Противоречие

[Ellan Vannin]

Rusit8800 в сообщении #1110572 писал(а):

$a$ и $b$ - некоторые вещественные числа.

Ну то есть да, конечно, я понимаю, тут просто функций нет. Но при большом желании всё это можно переделать в уравнение, и даже решить.

[Dmitriy40]

Rusit8800 в сообщении #1110572 писал(а):

При этом $\sqrt{a^2-4b}=\sqrt{(a-2\sqrt{b})(a+2\sqrt{b})}$, но в правая часть не определена при $b<0$,

А давайте продолжим, пусть теперь $\sqrt{a^2-4b}=\sqrt{(a-2\sqrt{b})(a+2\sqrt{b})}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt[4]{4b})(\sqrt{a}+\sqrt[4]{4b})(a+2\sqrt{b})}$ - и теперь уже и $a$ в исходном выражении должно быть неотрицательным, да?

[Ellan Vannin]

Dmitriy40 в сообщении #1110643 писал(а):

и теперь уже и $a$ в исходном выражении должно быть неотрицательным, да?

Какое $a$ пусть скажет нам ТС. Потребовать от $a$ можно все что угодно.

[Dmitriy40]

Ellan Vannin
Если Вы не заметили, то вопрос к нему и есть, именно его имя (ник) стоит как автора цитаты.

[Ellan Vannin]

Dmitriy40 в сообщении #1110643 писал(а):

$\sqrt{a^2-4b}=\sqrt{(a-2\sqrt{b})(a+2\sqrt{b})}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt[4]{4b})(\sqrt{a}+\sqrt[4]{4b})(a+2\sqrt{b})}$ - и теперь уже и $a$ в исходном выражении должно быть неотрицательным, да?

Тут следующая ситуация: равносильные преобразования не меняют функции (логические, числовые и вообще любые). Может быть просто другая формула. Но когда меняется область определения, то меняется функция, и равносильности никакой нет.

[Rusit8800]

Действительно, те выражения, которые я дал не равносильны.Навел я шумиху.
Ну а если рассматривать функцию, которую я дал, то т.к. $\frac{5(x+1)}{x+1}$ не тождественно 5 , то используют выколотую точку?

[Sinoid]

Rusit8800 в сообщении #1110785 писал(а):

Ну а если рассматривать функцию, которую я дал, то т.к. $\frac{5(x+1)}{x+1}$ не тождественно 5 , то используют выколотую точку?

Мне представляется это так. Если нужна функция (я имею ввиду функцию $y(x)$), которая при любом (в том числе, и комплексном) значении $x$ (кстати, почему у вас не очень, как мне, показалось, хорошее отношение к этим числам? Числа как числа, не более абстрактные, чем даже натуральные числа, изучаемые в первом классе), то используем функцию $y=5$, если по каким-то причинам нужна функция, принимающая значение 5 при $x \ne -1$ и не определенную в точке $x=-1$, то используем функцию $y=\frac{5(x+1)}{x+1}$, только и всего, ИМХО.

[Rusit8800]

Sinoid в сообщении #1110820 писал(а):

Rusit8800 в сообщении #1110785 писал(а):

Ну а если рассматривать функцию, которую я дал, то т.к. $\frac{5(x+1)}{x+1}$ не тождественно 5 , то используют выколотую точку?

Мне представляется это так. Если нужна функция (я имею ввиду функцию $y(x)$), которая при любом (в том числе, и комплексном) значении $x$ (кстати, почему у вас не очень, как мне, показалось, хорошее отношение к этим числам? Числа как числа, не более абстрактные, чем даже натуральные числа, изучаемые в первом классе), то используем функцию $y=5$, если по каким-то причинам нужна функция, принимающая значение 5 при $x \ne -1$ и не определенную в точке $x=-1$, то используем функцию $y=\frac{5(x+1)}{x+1}$, только и всего, ИМХО.

Точно мы же "рисуем" $y=\frac{5(x+1)}{x+1}$, а не $y=5$, т.к. они не тождественны, мы их "отождествляем" с помощью выколотой точки.Теперь я все понял.

[arseniiv]

Rusit8800 в сообщении #1110828 писал(а):

мы их "отождествляем" с помощью выколотой точки

Не думаю, что за этими словами стоит верное понимание.

Пусть мы рассматриваем функции, область определения которых — подмножество $\mathbb R$. И задаём эти функции формулами: $f_1(x) = 5$, $f_2(x) = 5(x+1)/(x+1)$. Этот способ задания ограничивает область определения, которую мы можем дать $f_1$ и $f_2$: мы не можем в область определения включить точки, на которых выражение не определено. Но мы можем взять область определения меньше. Однако, если нет никаких оговорок, такая запись означает, что область определения $f$ — самая широкая из возможных, потому $f_1$ будет определена на $\mathbb R$, и $f_2$ будет определена на $\mathbb R\setminus\{-1\}$, и $f_1\ne f_2$. Но мы можем сказать «$f_3(x) = 5$, но в $-1$ не определена» (или как-то по-другому аналогично). Тогда $f_3$ совпадает с $f_2$. Ещё мы можем взять сужение $f_1$ на $A$, обычно записываемое $f_1\left|_A\right.$ — это функция с областью определения, уменьшенной до $A$, а остальным аргументам сопоставляющая такие же значения, что и $f_1$. Имеем $\left(f_1\left|_{\mathbb R\setminus\{-1\}}\right.\right) = f_2 = f_3$. Собственно, определение $f_3$ — это просто сужение, записанное словами.

[Rusit8800]

arseniiv в сообщении #1110895 писал(а):

Rusit8800 в сообщении #1110828 писал(а):

мы их "отождествляем" с помощью выколотой точки

Не думаю, что за этими словами стоит верное понимание.

Но мы можем сказать «$f_3(x) = 5$, но в $-1$ не определена» (или как-то по-другому аналогично). Тогда $f_3$ совпадает с $f_2$

То же самое имел в виду.Спасибо.