2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Неоднозначность отрицания
Сообщение27.02.2016, 19:32 


03/06/12
2868
Здравствуйте! Вот есть такая задача: Сформулировать отрицание высказывания "Некоторые грибы несъедобны". Ясно, что можно ответить: "Некоторые грибы съедобны". Если понимать слово "Некоторые" как "Не все", то можно дать ответ: "Все грибы несъедобны". Но если истолковать слово "некоторые" в смысле "существуют", то отрицание можно сформулировать как: "Не существует несъедобных грибов", а поскольку грибы в принципе существуют, то ответ можно было бы сформулировать так: "Все грибы съедобны". С другой стороны, для такой переформулировки приходится вводить новое допущение о существовании грибов. Да, допустимость этого момент спорный. Но ответы "Все грибы несъедобны" и "Не существует несъедобных грибов" уже друг друга исключают. А как вообще решать такие задачи, если в условии, к примеру, этой задачи не оговорен смысл слова "Некоторые"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение27.02.2016, 19:41 
Заслуженный участник


20/08/14
11786
Россия, Москва
А разве допущение о существовании грибов не содержится в исходной формулировке?
А также там содержится утверждение о непустоте множества несъедобных грибов. Вот о пустоте множества грибов за исключением несъедобных в вопросе информаци нет. Т.е. да, я пониманию слово "некоторые" как непустое подмножество исходного множества всех грибов. Но возможно совпадающее с исходным множеством всех грибов (про это тоже ничего не сказано). А слово "несъедобные" как указание на условие разделения множества на подмножества.
Отрицания при этом можно построить разные. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение27.02.2016, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8520
Sinoid в сообщении #1102597 писал(а):
А как вообще решать такие задачи, если в условии, к примеру, этой задачи не оговорен смысл слова "Некоторые"?
"Некоторые" означает "существуют такие, что...". Это единственный смысл, который вкладывается в это слово в логике. Во имя Буля и Поста, и святого Геделя, аминь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение27.02.2016, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Что-то чудное вы оба пишете (я имею в виду Sinoid и Dmitriy40, поскольку, пока писал, появилось третье сообщение). Исходное высказывание "Некоторые грибы несъедобны" имеет вид $\exists xP(x)$. Какое у него отрицание по правилам математической логики?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение27.02.2016, 20:09 


03/06/12
2868
Dmitriy40 в сообщении #1102598 писал(а):
А разве допущение о существовании грибов не содержится в исходной формулировке?

С таким же успехом можно составить предложение "Некоторые умпасоны несъедобны". И что, в этом предложении содержится утверждение о непустоте множества умпасононв?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение27.02.2016, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
И, кстати, существование грибов, про которые известно, что они несъедобны, не означает, что все остальные -- съедобные. С этим тоже нужно аккуратно.
Если однозначно понятно (из контекста, например), о каком множестве грибов (пространстве) идёт речь, то отрицание будет однозначным. В противном случае кто-то обязательно посчитает, что "не существует" означает "не может существовать", а кто-то другой -- что "пока не обнаружены".

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение27.02.2016, 22:44 
Заслуженный участник


20/08/14
11786
Россия, Москва
Sinoid в сообщении #1102603 писал(а):
С таким же успехом можно составить предложение "Некоторые умпасоны несъедобны". И что, в этом предложении содержится утверждение о непустоте множества умпасононв?
Да. Несуществующему множеству объектов (именно не существующему, а не пустому) нельзя поставить в соответствие никаких признаков (съедобности или несъедобности).
Насколько верно (истинно) первое предложение, настолько же верен и ответ "да" на второй вопрос. Разумеется из любого составленного бреда будет следовать не менее бредовое утверждение о существовании.

Someone в сообщении #1102600 писал(а):
Что-то чудное вы оба пишете (я имею в виду Sinoid и Dmitriy40,
Можно пояснить что не так в моих словах? Кроме последней моей фразы о множественности вариантов отрицаний (это и сам что-то засомневался). Мне кажется я сказал тоже самое что и Anton_Peplov, только многословнее.

grizzly, согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение28.02.2016, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Dmitriy40 в сообщении #1102643 писал(а):
Мне кажется я сказал тоже самое что и Anton_Peplov
Вы много чего наговорили. Так что там с отрицанием по правилам математической логики? И сколько их в математической логике, этих отрицаний?

Dmitriy40 в сообщении #1102598 писал(а):
А также там содержится утверждение о непустоте множества несъедобных грибов.
Видите ли, если уж у нас есть формальная теория, то автоматически предполагается, что её предметная область не является пустой. Вот если теория окажется противоречивой, тогда мы будем знать, что она ничего не описывает. А для непротиворечивой теории всегда можно придумать какую-нибудь интерпретацию.

Sinoid в сообщении #1102603 писал(а):
С таким же успехом можно составить предложение "Некоторые умпасоны несъедобны". И что, в этом предложении содержится утверждение о непустоте множества умпасононв?
А почему Вы думаете, что слово "грибы" в первоначальном варианте фразы означает именно то, о чём Вы подумали? И какая вообще разница, как называть объекты теории — "грибы" или "умпасоны"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение28.02.2016, 17:18 


03/06/12
2868
Someone в сообщении #1102778 писал(а):
Видите ли, если уж у нас есть формальная теория, то автоматически предполагается, что её предметная область не является пустой

Не факт. До тех пор, пока не был решен вопрос с ВТФ, предположения как о наличии, так и об отсутствии решений у этого уравнения рассматривались как равновозможные.
Anton_Peplov в сообщении #1102599 писал(а):
"Некоторые" означает "существуют такие, что..."

Отрицание: "не существует таких, что..."
Someone в сообщении #1102600 писал(а):
"Некоторые грибы несъедобны" имеет вид $\exists xP(x)$. Какое у него отрицание по правилам математической логики?

Отрицание: $\nexists xP(x)$, "Не существует несъедобных грибов"

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение28.02.2016, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8520
Sinoid в сообщении #1102846 писал(а):
Отрицание: "не существует таких, что..."
Ну вот, а Вы боялись. Видите, это не больно.

Sinoid в сообщении #1102846 писал(а):
Не факт. До тех пор, пока не был решен вопрос с ВТФ, предположения как о наличии, так и об отсутствии решений у этого уравнения рассматривались как равновозможные.
Не были бы Вы столь любезны привести определения понятий "формальная теория" и "предметная область формальной теории"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение28.02.2016, 17:47 


03/06/12
2868
Anton_Peplov в сообщении #1102850 писал(а):
Sinoid в сообщении #1102846

писал(а):
Не факт. До тех пор, пока не был решен вопрос с ВТФ, предположения как о наличии, так и об отсутствии решений у этого уравнения рассматривались как равновозможные. Не были бы Вы столь любезны привести определения понятий "формальная теория" и "предметная область формальной теории"?

Я пока еще не настолько глубоко разбираюсь в этом и сию минуту не возьмусь углубляться в эти дебри, потому что еще не по зубам. Просто если вы заговорили про формальные теории, то мне показалось, что пример с ВТФ здесь уместен. Я сейчас нахожусь на стр. 9 книги "Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов" и, если можно, разговаривайте со мной языком в пределах этого объема знаний (хотя эта просьба, быть может, и отвернет от меня некоторых собеседников, но и оперировать неизвестными мне терминами я тоже не могу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение28.02.2016, 17:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sinoid в сообщении #1102846 писал(а):
Отрицание: $\nexists xP(x)$, "Не существует несъедобных грибов"
Ага. После чего это можно преобразовать в $\forall x(\neg P(x))$ — «все вещи — не (несъедобные грибы)», или дальше «для всякой вещи, она съедобна или она — не гриб». Потом можно пойти ещё дальше и превратить дизъюнкцию в импликацию: «для всякой вещи, если она несъедобна, она не гриб» или «для всякой вещи, если она гриб, она съедобна», или, другими словами, соответственно «все несъедобные вещи не грибы» и «все грибы съедобны».

Не знаю, то ли это, что вызывало проблему в начале, но, если что, ограниченные кванторы переводятся в неограниченные немного по-разному. Пусть $Gx={}$ «$x$ — гриб», $Ex={}$ «$x$ съедобно». Тогда
• «все грибы съедобны» ${}=\forall x(Gx\Rightarrow Ex)$;
• «существуют грибы, которые съедобны» ${}=\exists x(Gx\wedge Ex)$.
Если вы это уже знаете, что ж, мне не очень долго было набирать. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение28.02.2016, 18:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Задурили парню голову....
Sinoid
Правила построения отрицаний (высказываний с кванторами) просты и понятны. Их ровно два:
неверно, что $\exists x P(x)$ равносильно тому, что $\forall x  \neg P(x)$
и аналогичное (напишите сами). Запомнить легко: значок отрицания ползет снаружи до самого нутра, превращая каждый квантор в противоположный, и, наконец, присобачивается к самому этому нутру.
Так что все легко: только не надо ничего переусложнять : ненесъедобный гриб - это съедобный гриб.

-- 28.02.2016, 19:05 --

А, уже написали...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение28.02.2016, 18:09 
Заслуженный участник


20/08/14
11786
Россия, Москва
Someone в сообщении #1102778 писал(а):
Так что там с отрицанием по правилам математической логики? И сколько их в математической логике, этих отрицаний?
Простите, я не готов обсуждать вопрос с точки зрения исключительно математической логики. Я согласен что в логике отрицание единственное. Его кстати уже привёл ТС.
Сейчас ещё подумав понял что был не прав, даже разные формулировки отрицания (о чём я и думал) всё равно эквивалентны по смыслу. Приношу извинения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность отрицания
Сообщение28.02.2016, 18:13 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
arseniiv
Мне кажется, проблемы были не с ограниченными кванторами - а вот как раз с этим ужасным перечеркнутым существованием. А может, и нет... :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group