мы их "отождествляем" с помощью выколотой точки
Не думаю, что за этими словами стоит верное понимание.
Пусть мы рассматриваем функции, область определения которых — подмножество
. И задаём эти функции формулами:
,
. Этот способ задания ограничивает область определения, которую мы можем дать
и
: мы не можем в область определения включить точки, на которых выражение не определено. Но мы можем взять область определения
меньше. Однако, если нет никаких оговорок, такая запись означает, что область определения
— самая широкая из возможных, потому
будет определена на
, и
будет определена на
, и
. Но мы можем сказать «
, но в
не определена» (или как-то по-другому аналогично). Тогда
совпадает с
. Ещё мы можем взять
сужение на
, обычно записываемое
— это функция с областью определения, уменьшенной до
, а остальным аргументам сопоставляющая такие же значения, что и
. Имеем
. Собственно, определение
— это просто сужение, записанное словами.