Если я говорю что в моих карманах ничего нет это не значит, что нет карманов.
И как это относится к цитируемому? Про

не говорится, что они пустые. Про

говорится, что

.
Скажите множество объектов обладающих каким-то свойством предполагает существование этих объектов?
Есть вообще вся совокупность объектов, рассматриваемых теорией (для теории множеств все они множества, это можно считать определением множества), и свойства — это предикаты от одной переменной, имеющие значения при любом её значении. Каждому множеству

при этом соответствует предикат

(наоборот, кстати, не обязательно). Если спросить о существовании хоть одного

, для которого

, то оно есть тогда и только тогда, когда

не пусто. По определению пустого множества, собственно. Я ответил на ваш или другой вопрос?
Я понимаю это. Но как истинность или ложность какого-то высказывания может быть характерестическим свойством

Не истинность, а само высказывание, понимаемое как предикат от одной переменной

.
Если мы используем эту нотацию мы предполагаем, что x обладает свойством

. А значит он есть!
Теперь стало яснее, в чём загвоздка. Нет, если

переменная, то

не имеет никакой определённой истинности, и оно может быть ложным. Например, ложен предикат

, но не важно, ложен он или нет, мы всё равно можем образовать множество

(мы можем брать не любую формулу справа, но формулу вида

, когда

существует, можем — а вот ограничений на выполнимость этой формулы нет (выполнимость — это как раз когда хоть на одном из значений аргументов она истинна)). И это множество будет как раз пустое.