Поиски суслика в пустом множестве

[arseniiv]

Что значит «множество $s$ пустое»? Это значит, что $\neg\exists x.\;x\in s$. Это простым преобразованием переводится в $\forall x.\;\neg(x\in s)$. Есть аксиома экстенсиональности $\forall a\forall b.\,(\forall x.\;x\in a\leftrightarrow x\in b)\to a=b$, говорящая, что если множества состоят из одних и тех же элементов, они равны. С помощью неё, определения пустого множества $\forall x.\;\neg(x\in\varnothing)$ и некоторой логики (отнюдь не связок; связки — это части формул, а не вывода) можно получить $s=\varnothing$. (Формальным выводом заниматься на данной стадии крайне не советую.) Теперь стоит уточнить, что из этого непонятно.

Вообще, пора читать литературу. См., например, в этой теме и в этой.

[anderlo]

arseniiv в сообщении #1110735 писал(а):

$\{x\mid x\in\mathbb R\wedge x^2 = -1\}$

т.е. с таким же успехом я могу образовать пустое множество так: $\{x\mid x\in\mathbb R\wedge x\notin\mathbb R\}$ ?

[arseniiv]

И так тоже.

[anderlo]

arseniiv в сообщении #1110740 писал(а):

И так тоже.

Спасибо, более менее стало ясно нужно с мат.логикой сдружиться может практикум какой-то посоветуете. Задачки порешать на преобразование высказываний... Теоретической литературы достаточно видел. Но там, как правило, мало заданий, да еще и без решений. Самопроверка просится...?

[_Ivana]

arseniiv в сообщении #1110723 писал(а):

До этого как бы нетрудно догадаться, когда уже известно, что $x\ne x$ для любого $x$ ложно.

[litetrollmode]

Используется синтаксис Haskell

instance Eq (a -> b) where _ == _ = False

main = print $ map ($ 1) [ x | x <- map (+) [0..5], x /= x ]

[/litetrollmode]

[arseniiv]

(Оффтоп)

Весьма странно, не нашёл в документации к Eq никаких ограничений, которым должны следовать его инстансы — хотя бы a == a = True, когда a == a определено, могли потребовать.

В теории первого порядка с равенством, конечно, так не получится, там аксиомы запретят.

[anderlo]

Специально для тех, кому мои вопросы кажутся странными:

только что нашел в книжке по логике

-- 31.03.2016, 13:02 --

хотя на мой взляд это не изъян логики, а изъян определений теории множеств.
Можете кидать в меня камнями...)

[Mikhail_K]

anderlo в сообщении #1110795 писал(а):

Специально для тех, кому мои вопросы кажутся странными:
...
хотя на мой взляд это не изъян логики, а изъян определений теории множеств.

Это штука неприятная, но к Вашему изначальному вопросу она отношения не имеет. По определённым причинам, $\{x\in A\mid x\neq x\}$ - определение вполне корректное, а вот $\{x\mid x\notin x\}$ - определение очень плохое. Я советую Вам не строить по этому поводу никаких "своих взглядов", в чём здесь изъян, пока не разберётесь как следует с основами теории множеств.

По поводу Вашего первоначального вопроса, у меня есть очень простое объяснение. Вот у нас есть множество $\varnothing=\{x\in A\mid x\neq x\}$ и мы хотим узнать, что оно из себя представляет. По определению, оно может состоять только из элементов множества $A$. Давайте возьмём какой-то один элемент $x$ из множества $A$ и проверим, удовлетворяет ли он условию $x\neq x$. Очевидно, не удовлетворяет - потому что $x=x$. Что ж, это значит, что в множество $\varnothing$ этот $x$ не входит. Возьмём какой-нибудь другой элемент $x$ из $A$ - и по тем же соображениям опять получим, что в $\varnothing$ он не входит. Так мы переберём все элементы множества $A$ и увидим, что ни один из них не лежит в $\varnothing$. Это как раз будет означать, что $\varnothing$ не содержит ни одного элемента, т.е. это пустое множество.

Впрочем, здесь уже говорили, что определение пустого множества $\varnothing=\{x\in A\mid x\neq x\}$ не самое удачное. Понятнее его определить, например, так: $\varnothing$ - это множество такое, что $\forall x$, $x\notin\varnothing$. Легко доказать, что множество, удовлетворяющее этому условию, единственно.

[anderlo]

arseniiv в сообщении #1110668 писал(а):

Нет. Пустое множество определяется аксиомой $\forall x.\;x\notin\varnothing$. Если уж и переводить её в нотацию $\{\ldots\mid\ldots\}$, это будет $\varnothing = \{x\mid x\ne x\}$. Без всяких $A$.

И $x\ne x$ ничуть не лучше любой другой тождественно ложной формулы. Её просто удобно выбрать как одну из самых маленьких таких формул. В присутствии аксиомы регулярности можно, например, написать вместо этого $x\in x$.

А разве здесь мне не пытались показать обратное?

-- 31.03.2016, 13:44 --

Mikhail_K в сообщении #1110799 писал(а):

Впрочем, здесь уже говорили, что определение пустого множества $\varnothing=\{x\in A\mid x\neq x\}$ не самое удачное.

Ну вот эту самую неудачность я наверное на подсознательном уровне чувствую.

Mikhail_K в сообщении #1110799 писал(а):

Понятнее его определить, например, так: $\varnothing$ - это множество такое, что $\forall x$, $x\notin\varnothing$.

А здесь действительно не возникает лишних вопросов.
Казалось бы: математика!!!! А стандартов нет. Ну как можно учиться. ужас! ужас!)

[Mikhail_K]

anderlo в сообщении #1110802 писал(а):

А разве здесь мне не пытались показать обратное?

arseniiv в сообщении #1110668 писал(а):

И $x\ne x$ ничуть не лучше любой другой тождественно ложной формулы. Её просто удобно выбрать как одну из самых маленьких таких формул. В присутствии аксиомы регулярности можно, например, написать вместо этого $x\in x$.

anderlo, здесь есть очень важное уточнение: в присутствии аксиомы регулярности. Думаю, что Вы не знакомы с этой аксиомой и зачем она. И это нормально, потому что вначале изучают основы теории множеств и почему $\varnothing=\{x\in A\mid x\neq x\}$, потом парадоксы вроде приведённого Вами, а потом уже аксиоматическую теорию множеств с аксиомой регулярности.

[anderlo]

Mikhail_K в сообщении #1110799 писал(а):

По поводу Вашего первоначального вопроса, у меня есть очень простое объяснение. Вот у нас есть множество $\varnothing=\{x\in A\mid x\neq x\}$ и мы хотим узнать, что оно из себя представляет. По определению, оно может состоять только из элементов множества $A$. Давайте возьмём какой-то один элемент $x$ из множества $A$ и проверим, удовлетворяет ли он условию $x\neq x$. Очевидно, не удовлетворяет - потому что $x=x$. Что ж, это значит, что в множество $\varnothing$ этот $x$ не входит. Возьмём какой-нибудь другой элемент $x$ из $A$ - и по тем же соображениям опять получим, что в $\varnothing$ он не входит. Так мы переберём все элементы множества $A$ и увидим, что ни один из них не лежит в $\varnothing$. Это как раз будет означать, что $\varnothing$ не содержит ни одного элемента, т.е. это пустое множество.

Мне понравилось! Спасибо!
Это очень близко к тому, что я изначально хотел узнать у форумчан, а именно просто в словесной форме корректно воспроизвести чтение нотации.

[Geen]

Mikhail_K в сообщении #1110799 писал(а):

Это как раз будет означать, что $\varnothing$ не содержит ни одного элемента, т.е. это пустое множество.

Не уверен, что вполне уместное "уточнение" - это пустое подмножество $A $.

[Mikhail_K]

Geen в сообщении #1110809 писал(а):

Не уверен, что вполне уместное "уточнение" - это пустое подмножество $A $.

Ну, мы ведь понимаем, что оно не зависит от $A$ и совпадает с "настоящим" пустым множеством. Так что, не вижу смысла в уточнении.

[Geen]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1110813 писал(а):

совпадает с "настоящим" пустым множеством.

Если это "настоящее" существует - ТС ведь не сказал по какому учебнику он идёт

[Someone]

(Оффтоп)

anderlo в сообщении #1110661 писал(а):

Otta в сообщении #1110659 писал(а):

Всех или некоторых?

Всех... и?

-- 31.03.2016, 01:13 --

Получается как у катющик про большой взрыв

Ага. И Вы в роли Катющика.

anderlo в сообщении #1110651 писал(а):

Товарищи помогите разобраться в заговоре против здравого смысла. А именно интересует вот такая деталь теории множеств:
Пустое множество определяется как $\varnothing_A=\left\lbrace x\in A| x\ne x\right\rbrace$
Думаю хоть однажды, каждый кто изучал теорию множеств спрашивал себя: -А как это? -Мы берем, находим в множестве $A$ какой-то $x$, заявляем что он обладает каким-то свойством, а после этого оказывается, что этого $x$ в этом множестве и нету. Вопрос: Как то чего нет может обладать каким-то свойством? На фоне этого парадокс Рассела не кажется таким уж зловещим.

А Вы не могли бы говорить исключительно о себе, родимом? Это Вы "находите" в множестве $A$ элемент $x$, обладающий свойством $x\neq x$, другие этого не делают.