Да, и можно найти явно матрицы этих операторов в каком-либо из базисов, если условиться о единицах измерения и о выборе начала отсчёта на шкале "физических величин", соответствующих этим операторам.
Например, пусть

это "оператор места" кота, и его собственные значения есть



"Оператор существования" кота

можно определить аналогичным образом:


Пользуясь этими равенствами совместно с разложениями

из решения задачки, Вы легко найдёте матрицы операторов с помощью операции скалярного произведения векторов состояния и стандартной формулы для матричных элементов:

Например, в базисе

и

получим:


Вычислив коммутатор этих матриц, увидите, что он нулю не равен:

Продолжается упражнение так. Видно, что коммутатор можно представить в виде

где
![$\hat M = \big[\begin{smallmatrix}0&i\sqrt{3}\\-i\sqrt{3}&0 \end{smallmatrix}\big]$ $\hat M = \big[\begin{smallmatrix}0&i\sqrt{3}\\-i\sqrt{3}&0 \end{smallmatrix}\big]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/8/348d5a49231c5873ac5a0c18c12eb4a182.png)
есть явно
эрмитова матрица, и поэтому она в задачке про кота тоже претендует на роль оператора некоей физической величины (какой? ... я затрудняюсь придумать, для ответа надо в совершенстве владеть искусством интерпретации чего попало :-)) Затем мы можем рассматривать её коммутаторы с исходными двумя операторами, строить новые физ. величины, комбинируя друг с другом уже найденные и т.д.
Итог подобных упражнений заранее известен из теории спина

всевозможные операторы физ. величин для квантового объекта с 2-мерным пространством состояний представляются эрмитовыми матрицами 2x2 и, следовательно, в общем случае имеют вид линейных комбинации трёх матриц Паули и единичной матрицы с действительными коэффициентами.
выше призывал к честности, и я, вняв этому совершенно справедливому призыву, говорю теперь со всей честностью прямо: эта задачка про кота, конечно же, была чисто шуточная :-)) Ни для какой контрольной по КМ она не годится, тем более с учётом и без того плачевного нынешнего положения дел в народном образовании... :-((
Может быть, она и окажется полезной отдельным начинающим ученикам, но только в более физической формулировке - с "частицами" или "квантовыми объектами" вместо кота, и полезна будет лишь для подчёркивания отличий квантовой и классической интерпретаций термина "состояние объекта".
С этой целью лучше ввести новые обозначения базисных состояний вместо кошачьих; одна пара нормированных взаимно ортогональных векторов состояния пусть нумеруется цифрами

и

:

а другая пара базисных состояний пусть нумеруется буквами

и


Унитарное преобразование от одного базиса к другому (которое в "кошачьей задачке" описывалось равенствами

тогда задаётся равенствами


Отсюда следует:


Все эти 2-мерные векторы состояний можно (пока в игре не появились комплексные коэффициенты) представлять себе в виде обычных векторов на плоскости:

Изобразив на этом рисунке произвольный единичный вектор

легко обычным образом (опусканием перпендикуляра) находить его проекции на то или иное базисное направление. Если обозначить процедуру проецирования буквой

с соответствующим индексом, указывающим ось, на которую ведётся проецирование, то обсуждавшиеся выше операторы

и

определённые равенствами


запишутся в виде:

Их некоммутативность теперь почти очевидна, так как очевидна некоммутативность проецирований на разные базисы: на рисунке легко убедиться, что результат двух подряд проецирований произвольного вектора

например, на

и на

зависит от того, в какой очерёдности их делать.
В КМ числовой результат проецирования вектора

(единичного, т.е. нормированного условием

) на тот или иной нормированный базисный вектор

т.е. число

интерпретируется как соответствующая амплитуда вероятности; квадрат её модуля по определению есть сама вероятность. Очевидно, если

то вероятность равна единице; поэтому базисное состояние

интерпретируется как состояние с определённым (нефлуктуирующим) значением физ. величины, для оператора которой вектор

оказался собственным. Поскольку ни один вектор

не может равняться сразу двум разным базисным векторам, то в КМ не существуют состояния с определёнными значениями физ. величин "из разных базисов".
Попробуем теперь сравнить эту квантовую картину с ситуацией в классической физике.
Пусть в роли классического "объекта" выступает шар, на котором проштампована одна из цифр

(это значения "физ. величины"

и одна из букв

(это значения "физ. величины"

В мешке лежит куча экземпляров таких шаров, с разными комбинациями проштампованных значений "физ. величин".
Ниже на рисунке для простоты иллюстрации
куча представлена всего восемью экземплярами, однако на практике для надёжных оценок вероятностей потребуется, конечно, гораздо больше экземпляров; для удобства восприятия шары со штампом

я изобразил "белыми", а со штампом

"чёрными".
Пусть "измерение физ. величин" у шаров сводится, как и в КМ, к сортировке экземпляров по конкретному признаку: при измерении

мы берём из мешка очередной шар, смотрим на его "цвет" и кладём на полку с белыми шарами, если он белый, либо - на полку с чёрными шарами, если он оказался чёрным. При измерении

мы аналогичным образом сортируем шары по их "номеру"

или


Аналогия с квантовыми формулами

в классической ситуации прослеживается лишь в значениях вероятностей, т.е. в величине квадратов модулей амплитуд:
по аналогии с

среди всех "белых" шаров

оказались "первыми",

- "вторыми";
по аналогии с

среди всех "чёрных" нашлось

"первых" и

"вторых";
по аналогии с

среди всех "первых" имеем

"белых",

"чёрных";
наконец, по аналогии с

среди "вторых" имеется

"белых" и

"чёрных".
На этом аналогия заканчивается. В классической ситуации мы можем продолжить сортировку, уже
по двум признакам одновременно, так что получатся 4 кучки: "белые первые", "белые вторые", "чёрные первые" и "чёрные вторые". Это обусловлено тем, что на каждом шаре заранее проштампованы "цвет" и "номер". В КМ же принципиально важны не только вероятности, но и сами амплитуды вероятностей с их относительными фазами (в нашем примере это действительные коэффициенты со знаками

они придают формулам

смысл уравнений, позволяющих выразить одну базисную пару состояний через другую, и эти уравнения показывают, что сортировка квантовых состояний одновременно по двум признакам

и

невозможна!
Действительно, если мы отсортировали экземпляры квантового объекта "по цвету", т.е. в результате измерений

положили на одну полку квантовые объекты в состоянии

а на другую полку квантовые объекты в состоянии

то, как видно из принципа суперпозиции, принявшего обличье формул

эти объекты не имеют определённого "номера"; оба номера будут обнаруживаться у них с ненулевой вероятностью. Если же теперь с помощью измерения

мы продолжим сортировку, отделяя на каждой из полок квантовые объекты в состоянии

от квантовых объектов в состоянии

то, как показывает принцип суперпозиции в виде формул

наши квантовые объекты утрачивают определённость "цвета": суперпозиция состояний с разным "цветом" в КМ неизбежно означает, что "цвет" флуктуирует; мы не можем уйти от факта, что в суперпозиционных состояниях

отлична от нуля вероятность обнаружить оба цвета, даже если эти состояния были получены проецированием из состояний с определённым цветом

На первый взгляд, с классической точки зрения, может показаться, что этот факт являет собой некое противоречие. Но, вдумываясь в характер классических и квантовых измерений, следует заметить, что имеется глубокое различие между классической частью аппаратуры (это источники и сортирующие детекторы, реагирующие на значения той или иной физ. величины) и тем, что мы называем "квантовой частицей" или "квантовым объектом", так что у нас нет оснований уподобить в своих рассуждениях квантовую частицу классическому шару.
Действительно, как бы мы ни фантазировали в мысленных опытах, но на практике мы не имеем возможности вынимать квантовую частицу из мешка и разглядывать, что там на ней проштамповано; вместо этого применяются некие источники и детекторы. Наше интуитивное представление о "квантовой частице", как о некоем шарике или о точке с определённым набором свойств, оказывается умозрительным в гораздо большей мере, чем представление о реально наблюдаемых классических объектах. И если, собрав всю свою волю в кулак, отбросить необоснованные интуитивные образы и вдуматься, то придётся согласиться, что смысл понятия "квантовая частица" в квантовом эксперименте по измерению физ. величин

или

скорее подобен утверждению о наличии конкретной корреляции между наблюдаемыми событиями, характеризующими поведение источника и детекторов.
Если теперь разные "состояния частицы" трактовать лишь как разные типы корреляций между событиями "включили источник"-"сработал детектор", то отсутствие "у частицы" заранее проштампованных значений

и

как было бы в случае с классическим шаром, выглядит уже не противоречивым, а естественным. (Правда, при этом остаётся не раскрытым вопрос: как с такой точки зрения понимать утверждение, что "классические объекты состоят из квантовых"...) Примерно этому и учит нас принцип неопределённости в КМ: он запрещает приписывать квантовым "частицам" траектории и предопределённые
до измерения значения физ. величин (за исключением той физ. величины, для которой данное состояние является собственным).