Частная производная

[ivvan]

Lia: Отделено от «Верхний предел интеграла переменная»

Munin в сообщении #1101046 писал(а):

Но почему мы рядом пишем неопределённый интеграл $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx,$
и вдруг перестаём пользоваться этими правилами, что "переменные внутри и снаружи должны называться по-разному"?

Можно ли записать частную производную "без нарушения правила"?

[Munin]

А с частной производной-то какая проблема?

[ivvan]

Munin в сообщении #1101145 писал(а):

А с частной производной-то какая проблема?

Ну, хоть запись неопределённого интеграла похожа на запись определённого, $x$ играет там, как мне кажется, такую же роль, как в $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$ ($dx$ задаёт зависимость функции слева от $x$). Хотя $(x)$ обычно не пишется, но и в интеграле (как неопределённом, так и определённом) по идее его также можно на тех же основаниях опускать, если понятно, по чему интегрировать.

[ivvan]

Забыл, что производная от функции одной переменной можно написать без записи аргумента, поэтому спросил про частную производную (она тогда записывается как $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$; в принципе запись производной по выделенной по смыслу переменной (обычно временной) тоже может обходиться без обозначения переменной, по которой дифференцируют, но это уже не возможно не всегда).

[arseniiv]

Вообще у функций не переменные, а параметры. Обычно конечное число. Они естественным образом сопоставлены натуральным числам, так что частные производные можно обозначать вполне спокойно: скажем, $f'_1,f'_2$. Но это и не ново (и здесь как-то обсуждалось, но трудно найти), и не всегда удобно, если переменные уже в ходу.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #1101272 писал(а):

Вообще у функций не переменные, а параметры.

Не параметры, а аргументы.

[Munin]

ivvan в сообщении #1101163 писал(а):

Хотя $(x)$ обычно не пишется, но и в интеграле (как неопределённом, так и определённом) по идее его также можно на тех же основаниях опускать, если понятно, по чему интегрировать.

Кажется, исторически именно такие обозначения были долгое время в ходу (чуть ли не у самого Лейбница), и только потом привыкли ставить $dx$ под интегралом в обязательном порядке.

[arseniiv]

Xaositect в сообщении #1101286 писал(а):

Не параметры, а аргументы.

А. А я думал, это синонимы…

P. S. Хотя сейчас смотрю и кажется, что в другой раз написал бы «аргументы».

[ivvan]

arseniiv в сообщении #1101272 писал(а):

Вообще у функций не переменные, а параметры.

Что вы имели в виду?

arseniiv в сообщении #1101272 писал(а):

Они естественным образом сопоставлены натуральным числам, так что частные производные можно обозначать вполне спокойно: скажем, $f'_1,f'_2$.

А такие обозначения встречаются?

Munin в сообщении #1101301 писал(а):

Кажется, исторически именно такие обозначения были долгое время в ходу (чуть ли не у самого Лейбница), и только потом привыкли ставить $dx$ под интегралом в обязательном порядке.

Я имел в виду запись $\int fdx$, т.е. аналогично $\frac{df}{dx}$.

(фикс)

ivvan в сообщении #1101253 писал(а):

но это уже не возможно не всегда

"но это уже возможно не всегда"

[arseniiv]

ivvan в сообщении #1101360 писал(а):

Что вы имели в виду?

То, что функцию можно дифференцировать только по какому-то из аргументов (первому, второму и т. д.), и имён у них нет.

ivvan в сообщении #1101360 писал(а):

А такие обозначения встречаются?

Где-то были, по крайней мере, обозначения $D_1,D_2,\ldots$ для соответствующих дифференциальных операторов и $f^{(a_1,a_2,\ldots)}$ для $D_1^{a_1}D_2^{a_2}\cdots f$ в том случае, когда $D_1,D_2,\ldots$ все коммутируют (это аналогично обозначению $f^{(n)}\equiv D^nf$).

[ivvan]

arseniiv в сообщении #1101374 писал(а):

То, что функцию можно дифференцировать только по какому-то из аргументов (первому, второму и т. д.), и имён у них нет.

Т. е. "переменная"="имя(обозначение) аргумента(или даже величины)"?

[Munin]

ivvan в сообщении #1101360 писал(а):

Я имел в виду запись $\int fdx$

А я имел в виду запись $\int f.$

[provincialka]

ivvan в сообщении #1101360 писал(а):

А такие обозначения встречаются?

Да хоть бы в Демидовиче! Там,где надо дифференцировать сложные функции... Например, надо найти производную по $x$ от сложной функции $g(x)=f(2x,x^2)$. По каким "переменным" вы будете дифференцировать $f$?
Ответ записан так: $g'(x) = f'_1\cdot2+f'_2\cdot 2x$

[ivvan]

provincialka в сообщении #1101395 писал(а):

Например, надо найти производную по $x$ от сложной функции $g(x)=f(2x,x^2)$.

Конкретно это задание не нашёл, но в Демидовиче действительно используется эта нотация.

Всё-таки обозначение производной, как оказалось, отличается от обозначения интеграла, где обязательно указание по чему интегрировать.

[arseniiv]

ivvan в сообщении #1101381 писал(а):

Т. е. "переменная"="имя(обозначение) аргумента(или даже величины)"?

(Не совсем понял возможные альтернативные ответы, чтобы иметь возможность сказать «да» или «нет» уверенно.)