В отрывке из Яглома по последней приведенной ссылке содержится идея взаимно-однозначного соответствия между множеством отрезков, не параллельных осям координат (у Яглома на рисунках они представлены отрезком
, который мы будем рассматривать как направленный отрезок с началом
и концом
) и множеством определенных прямоугольников (у Яглома на рисунках представлены прямоугольником
). Значит, мы можем попробовать заменить рассмотрение таких отрезков рассмотрением соответствующих им прямоугольников.
В конце концов нас будет интересовать "обратная задача", о которой пишет Артин:
http://www.px-pict.com/10/3/4/16/2.html(только вместо точек и прямых мы попробуем аксиоматизировать "мир прямоугольников")
Пока же в качестве "аналитических двойников" для прямоугольников выберем некоторые упорядоченные пары, элементы которых сами являются упорядоченными парами некоторых вещественных чисел.
При этом нам будет полезно определение "вектора" как некоторого класса эквивалентных между собой направленных отрезков примерно в духе 2-го определения у Любецкого:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/8/1.htmlЗначит, исходим из множества
всех вещественных чисел, которые, как указывает П. С. Александров, "читатель должен хорошо знать":
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/1a.htmlПоскольку отрицательные вещественные числа неспецифичны для муз. теории, сужаем это множество до множества
всех неотрицательных вещественных чисел. Таким образом, точкам первого квадранта плоскости
, о которой пишет Яглом:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/1/4.html(и который мы только и будем рассматривать) будут сопоставлены упорядоченные пары
неотрицательных вещественных чисел (т. е., элементы множества
).
-- Вт апр 05, 2016 16:57:16 --Теперь мы можем определить множество
"аналитических двойников" нужных нам прямоугольников (или поставленных им во взаимно-однозначное соответствие направленных отрезков
) следующим образом:
для любых положительных вещественных чисел
,
,
,
,
,
где
есть отношение "строго меньше" на множестве вещественных чисел.
Интуитивно: точке
направленного отрезка
сопоставляется пара
, а точке
сопоставляется пара
.
.
,
и 
) объясняются здесь:
,
.
нет четвёртой чётко чистой квинты, порождающей скандально известный из-за выдающейся неблагозвучности дитон (пифагорейскую большую терцию), потому и оказался дорийский лад в почёте у средневековых примитивистов. 
![$\begin{matrix}
Ga & Ni & Ma & Sa & Pa & Ri & Dha\\
\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow\\
f & c & g & d & a & e & h\\
16/27 & 8/9 & 2/3 & 1 & 3/2 & 9/8 & 27/16\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
32/27 & 16/9 & 4/3 & [1/1] & 3/2 & 10/9 & 5/3
\end{matrix}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/f/74f855e185494079900b8c09a6221a4982.png "$\begin{matrix}
Ga & Ni & Ma & Sa & Pa & Ri & Dha\\
\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow\\
f & c & g & d & a & e & h\\
16/27 & 8/9 & 2/3 & 1 & 3/2 & 9/8 & 27/16\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
32/27 & 16/9 & 4/3 & [1/1] & 3/2 & 10/9 & 5/3
\end{matrix}$")
![$\begin{matrix}
-2100\cent= & -1400\cent= & -700\cent= & \pm0\cent= & +700\cent= & +1400\cent= & +2100\cent=\\
=$2F:$ & =$3C:$ & =$3G:$ & =$4D:$ & =$4A:$ & =$5E:$ & =$5B:$\\
$:[$2^-^(^2^1^/^1^2^)$]$ & $:[$2^-^(^1^4^/^1^2^)$]$ & $:[$2^-^(^7^/^1^2^)$]$ & $:[$2^\pm^(^0^/^1^2^)$]$ & $:[$2^+^(^7^/^1^2^)$]$ & $:[$2^+^(^1^4^/^1^2^)$]$ & $:[$2^+^(^2^1^/^1^2^)$]$\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
-2106\cent= & -1404\cent= & -702\cent= & \pm0\cent= & +702\cent= & +1404\cent= & +2106\cent=\\
=\chi,\theta$-$F$:$ & =\chi,\theta$-$c$:$ & =\chi,\theta$-$g$:$ & =\chi,\theta 1d$:$ & =\chi,\theta 1a$:$ & =\chi,\theta 2e$:$ & =\chi,\theta 2b$:$\\
$:3T[8/27]3d$ & $:2T[4/9]2d$ & $:T[2/3]d$ & $:$\varnothing$[1/1]$_\varnothing & $:D[3/2]t$ & $:2D[9/4]2t$ & $:3D[27/8]3t$\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
-1906\cent= & -1404\cent= & -702\cent= & \pm0\cent= & +702\cent= & +1382\cent= & +2084\cent=\\
=\chi,\theta$-$''Ga$:$ & =\chi,\theta$-$'Ni$:$ & =\chi,\theta$-$'Ma$:$ & =\chi,\theta Sa$:$ & =\chi,\theta Pa$:$ & =i\Delta,\theta Ri'$:$ & =i\Delta,\theta Dha'$:$\\
$:3T[8/27]3d$ & $:2T[4/9]2d$ & $:T[2/3]d$ & $:$\varnothing$[1/1]$_\varnothing & $:D[3/2]t$ & $:2TM[20/9]2d$ & $:TM[10/3]d$\\
\end{matrix}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/3/463751486763eb55f0b48eaa746f504082.png "$\begin{matrix}
-2100\cent= & -1400\cent= & -700\cent= & \pm0\cent= & +700\cent= & +1400\cent= & +2100\cent=\\
=$2F:$ & =$3C:$ & =$3G:$ & =$4D:$ & =$4A:$ & =$5E:$ & =$5B:$\\
$:[$2^-^(^2^1^/^1^2^)$]$ & $:[$2^-^(^1^4^/^1^2^)$]$ & $:[$2^-^(^7^/^1^2^)$]$ & $:[$2^\pm^(^0^/^1^2^)$]$ & $:[$2^+^(^7^/^1^2^)$]$ & $:[$2^+^(^1^4^/^1^2^)$]$ & $:[$2^+^(^2^1^/^1^2^)$]$\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
-2106\cent= & -1404\cent= & -702\cent= & \pm0\cent= & +702\cent= & +1404\cent= & +2106\cent=\\
=\chi,\theta$-$F$:$ & =\chi,\theta$-$c$:$ & =\chi,\theta$-$g$:$ & =\chi,\theta 1d$:$ & =\chi,\theta 1a$:$ & =\chi,\theta 2e$:$ & =\chi,\theta 2b$:$\\
$:3T[8/27]3d$ & $:2T[4/9]2d$ & $:T[2/3]d$ & $:$\varnothing$[1/1]$_\varnothing & $:D[3/2]t$ & $:2D[9/4]2t$ & $:3D[27/8]3t$\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
-1906\cent= & -1404\cent= & -702\cent= & \pm0\cent= & +702\cent= & +1382\cent= & +2084\cent=\\
=\chi,\theta$-$''Ga$:$ & =\chi,\theta$-$'Ni$:$ & =\chi,\theta$-$'Ma$:$ & =\chi,\theta Sa$:$ & =\chi,\theta Pa$:$ & =i\Delta,\theta Ri'$:$ & =i\Delta,\theta Dha'$:$\\
$:3T[8/27]3d$ & $:2T[4/9]2d$ & $:T[2/3]d$ & $:$\varnothing$[1/1]$_\varnothing & $:D[3/2]t$ & $:2TM[20/9]2d$ & $:TM[10/3]d$\\
\end{matrix}$")