2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение28.02.2016, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
chislo_avogadro в сообщении #1102751 писал(а):
Вот что думает по этому поводу Гугл

Гугл автомат, он думать не умеет.
https://en.wiktionary.org/wiki/Katze#Noun - существительное женского рода, в частности именно кошка женского пола.
https://en.wiktionary.org/wiki/Kater#Noun - соответствующее слово для кошки мужского пола.
Так что если бы Шрёдингер хотел написать про кота, то так бы и сделал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение28.02.2016, 15:59 


31/07/14
706
Я понял, но не врубился.

(Оффтоп)

Kак тогда это интерпретировать?

https://de.wikipedia.org/wiki/Tiger
Цитата:
Der Tiger (Panthera tigris) ist eine in Asien verbreitete Großkatze.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение28.02.2016, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Тигр - это обитающая в Азии крупная кошка...

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение28.02.2016, 16:54 


31/07/14
706
Я понял, но не врубился.

(Оффтоп)

Ну вот именно. Не тигрица же. Если кто-то держит собаку, то это ведь вполне может быть и кобель? То же с немецкой кошкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение28.02.2016, 17:06 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
В любом случае, нельзя отбросить вариант кошки определённого пола. Перевод потенциально с потерей информации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение28.02.2016, 17:19 


31/07/14
706
Я понял, но не врубился.
arseniiv в сообщении #1102840 писал(а):
В любом случае, нельзя отбросить вариант кошки определённого пола.

Об этом неверное надо спрашивать Шрёдингера. Ну, может есть исторические свидетельства.

arseniiv в сообщении #1102840 писал(а):
Перевод потенциально с потерей информации.

Ну переведите "собака" на древнемонгольский...
Т.е. если брать только то, что сказано (а не то что, возможно, имелось ввиду), то потери информации я лично не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение28.02.2016, 17:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
chislo_avogadro в сообщении #1102849 писал(а):
Ну переведите "собака" на древнемонгольский...
Не имею ничего против того, что и в общем случае перевод потенциально с потерей информации. Но вы же, кажется, утверждали, что в этом случае имелась в виду только «бесполая» кошка (в этом случае потери информации бы не было). Указать, что она может быть, не противоречит ничему.

chislo_avogadro в сообщении #1102849 писал(а):
Об этом неверное надо спрашивать Шрёдингера. Ну, может есть исторические свидетельства.
Согласен полностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение28.02.2016, 17:31 


31/07/14
706
Я понял, но не врубился.
arseniiv в сообщении #1102852 писал(а):
«бесполая» кошка

Точнее
$| \, \text{Katze}\rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \,| \, \text{кот} \, \rangle + \frac{{1}}{\sqrt 2} \,| \, \text{кошка} \, \rangle$
Коэффициенты можно подогнать по данным статистики, в зависимости от того, что там австрийцы во времена Шрёдингера держали :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение28.02.2016, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
chislo_avogadro в сообщении #1102832 писал(а):
Ну вот именно. Не тигрица же. Если кто-то держит собаку, то это ведь вполне может быть и кобель? То же с немецкой кошкой.

Дело в том, что в паре "кошка - кот" именно "кошка" является немаркированным членом. Про зверя неопределённого пола вы скажете именно "кошка", а не "кот". Аналогично, "заяц", а не "зайчиха". И в немецком то же самое: именно Katze - немаркированный член пары. Поэтому правильный перевод Шрёдингера на русский - именно словом "кошка". Если бы немецкий язык в этом отношении отличался от русского, то перевод был бы затруднительнее (с чем часто сталкиваются поэты). В любом случае, "кот" - ошибка перевода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение28.02.2016, 18:16 
Заслуженный участник


29/09/14
1241
Для начинающих учеников, заинтересовавшихся полом шрёдингеровского квантового животного, вот продолжение квантово-кошачьей задачки с 2-мерным пространством состояний. Если помните, в обсуждении той задачки у нас появился оператор новой физ. величины: $\hat M = -i[ \hat K, \hat L ], $ и мы нашли его матрицу, но не выяснили его физическую интерпретацию. Предположим теперь, что эта физ. величина - пол квантового кота. Таким образом, задачка:

Дано: в базисе $| \, \text{жив} \, \rangle$ и $| \, \text{ мертв} \, \rangle$ матрица оператора $\hat M$ имеет следующий вид:

$$\hat M = \begin{bmatrix}0& i \sqrt{3}\\ -i \sqrt{3}&0\end{bmatrix}$$
Примем, что собственный вектор этого оператора, принадлежащий положительному собственному значению, описывает квантового кота в состоянии мужского пола $| \text{муж}\rangle,$ а собственный вектор, принадлежащий отрицательному собственному значению, описывает это же квантовое существо в состоянии женского пола $| \text{жен}\rangle.$

Найти: с какими вероятностями квантовый кот дома, вне дома, живой, а также мёртвый (см. описание этих состояний в условии первой задачки) будет обнаруживаться в состояниях мужского или женского пола?

Печатать решение ленюсь, привожу ответ:

(ответ)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение29.02.2016, 22:05 


31/07/14
706
Я понял, но не врубился.
Cos(x-pi/2) в сообщении #1102886 писал(а):
Для начинающих учеников, заинтересовавшихся полом шрёдингеровского квантового животного,...
В мой огород :-)
Попробуем так. Методом прямого усмотрения истины находим, что собственными векторами $\hat M$ являются
$$| \, \text{муж} \rangle = \frac{i}{\sqrt 2} \, | \, \text{живой} \, \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} \, | \, \text{мертвый} \, \rangle   \qquad (21) $$
$$| \, \text{жен} \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \, | \, \text{живой} \, \rangle + \frac{i}{\sqrt 2} \, | \, \text{мертвый} \, \rangle   \qquad (22) $$
А через состояния дома / вне дома выражается с помощью подстановки |\text{живой}\rangle ,   |\text{мертвый}\rangle из
Cos(x-pi/2) в сообщении #1102278 писал(а):
$$| \, \text{живой} \, \rangle = \frac{\sqrt{3}}{2}\, | \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle + \frac{1}{2} \, | \, \text{кот} \, \text{вне} \, \text{дома} \, \rangle  \qquad (3) $$
$$| \, \text{мертвый} \, \rangle = \frac{1}{2} \, | \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle - \frac{\sqrt{3}}{2} \, | \, \text{кот} \, \text{вне} \, \text{дома} \, \rangle  \qquad (4) $$

С теми же итоговыми вероятностями. С ответом сходится,

(и тем самым ...)

достигнуто окончательное решение полового вопроса!

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение29.02.2016, 22:21 


25/08/11

1074
Немецкий к сожалению не знаю. Но знаю немного про жизнь Шрёдингера-он однозначно по кошкам, не по котам.

В одной из лекций А.Семихатова-кажется, про этот задолбавший ускоритель, - была иллюстрация: сидит полуголая девушка, а на плече у неё татуировка- ур. Ш. И он в лекции аккуратно сказал, картинка- для тех кто понимает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение01.03.2016, 02:34 
Заслуженный участник


29/09/14
1241
chislo_avogadro

Да, Вы всё верно сделали :-)

И если это дело ещё не надоело, то неплохо бы уж до конца "добить" нашу кошачью 2-мерную модельку, рассмотрев на её примере унитарную квантовую динамику с её характерным эффектом - "квантовыми биениями".

(Унитарная эволюция квантового кота)

Для динамики нам нужен гамильтониан $\hat H$ квантового кота! Как его придумать? Чёрт знает... Конечно, можно попробовать в роли гамильтониана взять одну из уже имеющихся у нас матриц $\hat M,$ $\hat K,$ $\hat L.$ Но, для большего разнообразия, интереснее ввести в дело гамильтониан $\hat H$ как оператор новой физ. величины, получив её из коммутатора двух других.

Единицы измерения кошачьих физ. величин у нас полностью условные, поэтому матрицы и их коммутаторы мы можем для удобства брать с точностью до произвольного действительного множителя, в самом простом виде. Так, если разделить все матричные элементы матрицы $\hat M$ на $-\sqrt{3},$ то она, оставаясь эрмитовой, принимает вид довольно простенькой матрицы, хорошо известной в КМ-литературе под именем "матрица Паули" $\hat \sigma_y:$

$$\hat \sigma_y= \begin{bmatrix}0& -i \\ i&0\end{bmatrix}$$
Матрица $\hat L$ у нас с самого начала выглядит проще некуда; она совпадает с известной в КМ-литературе матрицей Паули $\hat \sigma_z:$

$$\hat \sigma_z= \begin{bmatrix}1& 0 \\ 0&-1\end{bmatrix}$$
Вычислив коммутатор этих матриц, получаем:

$$\hat \sigma_y \hat \sigma_z - \hat \sigma_z \hat \sigma_y= \begin{bmatrix}0& 2i \\ 2i&0\end{bmatrix}$$
Видно, что если вынести из матричных элементов получившейся матрицы множитель $2i,$ т.е. записать эту матрицу в виде $2i \hat \sigma_x,$ то в нашем распоряжении оказывается ещё одна простенькая эрмитова матрица, она называется матрицей Паули $\hat \sigma_x:$

$$\hat \sigma_x= \begin{bmatrix}0& 1 \\ 1&0\end{bmatrix}$$
Никто не запрещает нам назвать соответствующую этой матрице физическую величину, например, пушистостью кота и принять её в качестве гамильтониана: $\hat H = \hat \sigma_x$ в базисе $|\, \text{жив} \, \rangle$ и $| \, \text{ мертв} \, \rangle.$

В настоящей физике настоящих квантовых объектов собственные значения гамильтониана интерпретируются как уровни энергии, причём энергетический спектр системы доступен измерениям на опыте, и поэтому теория не может своевольничать: она обязана согласовываться с опытом. Однако наш (вернее шрёдингеровский) квантовый кот - существо вымышленное, поэтому мы не станем обуздывать свою и без того не особо-то буйную фантазию: собственный вектор $|E_1\rangle $ гамильтониана $\hat H = \hat \sigma_x,$ принадлежащий меньшему собственному значению $E_1,$ условимся интерпретировать как состояние кота "облезлый кот", а собственный вектор $|E_2\rangle ,$ принадлежащий большему собственному значению $E_2,$ интерпретируем как состояние "пушистый кот":

$$|E_1\rangle = |\,\text{облезлый кот} \, \rangle \, , \qquad |E_2\rangle = |\,\text{пушистый кот} \, \rangle $$
Согласно принципам КМ фундаментальная роль гамильтониана заключается в том, что он определяет эволюцию вектора состояния замкнутой квантовой системы во времени $t:$ если задать произвольный нормированный вектор состояния $|\psi(0)\rangle$ для начальныго момента времени $t=0,$ то к моменту времени $t$ состояние системы будет описываться вектором состояния $|\psi(t)\rangle$ следующего вида:

$$|\psi(t)\rangle=e^{-i \hat H t / \hbar} |\psi(0)\rangle$$
Этой формулой удобнее всего пользоваться в базисе, составленном из собственных векторов $|E_n\rangle$ гамильтониана, ибо из равенств $\hat H |E_n\rangle = E_n|E_n\rangle$ следует, что

$$e^{-i \hat H t / \hbar}|E_n\rangle = e^{-i E_n t / \hbar}|E_n\rangle$$
Разложив произвольно заданный начальный вектор состояния $|\psi(0)\rangle$ по собственным состояниям гамильтониана (их ещё называют стационарными состояниями)

$$|\psi(0)\rangle=c_1|E_1\rangle+c_2|E_2\rangle$$
и действуя на обе стороны этого равенства оператором эволюции $e^{-i \hat H t / \hbar},$ получаем:

$$|\psi(t)\rangle =c_1e^{-i E_1 t / \hbar}|E_1\rangle+c_2e^{-i E_2 t / \hbar}|E_2\rangle$$
Отсюда легко находить вероятности всяких разных событий, относящиеся к моменту времени $t;$ действительно амплитуда вероятности события, характерного для какого-либо базисного состояния $|a\rangle,$ есть $\langle a|\psi(t)\rangle:$

$$\langle a|\psi(t)\rangle =c_1e^{-i E_1 t / \hbar}\langle a|E_1\rangle+c_2e^{-i E_2 t / \hbar}\langle a|E_2\rangle$$
Так что, вероятность есть

$$|\langle a|\psi(t)\rangle|^2=\langle a|\psi(t)\rangle^*\cdot \langle a|\psi(t)\rangle= \, ... \,\text{дописать рекомендуется в качестве упражнения}$$
В вычислениях помогает полезное равенство: $\langle a| b\rangle^*=\langle b| a\rangle.$ (Звёздочкой обозначено комплексное сопряжение.)


Вот конкретная задачка в этом контексте (с учётом наших предшествующих описаний состояний квантового кота). Дано: в начальный момент времени $t=0$ кот с вероятностью равной единице находился дома: $|\psi(0)\rangle = |\text{дома}\rangle.$ Найти: как вероятность $W_{\text{дома}}(t)=|\langle \text{дома}|\psi(t) \rangle|^2$ обнаружения кота дома изменяется с течением времени.

(Ответ)

Пользуемся единицами, в которых $E_1=-1,$ $E_2=1,$ $\hbar=1,$ так что $(E_2-E_1)t/\hbar=2t.$ Тогда:

$W_{\text{дома}}(t)=\frac{7}{8}+\frac{1}{8}\cos(2t)$


Вот график этой вероятности, как функции времени:

Изображение

Видно, что имеются "квантовые биения" (осцилляции): наш квантовый кот не сидит всё время дома, а периодически куда-то отлучается! Аналогичный расчёт с тем же самым начальным условием показывает, что вероятность обнаружить кота вне дома, т.е. $W_{\text{вне дома}}(t)=|\langle \text{вне дома}|\psi(t) \rangle|^2,$ осциллирует похожим образом, а сумма обеих вероятностей всё время равна единице:

$W_{\text{дома}}(t)+W_{\text{вне дома}}(t) \equiv 1,$

как и должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение01.03.2016, 02:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5257
ФТИ им. Иоффе СПб
Гамильтониан кота должен сохранять его (ее) пол, и не должен положение и существование. Кажется (не проверял), что этого достаточно, что бы восстановить гамильтониан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовый мир и гильбертовы пространства
Сообщение01.03.2016, 03:15 
Заслуженный участник


29/09/14
1241
Ну тогда $\hat H = \hat \sigma_y,$ если пользоваться уже приведёнными выше определениями; сейчас ленюсь проверить, но предполагаю, что, вроде, картинка биений прежняя получится.

(Оффтоп)

Да, в старое-то время все сохраняли свой пол, а нынче чёрт-те что творится; раз нынче некоторые владельцы домашних животных по нескольку раз меняют свой пол, то уж не знаю, вдруг они и питомцам своим всё меняют. Тьфу, ну их нафиг, не хочу даже об этом думать...

Короче говоря, промашка вышла, надо было назвать $\hat M$ оператором "сытости кота", например, или какой-нибудь "сонности", "драчливости", "пугливости", и т.п. Много ведь есть приличных физ. величин.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 104 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group