee B}$ с названием «введение дизъюнкции», чем «<старое латинское название, если есть>».

Эти термины я знаю, еще есть, к примеру, ПО - правило отделения, да, эти термины для меня ближе, скорее всего, потому что они на русском языке. provincialka, а скажите, пожалуйста, вот как вы смогли процитировать нужный отрывок цельного романа в нужный момент? Вы что, помните отрывки романов дословно? Просто интересно, как это происходит у эрудированных людей. Сегодня ночью думал-думал. Увы, толкование фразы "Если..., то...", приведенное мной на первой страницы этой темы, неверно. На ум пришел школьник, неверно доказывающий верную теорему. Ведь от его неверного доказательства теорема не станет неверной. Получается, верное толкование этой фразы такое: Предложение "Существует хотя бы одно верное, разрешенное умозаключение, которое из допущения, предположения справедливости, истинности посылки $P$ (хотя посылка в действительности может быть и ложной) выводит справедливость, истинность заключения $Q$" истинно. И тогда доказательство любой теоремы есть не что иное, как поиск этого самого хотя бы одного верного, разрешенного умозаключения и ошибка в доказательстве теоремы одним человеком вовсе не будет обозначать объявление неверной всей теоремы. Игошин преподносит импликацию как истинность процесса перехода от посылки к следствию, но ведь случайно можно доказать верную теорему и ложным рассуждением (там, к примеру, что "-" на "-", что "+" на "+" дает "+" и т. п.), так что толкование импликации с этой точки зрения представляется, ИМХО, неудовлетворительной.

[provincialka]

Sinoid
Ну, этот роман я помню почти наизусть. Кроме того, этот пример я использовала в качестве задачки по логике (кажется, для школьников).Я такие вещи коллекционирую.

[arseniiv]

Это получается всё-таки с ног на голову. Доказательства может не существовать, а истинность импликации быть. Возьмите истинное недоказуемое утверждение и приделайте к нему какой угодно антецедент. Импликация, разумеется, должна быть верна, но доказательство из гипотезы выбором антецедента можно сделать всё так же отсутствующим.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1116407 писал(а):

Возьмите истинное недоказуемое утверждение и приделайте к нему какой угодно антецедент. Импликация, разумеется, должна быть верна, но доказательство из гипотезы выбором антецедента можно сделать всё так же отсутствующим.

Я же уже рассматривал этот случай: если посылка и следствие не связаны явно, то когда мы ставим в импликации 1, то внутри себя, пусть даже не сознаваясь себе открыто, мы признаем, что верная цепь рассуждений при ну очень большом желании может быть выстроена.

[arseniiv]

Так нет его, вывода. Если $A$ истинно и невыводимо, $B\to A$ тоже может оказаться невыводимым (например, если $A$ не выводимо из тех же формул, которых достаточно для вывода $B$), ну и истинным оно будет точно.

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1115498 писал(а):

И я думаю, что чаще всего связку "Если А, то В" используют, когда заранее неизвестно, верно ли А или нет. Иначе вы сказали"Верно А и В"

Если взять повседневную жизнь, то уже ложные посылки используются, да что там говорить, они почти и не используются. Если человек раз 20 (в самом лучшем случае) воспользуется такими посылками за всю жизнь, то хорошо. Я уже не говорю про посылки, упомянутые уважаемой provincialka (слушайте, а вот в данном случае можно ник изменить? Ведь здесь нужно не то что буквы приписать, нужно вообще букву удалить, а так выглядит как-то не по-русски). А в матлогике такие, так скажем, наборы слов, про которые неизвестно, истинны они или нет, и предложениями-то не будут считаться, так что, соответственно, они и не могут служить посылками.

arseniiv в сообщении #1116505 писал(а):

Так нет его, вывода.

А это уже вопрос к фантазии выводящего,

arseniiv в сообщении #1116505 писал(а):

(например, если $A$ не выводимо из тех же формул, которых достаточно для вывода $B$

Расширьте базу формул. Ведь, к примеру, как было с аксиомой параллельных? Сначала сказали: "Да, она верная", построили геометрию, начали применять ее для объяснения мира всем было хорошо, все смеялись. Потом всем математикам дружно подумалось: "а вдруг". Копали, копали вывели наконец-то, что она на следует из других аксиом и только после этого объявили ее полноценной, добавили ее в список формул.

-- 20.04.2016, 15:59 --

Да, еще вспомнил, доказывали-доказывали, вдруг выясняли, что не хватает аксиомы, если не ошибаюсь, выбора (хотя я ее сейчас не сформулирую, но не в этом дело). Поспорили, поспорили и добавили это утверждение к списку аксиом. Вывод: список аксиом по мере необходимости может быть расширен, пусть даже с неимоверным скрипом.

[provincialka]

Не спец в этих вопросах, но почему

Sinoid в сообщении #1116930 писал(а):

список аксиом по мере необходимости может быть расширен, пусть даже с неимоверным скрипом.

Какой "скрип"? Какие нравятся,такие и берите Другое дело, получится ли что-нибудь полезное.

(про ник)

Sinoid в сообщении #1116930 писал(а):

Ведь здесь нужно не то что буквы приписать, нужно вообще букву удалить, а так выглядит как-то не по-русски

Чего? Зачем удалять? А что не по-русски... так тут ещё и буквы латинские! Безобразие, право ...

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1116930 писал(а):

Расширьте базу формул.

Иногда, чтобы избавиться от недоказуемых истинных формул, надо включить в число аксиом чуть ли не всё подряд до такой степени, что множество аксиом станет неперечислимым. Такая система вывода будет неудобной.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1116930 писал(а):

А в матлогике такие, так скажем, наборы слов, про которые неизвестно, истинны они или нет, и предложениями-то не будут считаться, так что, соответственно, они и не могут служить посылками.

Что-то абсурд какой-то написан. "Предложение", оно же "высказывание", в математической логике определяется чисто синтаксически, так что всегда можно проверить, является ли высказыванием данная последовательность символов. А уж знает ли кто-нибудь, истинно оно или нет, к делу вообще никакого отношения не имеет.

Sinoid в сообщении #1116930 писал(а):

А это уже вопрос к фантазии выводящего

Ничего подобного. Если высказывание недоказуемо, то никакая "фантазия выводящего" не поможет его доказать.

Sinoid в сообщении #1116930 писал(а):

Расширьте базу формул.

Нельзя. Если мы добавим ещё одну аксиому (Вы ведь это имели в виду?), то получим другую формальную теорию. Естественно, в другой формальной теории высказывание может быть выводимым, но это не имеет никакого отношения к первоначальной теории.

Sinoid в сообщении #1116930 писал(а):

Ведь, к примеру, как было с аксиомой параллельных? Сначала сказали: "Да, она верная", построили геометрию, начали применять ее для объяснения мира всем было хорошо, все смеялись. Потом всем математикам дружно подумалось: "а вдруг". Копали, копали вывели наконец-то, что она на следует из других аксиом и только после этого объявили ее полноценной, добавили ее в список формул.

Ничего подобного не было.

(Оффтоп)

Постулат о параллельных (пятый постулат) сформулировал Евклид (в его формулировке параллельные вообще не упоминались, но у этого постулата тьма эквивалентных формулировок). Впоследствии его (постулата) формулировка многим стала казаться слишком сложной и не очевидной, и его стали пытаться доказать, чтобы от него избавиться. Однако ничего не вышло.
В конце XVIII — начале XIX века нашлись три математика, которые пришли к выводу, что доказать пятый постулат нельзя, и что, приняв за аксиому утверждение, что этот постулат неверен, можно построить другую геометрию, столь же последовательную и непротиворечивую, как и геометрия Евклида, и занялись успешным построением этой геометрии. Первым был Карл Фридрих Гаусс, который утверждал, что это ему известно с 1792 года, но ничего на эту тему не публиковал, убоявшись "криков беотийцев" (хотя в частной переписке он на эту тему намёки делал). Практически одновременно (друг с другом, но не с Гауссом) к этому же выводу пришли Николай Иванович Лобачевский и Янош Бойяи (его фамилия в русской литературе имеет множество вариантов написания). Лобачевский опубликовал свой труд в 1829 году (был также доклад в 1826 году), а Бойяи — в 1932 году (имеется также письмо, датированное 1831 годом) в качестве приложения к учебнику математики своего отца. Сочинение это было написано на латинском языке, издано, видимо, малым тиражом и потому труднодоступно. В общем, на него никто не обратил внимание. Ну а Лобачевского его коллеги сочли чуть ли не сумасшедшим. Тем не менее, он продолжал развивать свою "воображаемую геометрию". Отношение к Лобачевскому изменилось уже после его смерти, когда в 1860 году была опубликована переписка Гаусса, в которой он восторженно отзывался о работах Лобачевского.

Sinoid в сообщении #1116930 писал(а):

Вывод: список аксиом по мере необходимости может быть расширен, пусть даже с неимоверным скрипом.

Да, может быть, и такие случаи были.

(Оффтоп)

Например, к системе аксиом теории множеств, сформулированных Эрнстом Цермело в 1908 году, позже (в 1922 году) Абрахамом Френкелем была добавлена схема аксиом замены, поскольку оказалось, что схема аксиом выделения, сформулированная Цермело, недостаточна для формализации некоторых широко используемых математиками рассуждений. Ещё позже, в 1925 году, Джон фон Нейман добавил аксиому регулярности. За последующие 90 лет ни одной новой аксиомы к теории ZFC добавлено не было, несмотря на то, что в этой теории существует тьма интересных утверждений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Что касается аксиомы выбора, то никто её не добавлял. Она была с системе Цермело с самого начала. Она необходима, так как позволяет формализовать очень широко используемую в математике схему рассуждений. Споры были связаны с "неконструктивностью" этой аксиомы: она утверждает существование функции выбора, не указывая никакой конкретной функции. По этому поводу у меня есть некоторые замечания.
Во-первых, аксиома выбора не является единственным источником неконструктивности в современной математике. Например, классический закон исключённого третьего или доказательства "от противного" также являются неконструктивными.
Часто применяемый в рассуждениях оборот "пусть $c$ — какая-нибудь точка интервала $(a,b)$…" также является источником неконструктивности. В случае интервала мы легко можем исправить эту неконструктивность, написав "пусть $c=\frac{a+b}2$; тогда $c\in(a,b)$…", но множество, в котором нам нужна точка, может оказаться устроенным настолько сложно, что мы не сможем указать в нём никакую конкретную точку, несмотря на то, что совершенно точно знаем, что множество не пустое. Неконструктивность аксиомы выбора имеет точно такой же характер.
Во-вторых, как это ни странно, в конструктивной математике аксиома выбора верна (в соответствующей формулировке): если нам конструктивно задано некоторое семейство множеств и мы можем конструктивно доказать, что все эти множества непустые (это означает, что мы можем конструктивно указать конкретные элементы во всех множествах семейства), то нет ничего удивительного, что можно предъявить функцию выбора.