2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 14:39 


26/04/14
121
Здравствуйте, помогите разобраться с задачкой по механике.
Изображение

Я её вроде бы решил, через интегрирование уравнения движения, получил экспоненциальную зависимость координаты $y$ от времени. Однако численно ответ не получается.

Корректен ли график? Судя по нему, плот проходит перпендикулярно берегу расстояние 5 м за то же время, что и вдоль берега расстояние 1 м. Однако изначально горизонтальная и вертикальная скорости плота равны по величине (0,3 м/с). Или я неверно понял условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 14:43 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Mathew Rogan в сообщении #1103091 писал(а):
Корректен ли график? Судя по нему, плот проходит перпендикулярно берегу расстояние 5 м за то же время, что и вдоль берега расстояние 1 м. Однако изначально горизонтальная и вертикальная скорости плота равны по величине (0,3 м/с). Или я неверно понял условие?
Из рисунка, вообще говоря, не следует, что масштаб по вертикальной оси совпадает с масштабом по горизонтальной. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 14:48 


26/04/14
121
Pphantom в сообщении #1103095 писал(а):
Из рисунка, вообще говоря, не следует, что масштаб по вертикальной оси совпадает с масштабом по горизонтальной. :D

В таком случае, всё понятно. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 14:50 
Заслуженный участник


28/12/12
7946
Mathew Rogan в сообщении #1103091 писал(а):
Однако изначально горизонтальная и вертикальная скорости плота равны по величине (0,3 м/с).

Изначально, судя по условию, горизонтальная (вдоль течения) скорость нулевая. Замечу, что разгоняет плот вдоль течения ровно такая же сила сопротивления, что и тормозит поперек.

-- 29.02.2016, 17:56 --

По картинке (принимая масштабы одинаковыми :-)) у меня получились уравнения
$y_0\left(1-z^2\right)=5,$
$y_0\left(1-z^5\right)=7.$
Здесь $y_0$ - искомое расстояние, $z$ - некоторая экспонента. На бумаге я такое не могу решить.
Наверно, можно померить наклон и найти, например, точку, где компоненты скорости одинаковые, но это определенно будет неточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:05 


26/04/14
121
У меня тоже в конце получилось кубическое уравнение с экспонентой $z$. Я решал его численными методами. Там получается три корня: первый равен 1, он не подходит, так как это равносильно отсутствию сопротивления; второй - отрицательный, чего тоже быть не может; третий, положительный, удовлетворяет решению.

Однако, конечно, хотелось бы решить всё точно, без подборов и приближённых вычислений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:14 
Заслуженный участник


28/12/12
7946
Mathew Rogan в сообщении #1103108 писал(а):
У меня тоже в конце получилось кубическое уравнение с экспонентой $z$.

А как оно получилось?
Я взял две точки (1,5) и (3,7). Вышло, что времена для них отличаются в 2.5 раза - отсюда и показатели экспонент.

Mathew Rogan в сообщении #1103108 писал(а):
Однако, конечно, хотелось бы решить всё точно, без подборов и приближённых вычислений.

Для корней кубического уравнения есть формула. Более того, если один корень угадали, можно свести к квадратному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:19 


26/04/14
121
Я тоже брал точки (1,5) и (3,7), однако полагал, что скорость вдоль реки постоянна и равна 0,3 м/с, откуда отношение моментов времени равно 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:20 
Заслуженный участник


28/12/12
7946
Mathew Rogan в сообщении #1103116 писал(а):
полагал, что скорость вдоль реки постоянна и равна 0,3 м/с

Это очевидно неверно.
В моем уравнении тоже есть корень $z=1$, так что можно свести к уравнению четвертой степени $5z^4+5z^3+5z^2-2z-2=0$. Но решать такое все равно неохота.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:26 


26/04/14
121
DimaM в сообщении #1103101 писал(а):
Замечу, что разгоняет плот вдоль течения ровно такая же сила сопротивления, что и тормозит поперек.


Можете пояснить этот момент? Разве сила сопротивления может "разгонять" тело?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:29 
Заслуженный участник


28/12/12
7946
Mathew Rogan в сообщении #1103121 писал(а):
Можете пояснить этот момент? Разве сила сопротивления может "разгонять" тело?

Вначале у плота скорость относительно воды вдоль течения -0.3 м/с, в конце - нулевая. Относительно берега, соответственно, 0 и 0.3 м/с. Так что относительно берега именно "разгоняет".

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:59 


26/04/14
121
Подскажите, верно ли я составил уравнения движения?

$x = \frac{V_{0x}}{\alpha}(\alpha t + e^{-\alpha t} - 1)$

$y = \frac{V_{0y}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha t} )$

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 16:04 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Mathew Rogan в сообщении #1103139 писал(а):
Подскажите, верно ли я составил уравнения движения?
По оси $y$ - да (если $V_{0y}$ - скорость течения), а по оси $x$ - смотря что Вы понимаете под $V_{0x}$. Если то же самое, то да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 16:07 


26/04/14
121
$V_{0y}$ – это начальная скорость плота, а $V_{0x}$ – скорость течения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 16:26 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Mathew Rogan в сообщении #1103145 писал(а):
$V_{0y}$ – это начальная скорость плота, а $V_{0x}$ – скорость течения.
Тогда правильно. Собственно, по условию они одинаковы, так что можно было упростить обозначения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 16:34 


26/04/14
121
В таком случае получается довольно простое выражение для суммы координат:
$x + y  = \frac{V_0}{\alpha} (\alpha t + e^{-\alpha t} - 1) + \frac{V_0}{\alpha}(1 - e^{-\alpha t} )$ = V_0t

Отсюда можно найти момент времени для точки (1,5): $t_1 = 6/0,3 = 20$ с и для точки (3,7): $t_2 = 10/0,3 = 33,33$ с.

Отношение моментов времени тогда равно не 3, как я изначально наивно полагал, и не 2,5, как получилось у DimaM, а 1,67.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group