Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1113945 писал(а):

Поэтому давайте, все-таки вспомним, что когда алгебра действительно была "алгеброй музыкальной гармонии", она была "геометрической".

И фундаментальное понятие о "гармонической четверке точек" тоже зародилось где-то там. Б. Л. ван дер Варден о леммах Паппа к "Поризмам" Евклида: "Они содержат идеи, которые в дальнейшем имели большое значение в проективной геометрии":
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/8/7.html
Ранее я предлагал использовать это понятие в контексте "Звукоряда Орфея":
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 34&page=25
(постинг номер 249 от 30.03.2010)

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1113802 писал(а):

commator в сообщении #1113482 писал(а):

После пифагорейской детемперации дорийская симметрия строжайшим образом соблюдается

Теперь дорийскую симметрию из пифагорейской системы ЧИП3 можно пытаться доводить до таковой приемлемой в рамках дидимейской системы ЧИП5.

........

Дидимизация дорийской симметрии в этой попытке как будто достигнута, но приемлемой для слуха её назвать нельзя.

Хотелось бы применить для анализа категории тесиса и дюнамиса, о которых пишет, например, Герцман:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/12/1/1/1.html

commator в сообщении #1103314 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1102945 писал(а):

для меня интерес к упомянутому Вами вопросу начался с рисунков из книги Ю. Н. Холопова: http://www.px-pict.com/7/3/2/5/14/8/5.html

Свободный Художник в сообщении #1102945 писал(а):

Интересно, что Modern Dorian Mode иногда называют "русским минором": https://en.wikipedia.org/wiki/Dorian_mode

Как бы он индийским не оказался, если его не греки или арии в Индию занесли:

[commator]

commator в сообщении #1114016 писал(а):

commator в сообщении #1113802 писал(а):

commator в сообщении #1113482 писал(а):

После пифагорейской детемперации дорийская симметрия строжайшим образом соблюдается

Теперь дорийскую симметрию из пифагорейской системы ЧИП3 можно пытаться доводить до таковой приемлемой в рамках дидимейской системы ЧИП5.

$\begin{tabular}{r} $+1200\to+1200\cent=\chi,\theta2d$: \\ \\ $+906\searrow+884\cent=i\Delta,\theta1b$: \\ \\ $+498\to+498\cent=\chi,\theta1g$: \\ \\ $+204\searrow+182\cent=i\Delta,\theta1e$:\\ $[\pm 0\to\pm 0\cent=\chi,\theta1d$:$]$ \\ $-204\nearrow-182\cent=\Delta i,\theta1c$: \\ \\ $-498\to-498\cent=\chi,\theta$-$a$: \\ \\ $-906\nearrow-884\cent=\Delta i,\theta$-$f$: \\ \\ $-1200\to-1200\cent=\chi,\theta$-$d$: \\ \end{tabular} \begin{tabular}{|rr|rr|} \hline &&$\chi,\theta a$-moll& \\ &\chi,\theta2d$:&&\\ &&&\\ &$i\Delta,\theta1b$:&$i\Delta,\theta1b$:&\\ &&&\\ $\chi,\theta1g$:&$\chi,\theta1g$:&$\chi,\theta1g$:&\\ &&&\\ \hline $i\Delta,\theta1e$:&&$i\Delta,\theta1e$:&$i\Delta,\theta1e$:\\ &&&\\ $\Delta i,\theta1c$:&$\Delta i,\theta1c$:&&$\Delta i,\theta1c$:\\ \hline &&&\\ &$\chi,\theta$-$a$:&$\chi,\theta$-$a$:&$\chi,\theta$-$a$:\\ &&&\\ &$\Delta i,\theta$-$f$:&$\Delta i,\theta$-$f$:&\\ &&&\\ &&$\chi,\theta$-$d$:& \\ &$\Delta i,\theta C$-dur&& \\ \hline \end{tabular} \begin{tabular}{l} $\chi,\theta12d$:T$[2/1]$_\varnothing\\ \\ $i\Delta,\theta1b$:M$[5/3]$d\\ \\ $\chi,\theta1g$:2T$[4/3]$d\\ \\ $i\Delta,\theta1e$:TM$[10/9]$2d\\ $[\chi,\theta1d$:$\varnothing[1/1]_\varnothing]$\\ $\Delta i,\theta1c$:2D$[9/10]$mt\\ \\ $\chi,\theta$-$a$:D$[3/4]$2t\\ \\ $\Delta i,\theta$-$f$:D$[3/5]$m\\ \\ $\chi,\theta$-$d$:$\varnothing[1/2]$t\\ \end{tabular}$

Дидимизация дорийской симметрии в этой попытке как будто достигнута, но приемлемой для слуха её назвать нельзя.

$\xymatrix{ &:T_\varnothing\ar[dr]|(.6){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$}\Delta i,\theta m3:Mdt}\\ &:Md\ar[dr]|(.6){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$}i\Delta,\theta M3:2Tm}&:Md\ar[ddr]|(.2){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$}\chi,\theta P5:Td}&\\ :2Td\ar[uur]|(.8){\Rsh\chi,\theta P5:Dt}\ar@{-->}[ddr]|(.8){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$} i\Delta,\theta P5:3Dm3t}&:2Td\ar[dr]|(.6){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$}\Delta i,\theta m3:Mdt}&:2Td\ar@{-->}[ddr]|(.2){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$} i\Delta,\theta P5:3Dm3t}&\\ :TM2d\ar[uur]|(.8){\Rsh\chi,\theta P5:Dt}\ar@{-->}[ddr]|(.8){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$} i\Delta,\theta P5:3Dm3t}&&:TM2d\ar@{-->}[ddr]|(.2){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$} i\Delta,\theta P5:3Dm3t}&:TM2d\ar@{-->}[d]^{\downarrow i\Delta i\Delta,\theta M3:4D2m2t}\\ :2Dmt\ar@{-->}[u]^{\uparrow i\Delta i\Delta,\theta M3:2T2M4d}\ar@{-->}[uur]|(.8){\Rsh i\Delta,\theta P5:3TM3d}\ar[ddr]|(.8){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$}\chi,\theta P5:Td}&:2Dmt\ar[dr]|(.4){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$}\Delta i,\theta m3:Mdt}&&:2Dmt\\ &:D2t\ar[dr]|(.4){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$}i\Delta,\theta M3:2Tm}&:D2t\ar@{-->}[uur]|(.2){\Rsh i\Delta,\theta P5:3TM3d}&:D2t\\ &:Dm\ar[dr]|(.4){\rotatebox[origin=c]{180}{$\Lsh$}\Delta i,\theta m3:Mdt}&:Dm\ar[uur]|(.2){\Rsh\chi,\theta P5:Dt}&\\ &&:\varnothing t\ar[uur]|(.2){\Rsh\chi,\theta P5:Dt}& } $

Сонантометрия на схеме попытки указывает пунктирными стрелками плохие для слуха интерсонанты; их почти столько же, сколько идеальных.

Попытка достижения дидимизации дорийской симметрии, заслуживающая MIDI моделирования для испытания на слуховую приемлемость.

$\shorthandoff{

-- 14.04.2016, 23:08 --

commator в сообщении #1115132 писал(а):

Хотелось бы применить для анализа категории тесиса и дюнамиса, о которых пишет, например, Герцман: http://www.px-pict.com/7/3/2/1/12/1/1/1.html

А как Вы понимаете тесис и дюнамис?

[commator]

commator в сообщении #1115132 писал(а):

Попытка достижения дидимизации дорийской симметрии, заслуживающая MIDI моделирования для испытания на слуховую приемлемость.

Схема попытки нуждается в уйме пояснений, а начать, полагаю, надо с формата имени ноты, предписывающего её чёткое интонирование; он у меня сложился к настоящему времени таким:

$\langle\text{префикс}\rangle$,$\langle\text{приставка}\rangle \langle\text{буква ноты}\rangle\langle\text{суффикс}\rangle$:$\langle\text{постфикс}\rangle $

$ \begin{tabular}{p{2cm}p{2.5cm}|p{9.5cm}} \\ \multicolumn{3}{l}{Таблица пояснений для частиц имени:}\\ \hline Частица & Обший вид & Пояснение \\ \hline $\langle\text{префикс}\rangle$ & $[\kappa o\mu\mu\alpha]$* & Набор слогов из греческих букв, однозначно передающий величину энгармонического изгиба пифагорейской высоты сочетанием первокомм. Обычная первокомма (комма от первичного числа не больше 97) имеет одну гласную и одну согласную из греческого имени для порождающего числа и образует слог. Другие первокоммы могут иметь более двух букв на слог. Естественный порядок букв слога выражает изгиб высоты с повышением. Изгиб с понижением всякая первокомма выражает обратным порядком следования букв её слога. Важнейшие именные первокоммы пишутся первым слогом её имени с большой буквы, не меняя в обратном порядке размеры букв. Отсутствие сочетания первокомм может выражать $\chi$** перед разделителем ($,$) (явно) или разделитель ($,$) без $\langle\text{префикс}\rangle$ (неявно).*** \\ \hline $\langle\text{приставка}\rangle$ & $\theta[n]$ & Греческая буква $\theta$ из имени $\Pi\upsilon\theta\alpha\gamma o\rho\alpha\varsigma$ указывает, что $\kappa o\mu\mu\alpha$, если присутствует, изгибает чёткую пифагорейскую высоту ноты в $n$-ной октаве традиционной нумерации начиная от 1 и выше; $n$ ещё действует в контроктаве (1), субконтроктаве (2) и ниже (3, ...). Для большой и малой октавы вместо $n$ употребляется дефис (-) \\ \hline $\langle\text{буква ноты}\rangle$ & $C/\hbar$ & Общий вид намекает: должна быть буква ($Ch_{aracter}$), одна из первых восьми букв латинского алфавита (до $h$), большая (в большой октаве и ниже) или малая (в малой октаве и выше), причём по гаммам смена буквенных размеров возможна только от $C$. Для си-бекар буквы $H/h$ чаще всего исключаются, т. е. вычёркиваются (\hbar). \\ \hline $\langle\text{суффикс}\rangle$ & $[^i_e s^{is}_{es}]$ & Отсутствующий $\langle\text{суффикс}\rangle$ указывает нейтральную, т.е. белоклавишную высоту ноты. Присутствие $es$ (после букв $ \langle A/a \rangle / \langle E/e \rangle - s$) соответствует хроматическому понижению нейтральной пифагорейской высоты на апотому,**** что в музыкальных партитурах предписывется знаком $\flat$. Знаку $\flat\flat$ отвечает понижение на две апотомы и присутствие $eses$ (после $\langle A/a \rangle / \langle E/e \rangle - ses$). Хроматическое повышение нейтральной пифагорейской высоты на апотому приписывает любой $C/\hbar$ одинаковый $\langle\text{суффикс}\rangle~is~-~\sharp$ в партитурах, удлинняющийся до $isis~-~\raisebox{2pt}{\rotatebox[origin=c]{45}{_\maltese}}~-~$ в случае повышения на две апотомы. \\ \hline $\langle\text{постфикс}\rangle$ & $\mathrm{[Se[ONo/UNo]sa]}$ & Тональная функция в двойственном представлении сочетанием некоторого сонанта $\mathrm{Se_\varnothing}$ и некоторого субсонанта $\mathrm{\varnothing sa}$, где $\mathrm{ONo~(O_{vertone}~No_{mero})}$ есть номер сонанта $\mathrm{Se_\varnothing}$ в ряду обертонов от начала с тональной функцией $\mathrm{\varnothing[1/1]_\varnothing}$ и номеру $\mathrm{UNo~(U_{ndertone}~No_{mero})}$ в ряду унтертонов от этого же начала соответствует субсонант $\mathrm{\varnothing sa}$. \\ \end{tabular} $

Запись в общем виде описанного формата имени ноты:

$ [\kappa o\mu\mu\alpha]$,$\theta[n]C/\hbar[^i_e s^{is}_{es}]$:$\mathrm{[Se[ONo/UNo]sa]} $




*) Квадратные скобки означают возможность отсутствия заключённого них содержимого.

**) Одна буква $\chi$ соответствует пустой, т.е. нулевой комме.

***) Prime commas of 127LJI system = Первокоммы системы ЧИП127: Commas(Prime)127j.xls

****) Апотома в числах:

[commator]

commator в сообщении #1115428 писал(а):

Запись в общем виде описанного формата имени ноты:

$ [\kappa o\mu\mu\alpha]$,$\theta[n]C/\hbar[^i_e s^{is}_{es}]$:$\mathrm{[Se[ONo/UNo]sa]} $

Одна длинная строка не всегда удобна и может быть рвзделена, например двоеточием, на пару подстрок одна над другой:

$ [\kappa o\mu\mu\alpha]$,$\theta[n]C/\hbar[^i_e s^{is}_{es}]$:

:$\mathrm{[Se[ONo/UNo]sa]} $

[commator]

commator в сообщении #1115132 писал(а):

Попытка достижения дидимизации дорийской симметрии, заслуживающая MIDI моделирования для испытания на слуховую приемлемость.

commator в сообщении #1115428 писал(а):

Схема попытки нуждается в уйме пояснений

Что мне представляется важным, ниже расписано для каждой ноты эолийского фрагмента схемы, где пока не показаны связи, которые поясню и нарисую позже.

Сейчас надо сказать, что все нотные имена даны полустроками и выражение верхней полустроки пояснено сверху, а нижней — снизу.

Таким же путём пояснено записанное полустроками выражение в левом верхнем углу фрагмента, где сделана попытка упаковать как можно плотнее и точнее следующее:

Нота ля первой октавы настроена в чистый (без ощутимых биений) унисон с высотой от камертона известной эталонной частоты, например

$0.440000$ kHz.

Затем, в чётко пифагорейскую чистую квинту с ля первой октавы, настроена ре первой октавы, назначенная началом системы ЧИП5 из которой вытянуты показанные на схеме высоты, образующие эолийский лад от эталонной высоты ля малой октавы. Всякий сонант на схеме выражает родство с ре первой октавы, понимаемой как выделенный элемент множества высот чёткой интонации

\large$\chi,\theta1d$:\O[1/1]\o,

хотя на схеме её нет. Вместе с тем, именно ре первой октавы оказалась центром симметрии общепринятой манеры устройства клавиатур.

$ \shorthandoff{

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1115132 писал(а):

А как Вы понимаете тесис и дюнамис?

Была идея взять за основу теорию "динамиса" Оголевца:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/00/2.html
и определить фигурирующие в этой теории "альфные" и "бетные" коэфициенты каким-нибудь методом, аналогичным по сути методу построения натуральных числовых отметок на проективной прямой (по Ефимову):
http://www.px-pict.com/9/6/4/6/2/1.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1116473 писал(а):

Была идея взять за основу теорию "динамиса" Оголевца: http://www.px-pict.com/7/3/2/4/00/2.html

В таком случае мною всё здесь анализируется в полном соответствии с Вашим желанием:

Свободный Художник в сообщении #1115123 писал(а):

Хотелось бы применить для анализа категории тесиса и дюнамиса

Сонанты именно в категории дюнамиса состоят, а высоты сами по себе, без приписывания им сонантов — в категории тесиса.

Анализировать высоты без приписывания сонантов (только числами, например) мне крайне затруднительно, поэтому сначала соединяю ноты и сонанты, затем по сонантам вычисляю и добавляю к нотам General MIDI Pitch Bend и результат слушаю через Программный синтезатор Windows XP.

[commator]

commator в сообщении #1116140 писал(а):

пояснено записанное полустроками выражение в левом верхнем углу фрагмента, где сделана попытка упаковать как можно плотнее и точнее следующее:

Нота ля первой октавы настроена в чистый (без ощутимых биений) унисон с высотой от камертона известной эталонной частоты, например

$0.440000$ kHz.

Затем, в чётко пифагорейскую чистую квинту с ля первой октавы, настроена ре первой октавы, назначенная началом системы ЧИП5 из которой вытянуты показанные на схеме высоты, образующие эолийский лад от эталонной высоты ля малой октавы. Всякий сонант на схеме выражает родство с ре первой октавы, понимаемой как выделенный элемент множества высот чёткой интонации

\large$\chi,\theta1d$:\O[1/1]\o,

хотя на схеме её нет. Вместе с тем, именно ре первой октавы оказалась центром симметрии общепринятой манеры устройства клавиатур.

$ \shorthandoff{

Подумал как такое громоздить без [math] и переписал:

$ \shorthandoff{

Теперь можно просто писать:

χ,џ‐a‐aeol ⊂
⊂ ,θ1d‐5LJI ∋ џ1a:Dt

или одной строкой

χ,џ‐a‐aeol ⊂ ,θ1d‐5LJI ∋ џ1a:Dt,

читая

[Лад] хи-эт-малая-ля-эолийский вытянут из [системы] тэт-первая-ре-ЧИП5, имеющей эт-первую-ля как [сонант] Дэта.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1116525 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1116473 писал(а):

Была идея взять за основу теорию "динамиса" Оголевца: http://www.px-pict.com/7/3/2/4/00/2.html

В таком случае мною всё здесь анализируется в полном соответствии с Вашим желанием:

Свободный Художник в сообщении #1115123 писал(а):

Хотелось бы применить для анализа категории тесиса и дюнамиса

Сонанты именно в категории дюнамиса состоят, а высоты сами по себе, без приписывания им сонантов — в категории тесиса.

Анализировать высоты без приписывания сонантов (только числами, например) мне крайне затруднительно, поэтому сначала соединяю ноты и сонанты, затем по сонантам вычисляю и добавляю к нотам General MIDI Pitch Bend и результат слушаю через Программный синтезатор Windows XP.

Каким образом можно сотнести это с тем, что Вы писали ранее:

commator в сообщении #1109613 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1106005 писал(а):

Давайте поищем связи между алгебраическими рассмотрениями, приводимыми у Арнольда в связи с упомянутой таблицей, и "геометрической алгеброй": http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/5/2/6.html

Сейчас мне представляется более приоритетным поиск разумного сочетания сонантометрии с привычной для западной музтеории нотной графикой, арифметикой рациональных чисел (пользующихся популярностью у исследователей чёткой интонации) и обобщающей любую математику алгеброй множеств.

-- Вт апр 19, 2016 23:39:19 --

Будем надеяться, что приводимые у Б. Л. ван дер Вардена "леммы Паппа":
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/8/7/1.html
послужат мостиком для перевода некоторых конструкций проективной геометрии в соответствующие конструкции "геометрической алгебры". Чтобы сделать то, что было задумано:

Свободный Художник в сообщении #1109524 писал(а):

Нам будет нетрудно перевести на язык "геометрической алгебры" нужные фрагменты статьи Делоне, взяв за исходный пункт замечание Б. Л. ван дер Вардена:
Повсюду в греческой математике встречаются многочисленные применения этой алгебры. Ход мысли всегда алгебраический, формулировка -- геометрическая. На этом методе основывается ... вся теория конических сечений целиком. В 4-м веке до н. э. Теэтет, а в 3-м веке до н. э. Архимед и Аполлоний были истинными виртуозами по этой части.
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/5/2/6.html

Б. Л. ван дер Варден: "Греческая алгебра была геометрической алгеброй: она оперировала отрезками прямой и прямоугольниками, но не числами":
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/8.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1116740 писал(а):

Б. Л. ван дер Варден: "Греческая алгебра была геометрической алгеброй: она оперировала отрезками прямой и прямоугольниками, но не числами": http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/8.html

Это всего лишь версия, как сказал когда-то дружелюбный прокурор в частной беседе после моего ему правдивого изложения сути одного дела. К тому же сегодня не только греческая алгебра в ходу. Не получилось у людей только греческой алгеброй ограничиться.

Алгебра музыкальной гармонии у меня строго без чисел не получается. У музыкантов тоже, поскольку они давно пользуются сочетаниями буквенных обозначений высот и тональных функций с числами, как арабскими, так и римскими, которые прима, секунда, терция, кварта, квинта, сэкста, сэптима, октава, ...; таковые у них и вовсе культовые, хотя смысл имеют скорее алгебраический, чем арифметический. Эти римские не арабские чтобы не тянуло на арифметические игрища с ними, полагаю.

-- 19.04.2016, 23:29 --

Свободный Художник в сообщении #1116740 писал(а):

commator в сообщении #1116525 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1116473 писал(а):

Была идея взять за основу теорию "динамиса" Оголевца: http://www.px-pict.com/7/3/2/4/00/2.html

В таком случае мною всё здесь анализируется в полном соответствии с Вашим желанием:

Свободный Художник в сообщении #1115123 писал(а):

Хотелось бы применить для анализа категории тесиса и дюнамиса

Сонанты именно в категории дюнамиса состоят, а высоты сами по себе, без приписывания им сонантов — в категории тесиса.

Анализировать высоты без приписывания сонантов (только числами, например) мне крайне затруднительно, поэтому сначала соединяю ноты и сонанты, затем по сонантам вычисляю и добавляю к нотам General MIDI Pitch Bend и результат слушаю через Программный синтезатор Windows XP.

Каким образом можно сотнести это с тем, что Вы писали ранее:

commator в сообщении #1109613 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1106005 писал(а):

Давайте поищем связи между алгебраическими рассмотрениями, приводимыми у Арнольда в связи с упомянутой таблицей, и "геометрической алгеброй": http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/5/2/6.html

Сейчас мне представляется более приоритетным поиск разумного сочетания сонантометрии с привычной для западной музтеории нотной графикой, арифметикой рациональных чисел (пользующихся популярностью у исследователей чёткой интонации) и обобщающей любую математику алгеброй множеств.

Можно так:

Сталин в 30-х писал(а):

Попытка не пытка.

И так:

Nowitzky‎ 2014 писал(а):

Михайло,
3/2 3/2 5/3, 3/2, 2/1, 15/8, ... Смайлик «smile»
--Марк

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1116772 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1116740 писал(а):

Б. Л. ван дер Варден: "Греческая алгебра была геометрической алгеброй: она оперировала отрезками прямой и прямоугольниками, но не числами": http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/8.html

Это всего лишь версия, как сказал когда-то дружелюбный прокурор в частной беседе после моего ему правдивого изложения сути одного дела. К тому же сегодня не только греческая алгебра в ходу. Не получилось у людей только греческой алгеброй ограничиться.

Алгебра музыкальной гармонии у меня строго без чисел не получается. У музыкантов тоже, поскольку они давно пользуются сочетаниями буквенных обозначений высот и тональных функций с числами, как арабскими, так и римскими, которые прима, секунда, терция, кварта, квинта, сэкста, сэптима, октава, ...; таковые у них и вовсе культовые, хотя смысл имеют скорее алгебраический, чем арифметический. Эти римские не арабские чтобы не тянуло на арифметические игрища с ними, полагаю.

Я хотел бы предложить какой-нибудь клон античной геометрической алгебры в качестве основы для "алгебры музыкальной гармонии", которая здесь обсуждается. И начать построение "алгебры музыкальной гармонии" на этой основе где-то примерно со звукоряда Орфея, относительно которого я сделал одно наблюдение, касающееся гармонической четверки точек:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/3.html

-- Ср апр 20, 2016 23:50:13 --

В этой связи, возможно, будут полезны исследования В. И. Петра о той роли, которую, по его мнению, сыграл "армонический тетрахорд" в построении западной теории музыки:
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/4/01.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/4/1/1.html

[Свободный Художник]

А вот Аристотель у Плутарха (в изложении Б. Л. ван дер Вардена) по другому, чем В. И. Петр описывает "армонический тетрахорд" (или "тетраду"): "Гамма небесна: она имеет божественную, величавую, чудесную природу..." (и т. д.):
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html
В этом описании гораздо больше (античной) математики.

-- Сб апр 23, 2016 23:09:30 --

Но можно попытаться применить для описания тетрады и какие-нибудь понятия современной математики. Например, можно попытаться представить ее (в ее "основе") как алгебраическую систему, известную под названием "группоида Брандта":

Свободный Художник в сообщении #1085213 писал(а):

Я хотел бы попытаться выразить кое-что из того, что Вы пишите, в терминах группоидов Брандта. Отметим, что тетрада связывалась как с числами 1, 2, 3, 4, так и с числами 6, 8, 9, 12:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/4.html

Можно начать с чисел 1, 2, 3, 4. Этому случаю соответствует уже обсуждавшийся выше группоид Брандта $\mathbf{R_4}$. Потом его можно расширить, чтобы включить в рассмотрение также числа 6, 8, 9, 12. Пока что я несколько по иному перерисовал таблицу Кэли для группоида $\mathbf{R_4}$:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
(пункт 3а на указанной странице)
От перестановки строк и/или столбцов таблицы Кэли ее смысл не меняется, но при удачной перестановке могут быть боле ясно видны скрытые в ней закономерности.

-- Ср дек 23, 2015 23:36:09 --

Группоиды Брандта не являются такими уж тривиальными алгебраическими системами, как это может показаться на первый взгляд. Ибо, как пишут, например, Клиффорд - Престон, "эта система удовлетворяет некоторым довольно сильным аксиомам". Из которых можно попытаться поизвлекать разные интересные следствия (раз эти аксиомы "сильные").
http://www.px-pict.com/9/5/2/7/1/3.html

В этой связи может быть полезной книга: Сушкевич А. Теория обобщенных групп. Харьков - Киев: ОНТИ, 1937,
на которую ссылаются упомянутые Клиффорд - Престон и которую можно взять здесь:
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mat ... lgebra.htm

-- Сб апр 23, 2016 23:22:29 --

Свободный Художник в сообщении #1116740 писал(а):

Б. Л. ван дер Варден: "Греческая алгебра была геометрической алгеброй: она оперировала отрезками прямой и прямоугольниками, но не числами":
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/8.html

Пример такого оперирования:
http://www.px-pict.com/7/3/1/1/4/2/6/1/30.html
С соответствующим комментарием Д. Д. Мордухай - Болтовского:
http://www.px-pict.com/7/3/1/1/4/2/6/2/32.html

[Свободный Художник]

По-видимому, рассмотрения, связанные со "звукорядом Орфея" ("Тетрадой"), были отправной точкой для Глареана и Царлино в их исследованиях. "Another concept that Glarean derived from classical theory is the division of the octave by arithmetic and harmonic means":
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/4/00.html
Собственные рассуждения Царлино о делении октавы при помощи операций арифметического и гармонического средних:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/4/9.html

[commator]

commator в сообщении #1114100 писал(а):

для употребления полезной, как показалось, возможности этого Форума:

Munin в сообщении #537061 писал(а):

\Xy-pic - очень мощная штука, но одновременно сложная и невнятно описанная, что препятствует её более широкому использованию. С помощью \Xy-pic можно рисовать не только коммутативные диаграммы (а вы это часто делаете?), но и почти любые рисунки, которые вы готовы набросать на доске. Примеры кода рисунков на \Xy-pic часто выглядят абракадаброй. Между тем, это идейно очень простая штука.

продолжаю упражняться в черновиках, пока.

Надеюсь не напрасно и покажу, как только получу что задумал.