Квантовый мир и гильбертовы пространства

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #1102751 писал(а):

Вот что думает по этому поводу Гугл

Гугл автомат, он думать не умеет.
https://en.wiktionary.org/wiki/Katze#Noun - существительное женского рода, в частности именно кошка женского пола.
https://en.wiktionary.org/wiki/Kater#Noun - соответствующее слово для кошки мужского пола.
Так что если бы Шрёдингер хотел написать про кота, то так бы и сделал.

[chislo_avogadro]

(Оффтоп)

Kак тогда это интерпретировать?

https://de.wikipedia.org/wiki/Tiger

Цитата:

Der Tiger (Panthera tigris) ist eine in Asien verbreitete Großkatze.

[Munin]

(Оффтоп)

Тигр - это обитающая в Азии крупная кошка...

[chislo_avogadro]

(Оффтоп)

Ну вот именно. Не тигрица же. Если кто-то держит собаку, то это ведь вполне может быть и кобель? То же с немецкой кошкой.

[arseniiv]

В любом случае, нельзя отбросить вариант кошки определённого пола. Перевод потенциально с потерей информации.

[chislo_avogadro]

arseniiv в сообщении #1102840 писал(а):

В любом случае, нельзя отбросить вариант кошки определённого пола.

Об этом неверное надо спрашивать Шрёдингера. Ну, может есть исторические свидетельства.

arseniiv в сообщении #1102840 писал(а):

Перевод потенциально с потерей информации.

Ну переведите "собака" на древнемонгольский...
Т.е. если брать только то, что сказано (а не то что, возможно, имелось ввиду), то потери информации я лично не вижу.

[arseniiv]

chislo_avogadro в сообщении #1102849 писал(а):

Ну переведите "собака" на древнемонгольский...

Не имею ничего против того, что и в общем случае перевод потенциально с потерей информации. Но вы же, кажется, утверждали, что в этом случае имелась в виду только «бесполая» кошка (в этом случае потери информации бы не было). Указать, что она может быть, не противоречит ничему.

chislo_avogadro в сообщении #1102849 писал(а):

Об этом неверное надо спрашивать Шрёдингера. Ну, может есть исторические свидетельства.

Согласен полностью.

[chislo_avogadro]

arseniiv в сообщении #1102852 писал(а):

«бесполая» кошка

Точнее
$| \, \text{Katze}\rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \,| \, \text{кот} \, \rangle + \frac{{1}}{\sqrt 2} \,| \, \text{кошка} \, \rangle$
Коэффициенты можно подогнать по данным статистики, в зависимости от того, что там австрийцы во времена Шрёдингера держали :)

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #1102832 писал(а):

Ну вот именно. Не тигрица же. Если кто-то держит собаку, то это ведь вполне может быть и кобель? То же с немецкой кошкой.

Дело в том, что в паре "кошка - кот" именно "кошка" является немаркированным членом. Про зверя неопределённого пола вы скажете именно "кошка", а не "кот". Аналогично, "заяц", а не "зайчиха". И в немецком то же самое: именно Katze - немаркированный член пары. Поэтому правильный перевод Шрёдингера на русский - именно словом "кошка". Если бы немецкий язык в этом отношении отличался от русского, то перевод был бы затруднительнее (с чем часто сталкиваются поэты). В любом случае, "кот" - ошибка перевода.

[Cos(x-pi/2)]

Для начинающих учеников, заинтересовавшихся полом шрёдингеровского квантового животного, вот продолжение квантово-кошачьей задачки с 2-мерным пространством состояний. Если помните, в обсуждении той задачки у нас появился оператор новой физ. величины: $\hat M = -i[ \hat K, \hat L ], $ и мы нашли его матрицу, но не выяснили его физическую интерпретацию. Предположим теперь, что эта физ. величина - пол квантового кота. Таким образом, задачка:

Дано: в базисе $| \, \text{жив} \, \rangle$ и $| \, \text{ мертв} \, \rangle$ матрица оператора $\hat M$ имеет следующий вид:

$$\hat M = \begin{bmatrix}0& i \sqrt{3}\\ -i \sqrt{3}&0\end{bmatrix}$$

Примем, что собственный вектор этого оператора, принадлежащий положительному собственному значению, описывает квантового кота в состоянии мужского пола $| \text{муж}\rangle,$ а собственный вектор, принадлежащий отрицательному собственному значению, описывает это же квантовое существо в состоянии женского пола $| \text{жен}\rangle.$

Найти: с какими вероятностями квантовый кот дома, вне дома, живой, а также мёртвый (см. описание этих состояний в условии первой задачки) будет обнаруживаться в состояниях мужского или женского пола?

Печатать решение ленюсь, привожу ответ:

(ответ)

[chislo_avogadro]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1102886 писал(а):

Для начинающих учеников, заинтересовавшихся полом шрёдингеровского квантового животного,...

В мой огород
Попробуем так. Методом прямого усмотрения истины находим, что собственными векторами $\hat M$ являются

$$| \, \text{муж} \rangle = \frac{i}{\sqrt 2} \, | \, \text{живой} \, \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} \, | \, \text{мертвый} \, \rangle \qquad (21) $$

$$| \, \text{жен} \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \, | \, \text{живой} \, \rangle + \frac{i}{\sqrt 2} \, | \, \text{мертвый} \, \rangle \qquad (22) $$

А через состояния дома / вне дома выражается с помощью подстановки |\text{живой}\rangle , |\text{мертвый}\rangle из

Cos(x-pi/2) в сообщении #1102278 писал(а):

$$| \, \text{живой} \, \rangle = \frac{\sqrt{3}}{2}\, | \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle + \frac{1}{2} \, | \, \text{кот} \, \text{вне} \, \text{дома} \, \rangle \qquad (3) $$

$$| \, \text{мертвый} \, \rangle = \frac{1}{2} \, | \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle - \frac{\sqrt{3}}{2} \, | \, \text{кот} \, \text{вне} \, \text{дома} \, \rangle \qquad (4) $$

С теми же итоговыми вероятностями. С ответом сходится,

(и тем самым ...)

достигнуто окончательное решение полового вопроса!

[sergei1961]

Немецкий к сожалению не знаю. Но знаю немного про жизнь Шрёдингера-он однозначно по кошкам, не по котам.

В одной из лекций А.Семихатова-кажется, про этот задолбавший ускоритель, - была иллюстрация: сидит полуголая девушка, а на плече у неё татуировка- ур. Ш. И он в лекции аккуратно сказал, картинка- для тех кто понимает.

[Cos(x-pi/2)]

chislo_avogadro

Да, Вы всё верно сделали

И если это дело ещё не надоело, то неплохо бы уж до конца "добить" нашу кошачью 2-мерную модельку, рассмотрев на её примере унитарную квантовую динамику с её характерным эффектом - "квантовыми биениями".

(Унитарная эволюция квантового кота)

Для динамики нам нужен гамильтониан $\hat H$ квантового кота! Как его придумать? Чёрт знает... Конечно, можно попробовать в роли гамильтониана взять одну из уже имеющихся у нас матриц $\hat M,$ $\hat K,$ $\hat L.$ Но, для большего разнообразия, интереснее ввести в дело гамильтониан $\hat H$ как оператор новой физ. величины, получив её из коммутатора двух других.

Единицы измерения кошачьих физ. величин у нас полностью условные, поэтому матрицы и их коммутаторы мы можем для удобства брать с точностью до произвольного действительного множителя, в самом простом виде. Так, если разделить все матричные элементы матрицы $\hat M$ на $-\sqrt{3},$ то она, оставаясь эрмитовой, принимает вид довольно простенькой матрицы, хорошо известной в КМ-литературе под именем "матрица Паули" $\hat \sigma_y:$

$$\hat \sigma_y= \begin{bmatrix}0& -i \\ i&0\end{bmatrix}$$

Матрица $\hat L$ у нас с самого начала выглядит проще некуда; она совпадает с известной в КМ-литературе матрицей Паули $\hat \sigma_z:$

$$\hat \sigma_z= \begin{bmatrix}1& 0 \\ 0&-1\end{bmatrix}$$

Вычислив коммутатор этих матриц, получаем:

$$\hat \sigma_y \hat \sigma_z - \hat \sigma_z \hat \sigma_y= \begin{bmatrix}0& 2i \\ 2i&0\end{bmatrix}$$

Видно, что если вынести из матричных элементов получившейся матрицы множитель $2i,$ т.е. записать эту матрицу в виде $2i \hat \sigma_x,$ то в нашем распоряжении оказывается ещё одна простенькая эрмитова матрица, она называется матрицей Паули $\hat \sigma_x:$

$$\hat \sigma_x= \begin{bmatrix}0& 1 \\ 1&0\end{bmatrix}$$

Никто не запрещает нам назвать соответствующую этой матрице физическую величину, например, пушистостью кота и принять её в качестве гамильтониана: $\hat H = \hat \sigma_x$ в базисе $|\, \text{жив} \, \rangle$ и $| \, \text{ мертв} \, \rangle.$

В настоящей физике настоящих квантовых объектов собственные значения гамильтониана интерпретируются как уровни энергии, причём энергетический спектр системы доступен измерениям на опыте, и поэтому теория не может своевольничать: она обязана согласовываться с опытом. Однако наш (вернее шрёдингеровский) квантовый кот - существо вымышленное, поэтому мы не станем обуздывать свою и без того не особо-то буйную фантазию: собственный вектор $|E_1\rangle $ гамильтониана $\hat H = \hat \sigma_x,$ принадлежащий меньшему собственному значению $E_1,$ условимся интерпретировать как состояние кота "облезлый кот", а собственный вектор $|E_2\rangle ,$ принадлежащий большему собственному значению $E_2,$ интерпретируем как состояние "пушистый кот":

$$|E_1\rangle = |\,\text{облезлый кот} \, \rangle \, , \qquad |E_2\rangle = |\,\text{пушистый кот} \, \rangle $$

Согласно принципам КМ фундаментальная роль гамильтониана заключается в том, что он определяет эволюцию вектора состояния замкнутой квантовой системы во времени $t:$ если задать произвольный нормированный вектор состояния $|\psi(0)\rangle$ для начальныго момента времени $t=0,$ то к моменту времени $t$ состояние системы будет описываться вектором состояния $|\psi(t)\rangle$ следующего вида:

$$|\psi(t)\rangle=e^{-i \hat H t / \hbar} |\psi(0)\rangle$$

Этой формулой удобнее всего пользоваться в базисе, составленном из собственных векторов $|E_n\rangle$ гамильтониана, ибо из равенств $\hat H |E_n\rangle = E_n|E_n\rangle$ следует, что

$$e^{-i \hat H t / \hbar}|E_n\rangle = e^{-i E_n t / \hbar}|E_n\rangle$$

Разложив произвольно заданный начальный вектор состояния $|\psi(0)\rangle$ по собственным состояниям гамильтониана (их ещё называют стационарными состояниями)

$$|\psi(0)\rangle=c_1|E_1\rangle+c_2|E_2\rangle$$

и действуя на обе стороны этого равенства оператором эволюции $e^{-i \hat H t / \hbar},$ получаем:

$$|\psi(t)\rangle =c_1e^{-i E_1 t / \hbar}|E_1\rangle+c_2e^{-i E_2 t / \hbar}|E_2\rangle$$

Отсюда легко находить вероятности всяких разных событий, относящиеся к моменту времени $t;$ действительно амплитуда вероятности события, характерного для какого-либо базисного состояния $|a\rangle,$ есть $\langle a|\psi(t)\rangle:$

$$\langle a|\psi(t)\rangle =c_1e^{-i E_1 t / \hbar}\langle a|E_1\rangle+c_2e^{-i E_2 t / \hbar}\langle a|E_2\rangle$$

Так что, вероятность есть

$$|\langle a|\psi(t)\rangle|^2=\langle a|\psi(t)\rangle^*\cdot \langle a|\psi(t)\rangle= \, ... \,\text{дописать рекомендуется в качестве упражнения}$$

В вычислениях помогает полезное равенство: $\langle a| b\rangle^*=\langle b| a\rangle.$ (Звёздочкой обозначено комплексное сопряжение.)

Вот конкретная задачка в этом контексте (с учётом наших предшествующих описаний состояний квантового кота). Дано: в начальный момент времени $t=0$ кот с вероятностью равной единице находился дома: $|\psi(0)\rangle = |\text{дома}\rangle.$ Найти: как вероятность $W_{\text{дома}}(t)=|\langle \text{дома}|\psi(t) \rangle|^2$ обнаружения кота дома изменяется с течением времени.

(Ответ)

Пользуемся единицами, в которых $E_1=-1,$ $E_2=1,$ $\hbar=1,$ так что $(E_2-E_1)t/\hbar=2t.$ Тогда:

$W_{\text{дома}}(t)=\frac{7}{8}+\frac{1}{8}\cos(2t)$


Вот график этой вероятности, как функции времени:



Видно, что имеются "квантовые биения" (осцилляции): наш квантовый кот не сидит всё время дома, а периодически куда-то отлучается! Аналогичный расчёт с тем же самым начальным условием показывает, что вероятность обнаружить кота вне дома, т.е. $W_{\text{вне дома}}(t)=|\langle \text{вне дома}|\psi(t) \rangle|^2,$ осциллирует похожим образом, а сумма обеих вероятностей всё время равна единице:

$W_{\text{дома}}(t)+W_{\text{вне дома}}(t) \equiv 1,$

как и должно быть.

[amon]

Гамильтониан кота должен сохранять его (ее) пол, и не должен положение и существование. Кажется (не проверял), что этого достаточно, что бы восстановить гамильтониан.

[Cos(x-pi/2)]

Ну тогда $\hat H = \hat \sigma_y,$ если пользоваться уже приведёнными выше определениями; сейчас ленюсь проверить, но предполагаю, что, вроде, картинка биений прежняя получится.

(Оффтоп)

Да, в старое-то время все сохраняли свой пол, а нынче чёрт-те что творится; раз нынче некоторые владельцы домашних животных по нескольку раз меняют свой пол, то уж не знаю, вдруг они и питомцам своим всё меняют. Тьфу, ну их нафиг, не хочу даже об этом думать...

Короче говоря, промашка вышла, надо было назвать $\hat M$ оператором "сытости кота", например, или какой-нибудь "сонности", "драчливости", "пугливости", и т.п. Много ведь есть приличных физ. величин.