Верхний предел интеграла переменная

gris · 13/08/08 14496

Позволю себе чирикнуть в интересную тему. Бывают же ещё интегралы, зависящие от параметра. И иногда от этого же параметра зависят пределы интегрирования. Ну вот известная функция (в чуть упрощённом виде): $G(x)=\int\limits_0^x\dfrac {x\sin t}{t} \, dt$
Если заменить $t$ на $x$ , то функция существенно упростится, но отражать перестанет :-)

Munin · 30/01/06 72407

Otta в сообщении #1101050 писал(а):

Вообще говоря, мы так не пишем, хотя бы потому, что неопределенный интеграл это не функция, а семейство функций.

Ещё хуже. Пишем $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx+C.$

И не надо считать, что если что-то не написано в "учебниках математики для математиков", а написано только в "учебниках математики для инженеров", то этого и вообще нет.

ewert в сообщении #1101056 писал(а):

Потому, что определённый и неопределённый интегралы -- понятия принципиально разные, изначально между собой даже и не связанные.

Вы, как всегда, слушаете мимо. Ваши банальности останутся без ответа.

Anton_Peplov в сообщении #1101061 писал(а):

Ну а как записать это лучше? Есть предложения?

Нету. Есть, скорее, предложение поумерить пыл в объяснениях, что писать $\displaystyle F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(x)\,dx$ неправильно. Да, формально неправильно. Точно так же, как и называть $\sin x$ функцией. Но во многих случаях понятно однозначно, не вызывает проблем, а когда вызывает - легко адаптируется до более чёткого варианта.

Anton_Peplov в сообщении #1101061 писал(а):

В конце-то концов, обозначения существуют для нашего удобства, а не мы - для удобства обозначений. И если почти все всё понимают, чего еще желать?

Таки и я о том же. Только применительно к другому пункту цепочки.

Otta в сообщении #1101067 писал(а):

Речь о том, что логично предполагать, что если уж переменная бегает по отрезку, то крайние точки отрезка не зависят от этой переменной. То есть не "переменные внутри и снаружи", а переменные "внутри и в пределах интегрирования".

Вы поверьте, я знаю "как положено" (понимать). Я просто пытаюсь объяснить, что в "неположенном" варианте есть тоже своя логика, и довольно здравая.

Otta · 09/05/13 8904 ∞⠀⠀⠀⠀

Munin в сообщении #1101091 писал(а):

Ещё хуже. Пишем $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx+C.$

Наоборот. $\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x)+C$ .

Munin в сообщении #1101091 писал(а):

И не надо считать, что если что-то не написано в "учебниках математики для математиков", а написано только в "учебниках математики для инженеров", то этого и вообще нет.

Вы поверьте, что мне приходилось видеть не только разные учебники, но и инженеров.

Munin · 30/01/06 72407

Otta в сообщении #1101096 писал(а):

Наоборот.

Конечно же!

ewert · 11/05/08 32166

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1101091 писал(а):

Вы, как всегда, слушаете мимо.

Я слушаю ровно то, что было сказано. Цитирую:

Munin в сообщении #1101046 писал(а):

Пусть интеграл с переменным верхним пределом $\displaystyle F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(\xi)\,d\xi.$

Но почему мы рядом пишем неопределённый интеграл $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx,$
и вдруг перестаём пользоваться этими правилами, что "переменные внутри и снаружи должны называться по-разному"?

Перевожу на русский: "Пусть мы записываем константу. Но почему мы функции не называем константами? Почему мы не записываем их ровно так же, как и константы?..."

Учитесь понимать себя.

Lia · 20/03/14 12041

i	Оффтоп отделен в «Частная производная». ivvan Создавайте отдельные темы для сторонних обсуждений, пожалуйста.

Mikhail_K · 26/01/14 4904

Александрович в сообщении #1100995 писал(а):

Одна буква потому что обозначает одну и ту же переменную.

Александрович в сообщении #1101026 писал(а):

Пусть св задана плотностью плотностью распределения $f(t)$ и функцией распределения $F(x)$ . Тоже вопросов не будет по поводу $t$ и $x$ ?

Otta в сообщении #1101028 писал(а):

И два - функция, неважно какая, плотность или распределения - это $p$ и $F$ соответственно. А не их значения в какой-то точке. Зачем Вы указываете аргументы? Это уже значения функций в соотв. точках, по-хорошему если.

Александрович в сообщении #1101038 писал(а):

У меня несколько иная школа. Функции — это $f(t), F(x)$ .
А $f(t_k), F(x_k)$ — это их значения соответственно в $t_k, x_k$ . $k$ - это момент фиксации значений функции в $t$ и $x$ .

Александрович в сообщении #1101042 писал(а):

Для Вас? Речь ведь не об удобстве, а о правильности.

1) Буква обозначает НЕ одну переменную. Переменная интегрирования это одно, переменная, от которой зависит результат интегрирования - это другое. Поэтому же, НЕ будет вопросов, если в плотности распределения Вы пишете $f(t)$ , а в функции распределения $F(x)$ . Разумеется, не будет вопросов и тогда, когда Вы будете писать $f(x)$ и $F(x)$ - но это, только если эти переменные не будут конфликтовать, как в Вашем случае с интегрированием.
2) В математике "удобство" и "правильность" обозначений - одно и то же. Любые обозначения, которые удобны - правильны. "Неправильные" обозначения потому неправильны, что неудобны: вводят в заблуждение при неаккуратном применении.
3) Если Вам интересно, что принято в математике - Вам уже ответили. Функция - это $f$ или $F$ , без указания аргумента. Потому что функция - это соответствие между одним множеством и другим, какой смысл писать её вместе с аргументом? Иногда, впрочем, это бывает удобно и её пишут с аргументом. Что касается "Вашей школы" - вряд ли можно сказать, что такое принято в математике. Такое принято только в Вашей школе. Но если такие обозначения Вам удобны, никто не мешает Вам их использовать.
4) Вообще, по причине пункта 2 вопрос не имеет смысла - как обозначать правильно, как неправильно. Если Вам удобно обозначать так, а не иначе - обозначайте - до тех пор, пока не станет неудобно.

И ещё.

Александрович в сообщении #1101070 писал(а):

Вот это, да! Вы хоть определения посмотрите. Дабы в дальнейшем не вводить ваших слушателей в заблуждение.

Munin здесь никого в заблуждение не вводит. И это понятно всем, кроме Вас. Если Вам непонятно, наверное, стоит спросить, почему так, а не иронизировать.

-- 22.02.2016, 06:49 --

Munin в сообщении #1101046 писал(а):

Но почему мы рядом пишем неопределённый интеграл $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx,$
и вдруг перестаём пользоваться этими правилами, что "переменные внутри и снаружи должны называться по-разному"?

ewert в сообщении #1101056 писал(а):

Определённый интеграл -- это число, неопределённый же -- пусть и семейство, но функций.

Otta в сообщении #1101096 писал(а):

Наоборот. $\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x)+C$ .

Ну да, запись $\int f(x)dx=F(x)+C$ нельзя назвать идеальной, ибо в левой части семейство функций, а в правой - как бы число. В идеале стоило бы писать $\int f(x)dx=F+C$ или $\Bigl(\int f(x)dx\Bigr)(y)=F(y)+C$ . Но по соображениям удобства так писать никто не будет...

Александрович · 21/01/09 3939 Дивногорск

Mikhail_K в сообщении #1101207 писал(а):

3) Если Вам интересно, что принято в математике - Вам уже ответили. Функция - это $f$ или $F$ , без указания аргумента. Потому что функция - это соответствие между одним множеством и другим, какой смысл писать её вместе с аргументом?

Тот же что и написание $dx$ под знаком интеграла.

В радиотехнических книжках про интегрирующие $RC$ -пишут следующее:

$U_{out}(t)=\frac{1}{RC}\int U_{in}(t)dt+\operatorname{const}$ .

Правильно что $t$ переменная одна у входного и выходного сигнала. Неправильно что интеграл неопределённый, ведь на самом деле интегрирующая $RC$ -цепочка показывает площадь под кривой.

Otta · 09/05/13 8904 ∞⠀⠀⠀⠀

Александрович в сообщении #1101210 писал(а):

В радиотехнических книжках про интегрирующие $RC$ -пишут следующее:

Как пишут.

Александрович · 21/01/09 3939 Дивногорск

Otta в сообщении #1101211 писал(а):

Александрович в сообщении #1101210 писал(а):

В радиотехнических книжках про интегрирующие $RC$ -пишут следующее:

Как пишут.

Ровно так как я и написал.

Otta · 09/05/13 8904 ∞⠀⠀⠀⠀

Плюс константа-то там зачем? к неопределенному таки интегралу? она там и так заложена.
Это же решение дифференциального уравнения.

По логике, конечно, это должно быть решение задачи Коши, то есть должно торчать что-то вроде $U_{out}(t)=U_{out}(0)+K\int_0^t U_{in}({\tau})\,d\tau$ , то есть константа, естественно, не любая, но в любом случае не так, как было.