2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 14:39 


26/04/14
121
Здравствуйте, помогите разобраться с задачкой по механике.
Изображение

Я её вроде бы решил, через интегрирование уравнения движения, получил экспоненциальную зависимость координаты $y$ от времени. Однако численно ответ не получается.

Корректен ли график? Судя по нему, плот проходит перпендикулярно берегу расстояние 5 м за то же время, что и вдоль берега расстояние 1 м. Однако изначально горизонтальная и вертикальная скорости плота равны по величине (0,3 м/с). Или я неверно понял условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 14:43 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Mathew Rogan в сообщении #1103091 писал(а):
Корректен ли график? Судя по нему, плот проходит перпендикулярно берегу расстояние 5 м за то же время, что и вдоль берега расстояние 1 м. Однако изначально горизонтальная и вертикальная скорости плота равны по величине (0,3 м/с). Или я неверно понял условие?
Из рисунка, вообще говоря, не следует, что масштаб по вертикальной оси совпадает с масштабом по горизонтальной. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 14:48 


26/04/14
121
Pphantom в сообщении #1103095 писал(а):
Из рисунка, вообще говоря, не следует, что масштаб по вертикальной оси совпадает с масштабом по горизонтальной. :D

В таком случае, всё понятно. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 14:50 
Заслуженный участник


28/12/12
7906
Mathew Rogan в сообщении #1103091 писал(а):
Однако изначально горизонтальная и вертикальная скорости плота равны по величине (0,3 м/с).

Изначально, судя по условию, горизонтальная (вдоль течения) скорость нулевая. Замечу, что разгоняет плот вдоль течения ровно такая же сила сопротивления, что и тормозит поперек.

-- 29.02.2016, 17:56 --

По картинке (принимая масштабы одинаковыми :-)) у меня получились уравнения
$y_0\left(1-z^2\right)=5,$
$y_0\left(1-z^5\right)=7.$
Здесь $y_0$ - искомое расстояние, $z$ - некоторая экспонента. На бумаге я такое не могу решить.
Наверно, можно померить наклон и найти, например, точку, где компоненты скорости одинаковые, но это определенно будет неточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:05 


26/04/14
121
У меня тоже в конце получилось кубическое уравнение с экспонентой $z$. Я решал его численными методами. Там получается три корня: первый равен 1, он не подходит, так как это равносильно отсутствию сопротивления; второй - отрицательный, чего тоже быть не может; третий, положительный, удовлетворяет решению.

Однако, конечно, хотелось бы решить всё точно, без подборов и приближённых вычислений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:14 
Заслуженный участник


28/12/12
7906
Mathew Rogan в сообщении #1103108 писал(а):
У меня тоже в конце получилось кубическое уравнение с экспонентой $z$.

А как оно получилось?
Я взял две точки (1,5) и (3,7). Вышло, что времена для них отличаются в 2.5 раза - отсюда и показатели экспонент.

Mathew Rogan в сообщении #1103108 писал(а):
Однако, конечно, хотелось бы решить всё точно, без подборов и приближённых вычислений.

Для корней кубического уравнения есть формула. Более того, если один корень угадали, можно свести к квадратному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:19 


26/04/14
121
Я тоже брал точки (1,5) и (3,7), однако полагал, что скорость вдоль реки постоянна и равна 0,3 м/с, откуда отношение моментов времени равно 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:20 
Заслуженный участник


28/12/12
7906
Mathew Rogan в сообщении #1103116 писал(а):
полагал, что скорость вдоль реки постоянна и равна 0,3 м/с

Это очевидно неверно.
В моем уравнении тоже есть корень $z=1$, так что можно свести к уравнению четвертой степени $5z^4+5z^3+5z^2-2z-2=0$. Но решать такое все равно неохота.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:26 


26/04/14
121
DimaM в сообщении #1103101 писал(а):
Замечу, что разгоняет плот вдоль течения ровно такая же сила сопротивления, что и тормозит поперек.


Можете пояснить этот момент? Разве сила сопротивления может "разгонять" тело?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:29 
Заслуженный участник


28/12/12
7906
Mathew Rogan в сообщении #1103121 писал(а):
Можете пояснить этот момент? Разве сила сопротивления может "разгонять" тело?

Вначале у плота скорость относительно воды вдоль течения -0.3 м/с, в конце - нулевая. Относительно берега, соответственно, 0 и 0.3 м/с. Так что относительно берега именно "разгоняет".

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 15:59 


26/04/14
121
Подскажите, верно ли я составил уравнения движения?

$x = \frac{V_{0x}}{\alpha}(\alpha t + e^{-\alpha t} - 1)$

$y = \frac{V_{0y}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha t} )$

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 16:04 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Mathew Rogan в сообщении #1103139 писал(а):
Подскажите, верно ли я составил уравнения движения?
По оси $y$ - да (если $V_{0y}$ - скорость течения), а по оси $x$ - смотря что Вы понимаете под $V_{0x}$. Если то же самое, то да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 16:07 


26/04/14
121
$V_{0y}$ – это начальная скорость плота, а $V_{0x}$ – скорость течения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 16:26 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Mathew Rogan в сообщении #1103145 писал(а):
$V_{0y}$ – это начальная скорость плота, а $V_{0x}$ – скорость течения.
Тогда правильно. Собственно, по условию они одинаковы, так что можно было упростить обозначения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плот и сопротивление воды
Сообщение29.02.2016, 16:34 


26/04/14
121
В таком случае получается довольно простое выражение для суммы координат:
$x + y  = \frac{V_0}{\alpha} (\alpha t + e^{-\alpha t} - 1) + \frac{V_0}{\alpha}(1 - e^{-\alpha t} )$ = V_0t

Отсюда можно найти момент времени для точки (1,5): $t_1 = 6/0,3 = 20$ с и для точки (3,7): $t_2 = 10/0,3 = 33,33$ с.

Отношение моментов времени тогда равно не 3, как я изначально наивно полагал, и не 2,5, как получилось у DimaM, а 1,67.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group