Плот и сопротивление воды

[Mathew Rogan]

Здравствуйте, помогите разобраться с задачкой по механике.


Я её вроде бы решил, через интегрирование уравнения движения, получил экспоненциальную зависимость координаты $y$ от времени. Однако численно ответ не получается.

Корректен ли график? Судя по нему, плот проходит перпендикулярно берегу расстояние 5 м за то же время, что и вдоль берега расстояние 1 м. Однако изначально горизонтальная и вертикальная скорости плота равны по величине (0,3 м/с). Или я неверно понял условие?

[Pphantom]

Mathew Rogan в сообщении #1103091 писал(а):

Корректен ли график? Судя по нему, плот проходит перпендикулярно берегу расстояние 5 м за то же время, что и вдоль берега расстояние 1 м. Однако изначально горизонтальная и вертикальная скорости плота равны по величине (0,3 м/с). Или я неверно понял условие?

Из рисунка, вообще говоря, не следует, что масштаб по вертикальной оси совпадает с масштабом по горизонтальной.

[Mathew Rogan]

Pphantom в сообщении #1103095 писал(а):

Из рисунка, вообще говоря, не следует, что масштаб по вертикальной оси совпадает с масштабом по горизонтальной.

В таком случае, всё понятно.

[DimaM]

Mathew Rogan в сообщении #1103091 писал(а):

Однако изначально горизонтальная и вертикальная скорости плота равны по величине (0,3 м/с).

Изначально, судя по условию, горизонтальная (вдоль течения) скорость нулевая. Замечу, что разгоняет плот вдоль течения ровно такая же сила сопротивления, что и тормозит поперек.

-- 29.02.2016, 17:56 --

По картинке (принимая масштабы одинаковыми ) у меня получились уравнения
$y_0\left(1-z^2\right)=5,$
$y_0\left(1-z^5\right)=7.$
Здесь $y_0$ - искомое расстояние, $z$ - некоторая экспонента. На бумаге я такое не могу решить.
Наверно, можно померить наклон и найти, например, точку, где компоненты скорости одинаковые, но это определенно будет неточно.

[Mathew Rogan]

У меня тоже в конце получилось кубическое уравнение с экспонентой $z$. Я решал его численными методами. Там получается три корня: первый равен 1, он не подходит, так как это равносильно отсутствию сопротивления; второй - отрицательный, чего тоже быть не может; третий, положительный, удовлетворяет решению.

Однако, конечно, хотелось бы решить всё точно, без подборов и приближённых вычислений.

[DimaM]

Mathew Rogan в сообщении #1103108 писал(а):

У меня тоже в конце получилось кубическое уравнение с экспонентой $z$.

А как оно получилось?
Я взял две точки (1,5) и (3,7). Вышло, что времена для них отличаются в 2.5 раза - отсюда и показатели экспонент.

Mathew Rogan в сообщении #1103108 писал(а):

Однако, конечно, хотелось бы решить всё точно, без подборов и приближённых вычислений.

Для корней кубического уравнения есть формула. Более того, если один корень угадали, можно свести к квадратному.

[Mathew Rogan]

Я тоже брал точки (1,5) и (3,7), однако полагал, что скорость вдоль реки постоянна и равна 0,3 м/с, откуда отношение моментов времени равно 3.

[DimaM]

Mathew Rogan в сообщении #1103116 писал(а):

полагал, что скорость вдоль реки постоянна и равна 0,3 м/с

Это очевидно неверно.
В моем уравнении тоже есть корень $z=1$, так что можно свести к уравнению четвертой степени $5z^4+5z^3+5z^2-2z-2=0$. Но решать такое все равно неохота.

[Mathew Rogan]

DimaM в сообщении #1103101 писал(а):

Замечу, что разгоняет плот вдоль течения ровно такая же сила сопротивления, что и тормозит поперек.

Можете пояснить этот момент? Разве сила сопротивления может "разгонять" тело?

[DimaM]

Mathew Rogan в сообщении #1103121 писал(а):

Можете пояснить этот момент? Разве сила сопротивления может "разгонять" тело?

Вначале у плота скорость относительно воды вдоль течения -0.3 м/с, в конце - нулевая. Относительно берега, соответственно, 0 и 0.3 м/с. Так что относительно берега именно "разгоняет".

[Mathew Rogan]

Подскажите, верно ли я составил уравнения движения?

$x = \frac{V_{0x}}{\alpha}(\alpha t + e^{-\alpha t} - 1)$

$y = \frac{V_{0y}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha t} )$

[Pphantom]

Mathew Rogan в сообщении #1103139 писал(а):

Подскажите, верно ли я составил уравнения движения?

По оси $y$ - да (если $V_{0y}$ - скорость течения), а по оси $x$ - смотря что Вы понимаете под $V_{0x}$. Если то же самое, то да.

[Mathew Rogan]

$V_{0y}$ – это начальная скорость плота, а $V_{0x}$ – скорость течения.

[Pphantom]

Mathew Rogan в сообщении #1103145 писал(а):

$V_{0y}$ – это начальная скорость плота, а $V_{0x}$ – скорость течения.

Тогда правильно. Собственно, по условию они одинаковы, так что можно было упростить обозначения.

[Mathew Rogan]

В таком случае получается довольно простое выражение для суммы координат:
$x + y = \frac{V_0}{\alpha} (\alpha t + e^{-\alpha t} - 1) + \frac{V_0}{\alpha}(1 - e^{-\alpha t} )$ = V_0t

Отсюда можно найти момент времени для точки (1,5): $t_1 = 6/0,3 = 20$ с и для точки (3,7): $t_2 = 10/0,3 = 33,33$ с.

Отношение моментов времени тогда равно не 3, как я изначально наивно полагал, и не 2,5, как получилось у DimaM, а 1,67.