Давидович: "Отображения множеств"

[Ellan Vannin]

irod в сообщении #1110019 писал(а):

Нормальное доказательство?

Да, но это то же самое, что

irod в сообщении #1109620 писал(а):

$h \circ (g \circ f)(x) = h((g \circ f)(x)) = h(g(f(x))) = (h \circ g)(f(x)) = ((h \circ g) \circ f)(x)$

Ещё бы записать, что происходит с областями $X,Y,Z,W$, и всё готово. Функции могут быть равны, только если области отправления и прибытия у них соответственно равны.

irod в сообщении #1110019 писал(а):

А тут область значений $g$ не совпадает с областью определения $f$.

А вы не смотрите на области значений. Вот у двух функций $f_\varnothing:\varnothing \to \varnothing$ и $f_X:\varnothing \to X$, $X \neq \varnothing$ области значений пусты и поэтому совпадают. Однако в вашем порядке $f_X \circ f_\varnothing=f_X$, а композиции $f_\varnothing \circ f_X$ не существует. Потому что здесь главное — область прибытия функции, остальное неважно вообще.

irod в сообщении #1110019 писал(а):

Что будет с элементами $7$, $37$, $137$ под действием $f$?

Если области не согласованы, как в определении, то композиции вовсе не существует. Вопрос, что будет с элементами, лишен смысла.

irod в сообщении #1110019 писал(а):

Они, получается, "не у дел", значит $f \circ g$ не является отображением, так?

Я не знаю, что такое $f \circ g$. Никто не знает.

[arseniiv]

Есть же композиция бинарных отношений.

[Ellan Vannin]

arseniiv, безусловно есть. Я только не понял, к чему вы её хотите применить.

[irod]

Ellan Vannin в сообщении #1110093 писал(а):

irod в сообщении #1110019 писал(а):

Нормальное доказательство?

Да, но это то же самое, что

irod в сообщении #1109620 писал(а):

$h \circ (g \circ f)(x) = h((g \circ f)(x)) = h(g(f(x))) = (h \circ g)(f(x)) = ((h \circ g) \circ f)(x)$

Да, я вижу что у меня получилось то же самое что и в Зориче. Видимо, мне помогли Ваши слова:

Ellan Vannin в сообщении #1109730 писал(а):

Ещё словами: действие композиции на элемент равно последовательному действию «функций-сомножителей».

Ellan Vannin в сообщении #1110093 писал(а):

Ещё бы записать, что происходит с областями $X,Y,Z,W$, и всё готово. Функции могут быть равны, только если области отправления и прибытия у них соответственно равны.

Очевидно, у обеих цепочек $h \circ (g \circ f)$ и $(h \circ g) \circ f$ области отправления и прибытия равны, т.к. начинаем мы всегда с $f$ с областью отправления$X$, и с любым $x \in X$ совершаются одни и те же действия (т.е. образы в обоих случаях равны).
Тут ведь необязательно упоминать промежуточные множества $Y,Z$?

Ellan Vannin в сообщении #1110093 писал(а):

irod в сообщении #1110019 писал(а):

А тут область значений $g$ не совпадает с областью определения $f$.

А вы не смотрите на области значений. Вот у двух функций $f_\varnothing:\varnothing \to \varnothing$ и $f_X:\varnothing \to X$, $X \neq \varnothing$ области значений пусты и поэтому совпадают. Однако в вашем порядке $f_X \circ f_\varnothing=f_X$, а композиции $f_\varnothing \circ f_X$ не существует. Потому что здесь главное — область прибытия функции, остальное неважно вообще.

Наверное, Вы имели в виду что в Вашем примере совпадают области определения (отправления)?
Можно ли тогда считать неудачной саму нотацию $f:X \to Y$, $g:Y \to Z$ для композиции $g \circ f$? Я имею в виду что правильнее будет писать так:
$g \circ f$, где $f:X \to Y$, а $g:f(X) \subset Y \to Z$
в Википедии кстати так и написано:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Композиция_функций

Ellan Vannin в сообщении #1110093 писал(а):

irod в сообщении #1110019 писал(а):

Что будет с элементами $7$, $37$, $137$ под действием $f$?

Если области не согласованы, как в определении, то композиции вовсе не существует. Вопрос, что будет с элементами, лишен смысла.

irod в сообщении #1110019 писал(а):

Они, получается, "не у дел", значит $f \circ g$ не является отображением, так?

Я не знаю, что такое $f \circ g$. Никто не знает.

Получается тогда в этом задании также не существует отображений
е) $g \circ h \circ f$
и) $h \circ f \circ g \circ h$
верно?

[Ellan Vannin]

irod в сообщении #1110168 писал(а):

Очевидно, у обеих цепочек $h \circ (g \circ f)$ и $(h \circ g) \circ f$ области отправления и прибытия равны, т.к. начинаем мы всегда с $f$ с областью отправления$X$, и с любым $x \in X$ совершаются одни и те же действия (т.е. образы в обоих случаях равны).

Вопрос не о том, какие образы. Вопрос, какие у них области прибытия (не путать с множеством значений).

irod в сообщении #1110168 писал(а):

Я имею в виду что правильнее будет писать так:
$g \circ f$, где $f:X \to Y$, а $g:f(X) \subset Y \to Z$

Если здесь подразумеваются функции $f:X \to Y$ и $g:f(X) \to Z$, где $f(X) \neq Y$, то «перемножить» их нельзя никак. По определению.
Но если $g$ — это частичная функция из $Y$ в $Z$, то это просто некоторое отношение, и стрелочку в записи «$Y \to Z$» использовать нельзя. Стрелочки уже заняты для функций.
Или вы хотите спросить, можно ли взять композицию таких отношений, что одно из них точно не функция, но получить в результате функцию. Ответ: да, можно.

В любом случае так писать неправильно.

irod в сообщении #1110168 писал(а):

в Википедии кстати так и написано:

В русской википедии написан феерический идиотизм в статьях, посвященных понятию функции.

irod в сообщении #1110168 писал(а):

Получается тогда в этом задании также не существует отображений
е) $g \circ h \circ f$
и) $h \circ f \circ g \circ h$
верно?

Даже в том определении композиции, которое у Давидовича, четко и недвусмысленно указаны области. Ответьте сами на этот вопрос.

-- 29.03.2016, 16:47 --

irod в сообщении #1110168 писал(а):

Наверное, Вы имели в виду что в Вашем примере совпадают области определения (отправления)?

Я имел в виду в том примере, что совпадают и области определения (отправления), и множества значений, ибо все пустые. Но поскольку области прибытия различаются, то функции не равны, и переставлять их в композиции $f_X \circ f_\varnothing $ нельзя.

[irod]

Ellan Vannin в сообщении #1110178 писал(а):

Вопрос не о том, какие образы. Вопрос, какие у них области прибытия (не путать с множеством значений).

Пока я не понимаю что Вы имеете в виду. Я всегда думал что область прибытия и множество значений - это одно и то же. Ищу сейчас четкие определения того и другого, пока не нашел. Отвечу по этому вопросу позже.

Ellan Vannin в сообщении #1110178 писал(а):

irod в сообщении #1110168 писал(а):

Получается тогда в этом задании также не существует отображений
е) $g \circ h \circ f$
и) $h \circ f \circ g \circ h$
верно?

Даже в том определении композиции, которое у Давидовича, четко и недвусмысленно указаны области. Ответьте сами на этот вопрос.

Отвечаю: перечисленных композиций не существует, рисовать нечего.

Ellan Vannin в сообщении #1110178 писал(а):

Или вы хотите спросить, можно ли взять композицию таких отношений, что одно из них точно не функция, но получить в результате функцию. Ответ: да, можно.

Спросить я хотел не это, но это знание мне тоже не помешает

Ellan Vannin в сообщении #1110178 писал(а):

irod в сообщении #1110168 писал(а):

Я имею в виду что правильнее будет писать так:
$g \circ f$, где $f:X \to Y$, а $g:f(X) \subset Y \to Z$

Если здесь подразумеваются функции $f:X \to Y$ и $g:f(X) \to Z$, где $f(X) \neq Y$, то «перемножить» их нельзя никак. По определению.
Но если $g$ — это частичная функция из $Y$ в $Z$, то это просто некоторое отношение, и стрелочку в записи «$Y \to Z$» использовать нельзя. Стрелочки уже заняты для функций.

Вроде у Давидовича везде только отображения, никаких частичных функций, так что я имел в виду именно отображения.
Я понял про согласованность областей в определении композиции, но я при этом вижу здесь один тонкий момент, возможно я просто плохо объяснил что я имею в виду. Эта тонкость ничему не противоречит, я просто хотел ее обсудить чтобы убедиться, что я все понимаю правильно. Давайте на конкретном примере.
Рассмотрим вот такие два отображения $f$ и $g$:

С отображением $g$ все понятно: $g:\{5,6\} \to \{7,8\}$. А вот $f$ можно определить по-разному. Можно так: $f:\{1,2,3\} \to \{4,5,6\}$. И тогда композиции $g \circ f$ не существует, ведь $\{4,5,6\} \ne \{5,6\}$. А вот если определить $f$ по-другому: $f:\{1,2,3\} \to \{5,6\}$, то тогда композиция $g \circ f$ будет существовать. Все верно?

[Ellan Vannin]

irod в сообщении #1110480 писал(а):

Пока я не понимаю что Вы имеете в виду.

Отношения (и в том числе функции) определяются между множествами. Область прибытия — второе множество.

irod в сообщении #1110480 писал(а):

А вот $f$ можно определить по-разному.

Да, но это две разные функции $f$.

irod в сообщении #1110480 писал(а):

Все верно?

Да, все верно.

[Ellan Vannin]

Я вот на чем хотел заострить внимание.
Дано: $f:X \to Y$, $g:Y \to Z$, $h:Z \to W$
Нужно доказать: $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$

В выражении слева от знака равенства у нас происходит «цепная реакция» следующего вида:
$(f:X \to Y) \land (g:Y \to Z) \Rightarrow (g \circ f): X \to Z$
$(h:Z \to W) \land (g \circ f): X \to Z \Rightarrow h \circ (g \circ f): X \to W$
Справа от знака равенства происходит то же самое, можете проверить сами.

Через действие отображений на произвольный элемент вы уже доказали равенство графиков. Теперь доказано совпадение областей. Совпадение областей и графиков влечет равенство функций.

[grizzly]

Ellan Vannin в сообщении #1110751 писал(а):

Нужно привести конкретные примеры того, как у вас получилась «не обязательно функция».

arseniiv в сообщении #1110757 писал(а):

OK, через некоторое время отвечу.

У меня есть предложение к участникам (или, скорее, к модераторам) вынести эту часть обсуждения в отдельную тему дискуссионного раздела, поскольку она вполне может заинтересовать других участников и вызвать обсуждение, которое будет излишним здесь -- данная тема и так перегружена терминологическим и методологическим сумбуром, в которых ТС уже начинает теряться.

[arseniiv]

Ой, я не сразу заметил ваш пост и обновил свой на той (при отображении тем по умолчанию) странице. К предложению присоединяюсь.

[irod]

Ellan Vannin в сообщении #1110489 писал(а):

Я вот на чем хотел заострить внимание.
...
Через действие отображений на произвольный элемент вы уже доказали равенство графиков. Теперь доказано совпадение областей. Совпадение областей и графиков влечет равенство функций.

Ок, понял.
Значит считаем этот пункт доказанным, и я двигаюсь дальше.

13. Пусть для отображений $f : X \to Y$, $g : Y \to X$ отображение $f \circ g$ тождественно. Верно ли, что $g = f^{-1}$?

Решение.
По определению, $g$ будет обратным отображением к $f$, если отображения $f \circ g$ и $g \circ f$ тождественны. $f \circ g$ тождественно по условию, значит осталось доказать тождественность $g \circ f$.
Сперва обозначим области $g \circ f$:

$$ (f:X \to Y) \land (g:Y \to X) \Rightarrow (g \circ f): X \to X, $$

что совпадает с областями тождественного отображения из $X$.
Пусть для произвольного $x \in X$

$$ (g \circ f)(x) = x' \Rightarrow$$

$$ (f \circ (g \circ f))(x) = f(x') \Leftrightarrow $$

(ассоциативность композиции)

$$ ((f \circ g) \circ f)(x) = f(x') \Leftrightarrow $$

$$ f(x) = f(x') \Rightarrow $$

$$ x = x'.$$

Таким образом, $(g \circ f)(x) = x \ \forall x \in X$, т.е. отображение $g \circ f$ тождественно, и значит $g = f^{-1}$.

Тут я не уверен в импликации $ f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$, но думаю раз $f$ у нас может быть какой угодно (главное обратимой), то тут нет ошибки.

[grizzly]

irod в сообщении #1110931 писал(а):

Тут я не уверен в импликации $ f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$, но думаю раз $f$ у нас может быть какой угодно (главное обратимой), то тут нет ошибки.

Послушайте себя со стороны:
Вас спрашивают: верно ли, что любое натуральное число $a$ равно пяти?
Вы отвечаете: "Поскольку число $a$ у нас может быть какое угодно, то значит и пяти может равняться. Значит, верно."

[Lia]

Часть дискуссии отделена в «Про композиции»

[Ellan Vannin]

irod в сообщении #1110931 писал(а):

13. Пусть для отображений $f : X \to Y$, $g : Y \to X$ отображение $f \circ g$ тождественно. Верно ли, что $g = f^{-1}$?

В задании кроется подвох: оно может быть верно, а может быть нет.

(Оффтоп)

Меня иногда раздражают задания, где нельзя дать однозначного ответа. То есть приходится дополнять условие своими словами, чтобы была однозначность. Но в иных случаях это даже хорошо, есть над чем порассуждать, есть нюансы.

irod в сообщении #1110931 писал(а):

Тут я не уверен в импликации $ f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$, но думаю раз $f$ у нас может быть какой угодно (главное обратимой), то тут нет ошибки.

Я тут тем более не уверен в вашей импликации. Обратимость $f$ (как функции) вам не дана. Спрашивается, верно ли, что $g = f^{-1}$? Обратимость (как функции) придется доказать или опровергнуть вместе с ответом на этот вопрос.

Важно, что любое отношение всегда обратимо. Но вот будет ли обратное отношение само функцией, или не будет? Это другой, более сложный вопрос. На него, по сути, и нужно ответить.

[grizzly]

Ellan Vannin в сообщении #1111016 писал(а):

Меня иногда раздражают задания, где нельзя дать однозначного ответа.

Согласен, иногда раздражает. Но в данном случае не обязательно раздражаться. Лучше дать развёрнутый ответ (аргументированный, конечно): при таких-то условиях верно; при других неверно; в общем случае неверно.