Квантовый мир и гильбертовы пространства

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1102278 писал(а):

Альтернативным к состоянию $| \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle$ должно быть, очевидно, состояние $| \, \text{кот} \, \text{вне} \, \text{дома} \, \rangle .$ С учётом условий нормировки и ортогональности этого состояния к $(1),$

Мне как-то было не очевидно, что условия задачи подразумевают именно такую интерпретацию. Я думал, что кот дома может быть и живым, и мёртвым, и вне дома и живым, и мёртвым, и задано только некоторое его состояние.

[chislo_avogadro]

Условия подразумевают даже обратное, - "вне дома" можно взять "на Альдебаране". А выкладки _неопровержимо_ доказывают, что вероятность обнаружить Кота на Альдебаране выше, чем в доме.

[Cos(x-pi/2)]

Munin
Да, настоящий кот, реальный, может обнаружиться "дома" и одновременно он окажется "живой" (и другие аналогичные альтернативы тоже реализуемы). Это аналогично частице в классической механике, которая может одновременно иметь и точно определённый импульс $\mathbf{p}$ и точно определённое положение $\mathbf{r},$ что посредством символов из КМ мы обозначили бы как состояние $| \mathbf{p,\, r} \rangle.$ Однако, как Вы хорошо знаете, в квантовом мире обе эти величины не могут не флуктуировать одновременно, т.е. в пространстве состояний квантовой частицы нет состояния $| \mathbf{p,\, r}\rangle .$ В пространстве состояний квантовой частицы есть базисные состояния $| \mathbf{p}\rangle$ и есть другие базисные состояния, $| \mathbf{r}\rangle ,$ причём состояния из одного базиса представляются линейными комбинациями состояний из другого базиса.

Кот в задачке - как раз из квантового мира, это шредингеровский кот. И в условии явно сказано, что его гильбертово пространство всего лишь двумерное. А тот факт, что указанное квантовое описание состояний шредингеровского кота конфликтует с экспериментально наблюдаемыми состояниями реального кота, лишний раз подкрепляет моё мнение о неприменимости квантового описания на языке векторов состояния в гильбертовом пространстве невысокой размерности к такого рода макроскопическим объектам.))

-- 26.02.2016, 18:21 --

chislo_avogadro
В задачке речь о 2-мерном пространстве квантовых состояний, это важно для выкладок и интерпретации. Так что, если Вам угодно считать альтернативой "дому" именно "Альдебаран", то пусть так и будет; в 2-мерном случае никаких других альтернатив кроме двух нет по определению.

Но вот в этом Вы ошиблись:

chislo_avogadro в сообщении #1102319 писал(а):

выкладки _неопровержимо_ доказывают, что вероятность обнаружить Кота на Альдебаране выше, чем в доме.

Из формул (3) и (4) в той задачке видно, что живого кота втрое вероятнее обнаружить дома, а на Альдебаране вероятность выше обнаружить кота мёртвого. Ну дык это нормально: представьте, например, себя на его месте... где больше шансов выжить - дома или чёрт знает где на каком-то, может быть, вовсе непригодном для жизни Альдебаране?

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1102329 писал(а):

И в условии явно сказано, что его гильбертово пространство всего лишь двумерное.

Ну, вот это ещё надо было понять... Мне кажется, разумно всё-таки вставить какие-то пояснения в условия. Что, например, понятия "дома" и "вне дома" являются какими-то суперпозициями понятий "жив" и "мёртв". Правда, задачу это тривиализирует донельзя :-) зато честно.

[amon]

(Оффтоп)

Проверка задачи на аспирантах, главных и ведущих научных сотрудниках показала, что занудствовать (рассказывать что коммутирует, а что - нет) не надо. Все и так что надо домысливают. Спрашивают, где я это взял, и нет ли там чего еще.

[Munin]

(Оффтоп)

Ладно, значит, я тормоз, выбивающийся из статистики, и меня не надо учитывать :-)

[chislo_avogadro]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1102329 писал(а):

настоящий кот, реальный, может обнаружиться "дома" и одновременно он окажется "живой" (и другие аналогичные альтернативы тоже реализуемы). Это аналогично частице в классической механике, которая может одновременно иметь и точно определённый импульс $\mathbf{p}$ и точно определённое положение $\mathbf{r},$ ... в пространстве состояний квантовой частицы нет состояния $| \mathbf{p,\, r}\rangle .$

В порядке самолечения я рассуждал в том духе, что состояния живой / мёртвый в равенствах типа $| \, \text{кот} \, \text{вне} \, \text{дома} \, \rangle = \frac{1}{2} \,| \, \text{живой} \, \rangle - \frac{\sqrt{3}}{2} \,| \, \text{мертвый} \, \rangle$ должны быть дополнительно снабжены индексами места. Видимо, это эквивалентно заданию размерности пространства состояний. Но непонятно, почему надо сюда привлекать некоммутируемость (в данном случае, очевидно, операторов местонахождения Кота и состояния его здоровья). Поясните пожалуйста.

[amon]

chislo_avogadro в сообщении #1102513 писал(а):

Поясните пожалуйста.

Предполагается, что есть два оператора измеряемой величины "оператор места" с собственными функциями $| \, \text{дома} \, \rangle$ и $| \, \text{ вне дома} \, \rangle$ и "оператор существования" с сф $| \, \text{жив} \, \rangle$ и $| \, \text{ мертв} \, \rangle$. Эти операторы не коммутируют, поскольку тогда они имели бы общий набор собственных функций, и из условия "кот дома" автоматом бы следовало, в каком "состоянии существования" он находится.

[chislo_avogadro]

Спасибо. Всё же сомнения остаются. Возьмём вместо Кота электрон, а жизнь и смерть заменим спинами вверх / вниз соответственно. Что мешает электрону быть в ящике и иметь при этом спин вверх? Операторы этих наблюдаемых ведь коммутируют...

[Cos(x-pi/2)]

amon в сообщении #1102534 писал(а):

Предполагается, что есть два оператора измеряемой величины "оператор места" с собственными функциями $| \, \text{дома} \, \rangle$ и $| \, \text{ вне дома} \, \rangle$ и "оператор существования" с сф $| \, \text{жив} \, \rangle$ и $| \, \text{ мертв} \, \rangle$. Эти операторы не коммутируют

Да, и можно найти явно матрицы этих операторов в каком-либо из базисов, если условиться о единицах измерения и о выборе начала отсчёта на шкале "физических величин", соответствующих этим операторам.

chislo_avogadro

И можно явно убедиться, что эти матрицы не коммутируют друг с другом!

(Подробнее)

Например, пусть $\hat K$ это "оператор места" кота, и его собственные значения есть $\pm 1:$

$$\hat K | \, \text{дома} \, \rangle=(+1)\, | \, \text{дома} \, \rangle$$

$$\hat K | \, \text{вне дома} \, \rangle=(-1)\, | \, \text{вне дома} \, \rangle$$

"Оператор существования" кота $\hat L$ можно определить аналогичным образом:

$$\hat L | \, \text{жив} \, \rangle=(+1)\, | \, \text{жив} \, \rangle$$

$$\hat L | \, \text{мертв} \, \rangle=(-1)\, | \, \text{мертв} \, \rangle$$

Пользуясь этими равенствами совместно с разложениями $(1)-(4)$ из решения задачки, Вы легко найдёте матрицы операторов с помощью операции скалярного произведения векторов состояния и стандартной формулы для матричных элементов: $M_{ab}=\langle a|\hat M |b \rangle.$ Например, в базисе $| \, \text{жив} \, \rangle$ и $| \, \text{ мертв} \, \rangle$ получим:

$$\hat L=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$

$$\hat K=\begin{bmatrix}1/2&\sqrt{3}/2\\\sqrt{3}/2&-1/2\end{bmatrix}$$

Вычислив коммутатор этих матриц, увидите, что он нулю не равен:

$$\hat{K} \hat{L} - \hat{L} \hat{K} = \begin{bmatrix}0&-\sqrt{3}\\\sqrt{3}&0\end{bmatrix}$$

Продолжается упражнение так. Видно, что коммутатор можно представить в виде $i \hat M,$ где $\hat M = \big[\begin{smallmatrix}0&i\sqrt{3}\\-i\sqrt{3}&0 \end{smallmatrix}\big]$ есть явно эрмитова матрица, и поэтому она в задачке про кота тоже претендует на роль оператора некоей физической величины (какой? ... я затрудняюсь придумать, для ответа надо в совершенстве владеть искусством интерпретации чего попало :-)) Затем мы можем рассматривать её коммутаторы с исходными двумя операторами, строить новые физ. величины, комбинируя друг с другом уже найденные и т.д.

Итог подобных упражнений заранее известен из теории спина $1/2:$ всевозможные операторы физ. величин для квантового объекта с 2-мерным пространством состояний представляются эрмитовыми матрицами 2x2 и, следовательно, в общем случае имеют вид линейных комбинации трёх матриц Паули и единичной матрицы с действительными коэффициентами.

Munin выше призывал к честности, и я, вняв этому совершенно справедливому призыву, говорю теперь со всей честностью прямо: эта задачка про кота, конечно же, была чисто шуточная :-)) Ни для какой контрольной по КМ она не годится, тем более с учётом и без того плачевного нынешнего положения дел в народном образовании... :-((

Может быть, она и окажется полезной отдельным начинающим ученикам, но только в более физической формулировке - с "частицами" или "квантовыми объектами" вместо кота, и полезна будет лишь для подчёркивания отличий квантовой и классической интерпретаций термина "состояние объекта".

(Подробнее)

С этой целью лучше ввести новые обозначения базисных состояний вместо кошачьих; одна пара нормированных взаимно ортогональных векторов состояния пусть нумеруется цифрами $1$ и $2$:

$$| \, \text{жив} \, \rangle = |1\rangle \, , \qquad | \, \text{мертв} \, \rangle = |2\rangle $$

а другая пара базисных состояний пусть нумеруется буквами $A$ и $B:$

$$| \, \text{дома} \, \rangle = |A\rangle \, , \qquad | \, \text{вне дома} \, \rangle = |B\rangle $$

Унитарное преобразование от одного базиса к другому (которое в "кошачьей задачке" описывалось равенствами $(1)-(4)),$ тогда задаётся равенствами

$$| A \rangle = \frac{\sqrt{3}}{2} \, | 1 \rangle + \frac{1}{2} \, | 2 \rangle \qquad (1)$$

$$| B \rangle = \frac{1}{2} \, | 1 \rangle - \frac{\sqrt{3}}{2} \, | 2 \rangle \qquad (2)$$

Отсюда следует:

$$| 1 \rangle = \frac{\sqrt{3}}{2} \, | A \rangle + \frac{1}{2} \, | B \rangle \qquad (3)$$

$$| 2 \rangle = \frac{1}{2} \, | A \rangle - \frac{\sqrt{3}}{2} \, | B \rangle \qquad (4)$$

Все эти 2-мерные векторы состояний можно (пока в игре не появились комплексные коэффициенты) представлять себе в виде обычных векторов на плоскости:



Изобразив на этом рисунке произвольный единичный вектор $| \psi \rangle,$ легко обычным образом (опусканием перпендикуляра) находить его проекции на то или иное базисное направление. Если обозначить процедуру проецирования буквой $\hat P$ с соответствующим индексом, указывающим ось, на которую ведётся проецирование, то обсуждавшиеся выше операторы $\hat K$ и $\hat L,$ определённые равенствами

$$\hat K | A \rangle=(+1)\, | A \rangle \, ,\qquad \hat K \, | B \rangle=(-1)\, | B \rangle$$

$$\hat L | 1 \rangle=(+1)\, | 1 \rangle \, ,\qquad \hat L \, | 2 \rangle=(-1)\, | 2 \rangle$$

запишутся в виде:

$$\hat K = \hat P_A - \hat P_B \, ,\qquad \hat L = \hat P_1 - \hat P_2$$

Их некоммутативность теперь почти очевидна, так как очевидна некоммутативность проецирований на разные базисы: на рисунке легко убедиться, что результат двух подряд проецирований произвольного вектора $| \psi \rangle,$ например, на $| 1 \rangle$ и на $| A \rangle$ зависит от того, в какой очерёдности их делать.

В КМ числовой результат проецирования вектора $| \psi \rangle$ (единичного, т.е. нормированного условием $\langle \psi | \psi \rangle=1$) на тот или иной нормированный базисный вектор $|a\rangle,$ т.е. число $\langle a|\psi \rangle,$ интерпретируется как соответствующая амплитуда вероятности; квадрат её модуля по определению есть сама вероятность. Очевидно, если $| \psi \rangle=|a \rangle,$ то вероятность равна единице; поэтому базисное состояние $|a\rangle$ интерпретируется как состояние с определённым (нефлуктуирующим) значением физ. величины, для оператора которой вектор $|a\rangle$ оказался собственным. Поскольку ни один вектор $| \psi \rangle$ не может равняться сразу двум разным базисным векторам, то в КМ не существуют состояния с определёнными значениями физ. величин "из разных базисов".

Попробуем теперь сравнить эту квантовую картину с ситуацией в классической физике.

Пусть в роли классического "объекта" выступает шар, на котором проштампована одна из цифр $1,$ $2$ (это значения "физ. величины" $L)$ и одна из букв $A,$ $B$ (это значения "физ. величины" $K).$ В мешке лежит куча экземпляров таких шаров, с разными комбинациями проштампованных значений "физ. величин".

Ниже на рисунке для простоты иллюстрации куча представлена всего восемью экземплярами, однако на практике для надёжных оценок вероятностей потребуется, конечно, гораздо больше экземпляров; для удобства восприятия шары со штампом $A$ я изобразил "белыми", а со штампом $B$ "чёрными".

Пусть "измерение физ. величин" у шаров сводится, как и в КМ, к сортировке экземпляров по конкретному признаку: при измерении $K$ мы берём из мешка очередной шар, смотрим на его "цвет" и кладём на полку с белыми шарами, если он белый, либо - на полку с чёрными шарами, если он оказался чёрным. При измерении $L$ мы аналогичным образом сортируем шары по их "номеру" $1$ или $2:$



Аналогия с квантовыми формулами $(1)-(4)$ в классической ситуации прослеживается лишь в значениях вероятностей, т.е. в величине квадратов модулей амплитуд:

по аналогии с $(1)$ среди всех "белых" шаров $3/4$ оказались "первыми", $1/4$ - "вторыми";

по аналогии с $(2)$ среди всех "чёрных" нашлось $1/4$ "первых" и $3/4$ "вторых";

по аналогии с $(3)$ среди всех "первых" имеем $3/4$ "белых", $1/4$ "чёрных";

наконец, по аналогии с $(4)$ среди "вторых" имеется $1/4$ "белых" и $3/4$ "чёрных".

На этом аналогия заканчивается. В классической ситуации мы можем продолжить сортировку, уже по двум признакам одновременно, так что получатся 4 кучки: "белые первые", "белые вторые", "чёрные первые" и "чёрные вторые". Это обусловлено тем, что на каждом шаре заранее проштампованы "цвет" и "номер". В КМ же принципиально важны не только вероятности, но и сами амплитуды вероятностей с их относительными фазами (в нашем примере это действительные коэффициенты со знаками $\pm); $ они придают формулам $(1)-(4)$ смысл уравнений, позволяющих выразить одну базисную пару состояний через другую, и эти уравнения показывают, что сортировка квантовых состояний одновременно по двум признакам $K$ и $L$ невозможна!

Действительно, если мы отсортировали экземпляры квантового объекта "по цвету", т.е. в результате измерений $K$ положили на одну полку квантовые объекты в состоянии $|A\rangle,$ а на другую полку квантовые объекты в состоянии $|B\rangle,$ то, как видно из принципа суперпозиции, принявшего обличье формул $(1)-(2),$ эти объекты не имеют определённого "номера"; оба номера будут обнаруживаться у них с ненулевой вероятностью. Если же теперь с помощью измерения $L$ мы продолжим сортировку, отделяя на каждой из полок квантовые объекты в состоянии $|1\rangle$ от квантовых объектов в состоянии $|2\rangle,$ то, как показывает принцип суперпозиции в виде формул $(3)-(4),$ наши квантовые объекты утрачивают определённость "цвета": суперпозиция состояний с разным "цветом" в КМ неизбежно означает, что "цвет" флуктуирует; мы не можем уйти от факта, что в суперпозиционных состояниях $(3)-(4)$ отлична от нуля вероятность обнаружить оба цвета, даже если эти состояния были получены проецированием из состояний с определённым цветом $(1)-(2).$

На первый взгляд, с классической точки зрения, может показаться, что этот факт являет собой некое противоречие. Но, вдумываясь в характер классических и квантовых измерений, следует заметить, что имеется глубокое различие между классической частью аппаратуры (это источники и сортирующие детекторы, реагирующие на значения той или иной физ. величины) и тем, что мы называем "квантовой частицей" или "квантовым объектом", так что у нас нет оснований уподобить в своих рассуждениях квантовую частицу классическому шару.

Действительно, как бы мы ни фантазировали в мысленных опытах, но на практике мы не имеем возможности вынимать квантовую частицу из мешка и разглядывать, что там на ней проштамповано; вместо этого применяются некие источники и детекторы. Наше интуитивное представление о "квантовой частице", как о некоем шарике или о точке с определённым набором свойств, оказывается умозрительным в гораздо большей мере, чем представление о реально наблюдаемых классических объектах. И если, собрав всю свою волю в кулак, отбросить необоснованные интуитивные образы и вдуматься, то придётся согласиться, что смысл понятия "квантовая частица" в квантовом эксперименте по измерению физ. величин $K$ или $L$ скорее подобен утверждению о наличии конкретной корреляции между наблюдаемыми событиями, характеризующими поведение источника и детекторов.

Если теперь разные "состояния частицы" трактовать лишь как разные типы корреляций между событиями "включили источник"-"сработал детектор", то отсутствие "у частицы" заранее проштампованных значений $K$ и $L,$ как было бы в случае с классическим шаром, выглядит уже не противоречивым, а естественным. (Правда, при этом остаётся не раскрытым вопрос: как с такой точки зрения понимать утверждение, что "классические объекты состоят из квантовых"...) Примерно этому и учит нас принцип неопределённости в КМ: он запрещает приписывать квантовым "частицам" траектории и предопределённые до измерения значения физ. величин (за исключением той физ. величины, для которой данное состояние является собственным).

[amon]

chislo_avogadro в сообщении #1102629 писал(а):

Что мешает электрону быть в ящике и иметь при этом спин вверх? Операторы этих наблюдаемых ведь коммутируют...

Маленькое добавление. Эти операторы действуют в разных пространствах (при отсутствии спин-орбитального взаимодействия), и поэтому "работают" независимо, а в рассматриваемой задаче операторы действуют в одном и том же.

[zer0]

Помню, было очень наглядное объяснение устройства $SU(2)$ с картинкой сферы и толковым текстом. Но сейчас не могу вспомнить, где.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1102685 писал(а):

Munin выше призывал к честности, и я, вняв этому совершенно справедливому призыву, говорю теперь со всей честностью прямо: эта задачка про кота, конечно же, была чисто шуточная :-)) Ни для какой контрольной по КМ она не годится, тем более с учётом и без того плачевного нынешнего положения дел

...кота.

Кстати, вы заметили, что он поменял пол? У Шрёдингера была кошка! В немецком языке "кот" и "кошка" различаются. А потом он(а) прошёл(шла) через английский язык, в котором эта переменная стёрлась! И при наблюдении в русском языке спонтанно возник "кот".

Имейте в виду, если будете общаться на эту тему с немцами, а не англичанами/американцами :-)

(Оффтоп)

Я уж не говорю о том, что Шрёдингер превратился в Шредингера, как и многие другие учёные (Рёнтген, Онгстрём, для примера). Впрочем, американцы нам мстят: у них известны Полиаков и Фаддив.

zer0 в сообщении #1102717 писал(а):

Помню, было очень наглядное объяснение устройства $SU(2)$ с картинкой сферы и толковым текстом. Но сейчас не могу вспомнить, где.

Не исключаю, что у Арнольда.

[Red_Herring]

[off= "кот"]

Munin в сообщении #1102746 писал(а):

А потом он(а) прошёл(шла) через английский язык, в котором эта переменная стёрлась!

В принципе в английском есть "кот" ("кошак" ): tomcat.[/off]

[chislo_avogadro]

Вот что думает по этому поводу Гугл:


В этом смысле более точный перевод был бы "собака Шрёдингера".