Неоднозначность отрицания

[Sinoid]

Здравствуйте! Вот есть такая задача: Сформулировать отрицание высказывания "Некоторые грибы несъедобны". Ясно, что можно ответить: "Некоторые грибы съедобны". Если понимать слово "Некоторые" как "Не все", то можно дать ответ: "Все грибы несъедобны". Но если истолковать слово "некоторые" в смысле "существуют", то отрицание можно сформулировать как: "Не существует несъедобных грибов", а поскольку грибы в принципе существуют, то ответ можно было бы сформулировать так: "Все грибы съедобны". С другой стороны, для такой переформулировки приходится вводить новое допущение о существовании грибов. Да, допустимость этого момент спорный. Но ответы "Все грибы несъедобны" и "Не существует несъедобных грибов" уже друг друга исключают. А как вообще решать такие задачи, если в условии, к примеру, этой задачи не оговорен смысл слова "Некоторые"?

[Dmitriy40]

А разве допущение о существовании грибов не содержится в исходной формулировке?
А также там содержится утверждение о непустоте множества несъедобных грибов. Вот о пустоте множества грибов за исключением несъедобных в вопросе информаци нет. Т.е. да, я пониманию слово "некоторые" как непустое подмножество исходного множества всех грибов. Но возможно совпадающее с исходным множеством всех грибов (про это тоже ничего не сказано). А слово "несъедобные" как указание на условие разделения множества на подмножества.
Отрицания при этом можно построить разные.

[Anton_Peplov]

Sinoid в сообщении #1102597 писал(а):

А как вообще решать такие задачи, если в условии, к примеру, этой задачи не оговорен смысл слова "Некоторые"?

"Некоторые" означает "существуют такие, что...". Это единственный смысл, который вкладывается в это слово в логике. Во имя Буля и Поста, и святого Геделя, аминь.

[Someone]

Что-то чудное вы оба пишете (я имею в виду Sinoid и Dmitriy40, поскольку, пока писал, появилось третье сообщение). Исходное высказывание "Некоторые грибы несъедобны" имеет вид $\exists xP(x)$. Какое у него отрицание по правилам математической логики?

[Sinoid]

Dmitriy40 в сообщении #1102598 писал(а):

А разве допущение о существовании грибов не содержится в исходной формулировке?

С таким же успехом можно составить предложение "Некоторые умпасоны несъедобны". И что, в этом предложении содержится утверждение о непустоте множества умпасононв?

[grizzly]

И, кстати, существование грибов, про которые известно, что они несъедобны, не означает, что все остальные -- съедобные. С этим тоже нужно аккуратно.
Если однозначно понятно (из контекста, например), о каком множестве грибов (пространстве) идёт речь, то отрицание будет однозначным. В противном случае кто-то обязательно посчитает, что "не существует" означает "не может существовать", а кто-то другой -- что "пока не обнаружены".

[Dmitriy40]

Sinoid в сообщении #1102603 писал(а):

С таким же успехом можно составить предложение "Некоторые умпасоны несъедобны". И что, в этом предложении содержится утверждение о непустоте множества умпасононв?

Да. Несуществующему множеству объектов (именно не существующему, а не пустому) нельзя поставить в соответствие никаких признаков (съедобности или несъедобности).
Насколько верно (истинно) первое предложение, настолько же верен и ответ "да" на второй вопрос. Разумеется из любого составленного бреда будет следовать не менее бредовое утверждение о существовании.

Someone в сообщении #1102600 писал(а):

Что-то чудное вы оба пишете (я имею в виду Sinoid и Dmitriy40,

Можно пояснить что не так в моих словах? Кроме последней моей фразы о множественности вариантов отрицаний (это и сам что-то засомневался). Мне кажется я сказал тоже самое что и Anton_Peplov, только многословнее.

grizzly, согласен.

[Someone]

Dmitriy40 в сообщении #1102643 писал(а):

Мне кажется я сказал тоже самое что и Anton_Peplov

Вы много чего наговорили. Так что там с отрицанием по правилам математической логики? И сколько их в математической логике, этих отрицаний?

Dmitriy40 в сообщении #1102598 писал(а):

А также там содержится утверждение о непустоте множества несъедобных грибов.

Видите ли, если уж у нас есть формальная теория, то автоматически предполагается, что её предметная область не является пустой. Вот если теория окажется противоречивой, тогда мы будем знать, что она ничего не описывает. А для непротиворечивой теории всегда можно придумать какую-нибудь интерпретацию.

Sinoid в сообщении #1102603 писал(а):

С таким же успехом можно составить предложение "Некоторые умпасоны несъедобны". И что, в этом предложении содержится утверждение о непустоте множества умпасононв?

А почему Вы думаете, что слово "грибы" в первоначальном варианте фразы означает именно то, о чём Вы подумали? И какая вообще разница, как называть объекты теории — "грибы" или "умпасоны"?

[Sinoid]

Someone в сообщении #1102778 писал(а):

Видите ли, если уж у нас есть формальная теория, то автоматически предполагается, что её предметная область не является пустой

Не факт. До тех пор, пока не был решен вопрос с ВТФ, предположения как о наличии, так и об отсутствии решений у этого уравнения рассматривались как равновозможные.

Anton_Peplov в сообщении #1102599 писал(а):

"Некоторые" означает "существуют такие, что..."

Отрицание: "не существует таких, что..."

Someone в сообщении #1102600 писал(а):

"Некоторые грибы несъедобны" имеет вид $\exists xP(x)$. Какое у него отрицание по правилам математической логики?

Отрицание: $\nexists xP(x)$, "Не существует несъедобных грибов"

[Anton_Peplov]

Sinoid в сообщении #1102846 писал(а):

Отрицание: "не существует таких, что..."

Ну вот, а Вы боялись. Видите, это не больно.

Sinoid в сообщении #1102846 писал(а):

Не факт. До тех пор, пока не был решен вопрос с ВТФ, предположения как о наличии, так и об отсутствии решений у этого уравнения рассматривались как равновозможные.

Не были бы Вы столь любезны привести определения понятий "формальная теория" и "предметная область формальной теории"?

[Sinoid]

Anton_Peplov в сообщении #1102850 писал(а):

Sinoid в сообщении #1102846

писал(а):
Не факт. До тех пор, пока не был решен вопрос с ВТФ, предположения как о наличии, так и об отсутствии решений у этого уравнения рассматривались как равновозможные. Не были бы Вы столь любезны привести определения понятий "формальная теория" и "предметная область формальной теории"?

Я пока еще не настолько глубоко разбираюсь в этом и сию минуту не возьмусь углубляться в эти дебри, потому что еще не по зубам. Просто если вы заговорили про формальные теории, то мне показалось, что пример с ВТФ здесь уместен. Я сейчас нахожусь на стр. 9 книги "Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов" и, если можно, разговаривайте со мной языком в пределах этого объема знаний (хотя эта просьба, быть может, и отвернет от меня некоторых собеседников, но и оперировать неизвестными мне терминами я тоже не могу).

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1102846 писал(а):

Отрицание: $\nexists xP(x)$, "Не существует несъедобных грибов"

Ага. После чего это можно преобразовать в $\forall x(\neg P(x))$ — «все вещи — не (несъедобные грибы)», или дальше «для всякой вещи, она съедобна или она — не гриб». Потом можно пойти ещё дальше и превратить дизъюнкцию в импликацию: «для всякой вещи, если она несъедобна, она не гриб» или «для всякой вещи, если она гриб, она съедобна», или, другими словами, соответственно «все несъедобные вещи не грибы» и «все грибы съедобны».

Не знаю, то ли это, что вызывало проблему в начале, но, если что, ограниченные кванторы переводятся в неограниченные немного по-разному. Пусть $Gx={}$ «$x$ — гриб», $Ex={}$ «$x$ съедобно». Тогда
• «все грибы съедобны» ${}=\forall x(Gx\Rightarrow Ex)$;
• «существуют грибы, которые съедобны» ${}=\exists x(Gx\wedge Ex)$.
Если вы это уже знаете, что ж, мне не очень долго было набирать.

[DeBill]

Задурили парню голову....
Sinoid
Правила построения отрицаний (высказываний с кванторами) просты и понятны. Их ровно два:
неверно, что $\exists x P(x)$ равносильно тому, что $\forall x \neg P(x)$
и аналогичное (напишите сами). Запомнить легко: значок отрицания ползет снаружи до самого нутра, превращая каждый квантор в противоположный, и, наконец, присобачивается к самому этому нутру.
Так что все легко: только не надо ничего переусложнять : ненесъедобный гриб - это съедобный гриб.

-- 28.02.2016, 19:05 --

А, уже написали...

[Dmitriy40]

Someone в сообщении #1102778 писал(а):

Так что там с отрицанием по правилам математической логики? И сколько их в математической логике, этих отрицаний?

Простите, я не готов обсуждать вопрос с точки зрения исключительно математической логики. Я согласен что в логике отрицание единственное. Его кстати уже привёл ТС.
Сейчас ещё подумав понял что был не прав, даже разные формулировки отрицания (о чём я и думал) всё равно эквивалентны по смыслу. Приношу извинения.

[DeBill]

arseniiv
Мне кажется, проблемы были не с ограниченными кванторами - а вот как раз с этим ужасным перечеркнутым существованием. А может, и нет...