Верхний предел интеграла переменная

[Otta]

Александрович
Будет вопрос, зачем Вы случайную величину задаете двумя эквивалентными способами - раз. И два - функция, неважно какая, плотность или распределения - это $p$ и $F$ соответственно. А не их значения в какой-то точке. Зачем Вы указываете аргументы? Это уже значения функций в соотв. точках, по-хорошему если.

[arseniiv]

Александрович в сообщении #1101024 писал(а):

$t$ и $x$ это обозначение одной и той же величины? Ну да, отвечу я. А почему тогда она разными буквами обозначена?

Не надо путать переменные с их «типами». Тут нет никакой «одной и той же величины», тут есть одно и то же множество значений случайной величины, по которому бегают переменные. Разумеется, не отождествимые просто синтаксически. Можно было бы вообще написать что-то типа $F = x\mapsto\int_a^x f$, если бы так было принято, и тут единственной фигурирующей переменной просто не с чем совпадать или не совпадать; более того, она связана и может быть легко переименованной. Можно придумать запись вообще без переменных.

Александрович в сообщении #1101026 писал(а):

Пусть св задана плотностью плотностью распределения $f(t)$ и функцией распределения $F(x)$. Тоже вопросов не будет по поводу $t$ и $x$?

Опять же, некоторые люди закроют глаза, потому что им нравится указывать арность функции указанием фиктивных аргументов, а другие (как я) придерутся совершенно к иному: функции — это $f$ и $F$, а $f(t), F(x)$ — это их значения соответственно в $t, x$.

[Александрович]

arseniiv в сообщении #1101030 писал(а):

функции — это $f$ и $F$, а $f(t), F(x)$ — это их значения соответственно в $t, x$.

У меня несколько иная школа. Функции — это $f(t), F(x)$.
А $f(t_k), F(x_k)$ — это их значения соответственно в $t_k, x_k$. $k$ - это момент фиксации значений функции в $t$ и $x$.

[provincialka]

Александрович в сообщении #1101038 писал(а):

У меня несколько иная школа.

Не в школе дело. "Ваши" обозначения неудобные.

[Александрович]

provincialka в сообщении #1101040 писал(а):

"Ваши" обозначения неудобные.

Для Вас? Речь ведь не об удобстве, а о правильности.

[Munin]

Ну, на самом деле, некоторая нелогичность в "правильных" обозначениях есть.

Пусть определённый интеграл $\displaystyle I=\int\limits_a^b f(x)\,dx.$

Пусть интеграл с переменным верхним пределом $\displaystyle F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(\xi)\,d\xi.$

Но почему мы рядом пишем неопределённый интеграл $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx,$
и вдруг перестаём пользоваться этими правилами, что "переменные внутри и снаружи должны называться по-разному"?

Ведь интеграл с переменным верхним пределом по идее своей куда ближе к неопределённому интегралу, чем к определённому.

[provincialka]

"Правильно"... Хм... ну, это не совсем подходящее слово для обозначений... Вот, если я обозначу интеграл знаком $\aleph$ -- это будет правильно, или нет?

Вот $\sin$ -- это функция. Зачем к ней приписывать ещё какой-то $x$? Дополнительной информации он не даст... запутает только... В крайнем случае можно написать $\sin()$. А для двухместной функции -- так: $f(,)$

[Otta]

Munin в сообщении #1101046 писал(а):

Но почему мы рядом пишем неопределённый интеграл $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx,$

Вообще говоря, мы так не пишем, хотя бы потому, что неопределенный интеграл это не функция, а семейство функций.

[Евгений Машеров]

Александрович в сообщении #1100976 писал(а):

$F(x)=\int\limits_{a}^{x} f(x)dx$.

В порядке аналогии. В некоторых языках программирования с блочной структурой во вложенном блоке можно объявлять переменные, причём их названия совпадут с переменной в объемлющем блоке. Компилятор ошибки не выдаёт, но отважный стажёр, использовавший эту, формально дозволенную возможность, останется без премии. И выясняя у начальника причины такого произвола и вопиющей несправедливости, он узнает, что:
1. С высокой вероятностью он сам запутается, где Х обозначает переменную из одного, где из другого блока.
2. Почти заведомо он запутает людей, пытающихся понять его программу.

[ewert]

provincialka в сообщении #1101047 писал(а):

В крайнем случае можно написать $\sin()$. А для двухместной функции -- так: $f(,)$

Зачем, когда есть стандарт: $\sin(\cdot)$ и $f(\cdot,\cdot)$.

Правда, к поименованным функциям это обычно не применяется за ненадобностью.

Munin в сообщении #1101046 писал(а):

почему мы рядом пишем неопределённый интеграл $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx,$

Потому, что определённый и неопределённый интегралы -- понятия принципиально разные, изначально между собой даже и не связанные. Определённый интеграл -- это число, неопределённый же -- пусть и семейство, но функций.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Александрович в сообщении #1101038 писал(а):

У меня несколько иная школа. Функции — это $f(t), F(x)$.

Так ведь и я её тоже упомянул. Но будьте готовы к фырканью (что я упоминал также). В любом случае, не шляпа красит человека, а человек шляпу: если обозначения вам удобны, и вы в этом уверены, то не нужно смотреть на других. Правда, если аудитория читателей большая, ровно так же нужно заботиться и об удобности для них. В общем, стандартная ерунда о коммуникации, ничего нового.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1101046 писал(а):

Но почему мы рядом пишем неопределённый интеграл $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx,$
и вдруг перестаём пользоваться этими правилами, что "переменные внутри и снаружи должны называться по-разному"?

Ну а как записать это лучше? Есть предложения?
Ну напишем мы, допустим,
$\displaystyle F(x)=\int f(t)\,dt,$
и при $f(t) = t^2$ у нас получится, что
$F(x) = \frac{t^3}{3} + C$
Час от часу не легче: в левой части $x$, а в правой какое-то $t$, к $x$ отношения не имеющее.
Можно было бы придумать специальное обозначение для "возьмем $\int f(t)\,dt$, а потом подставим $x$ вместо $t$", но... к чему весь этот долгий и утомительный процесс? (с). В конце-то концов, обозначения существуют для нашего удобства, а не мы - для удобства обозначений. И если почти все всё понимают, чего еще желать?

[Otta]

Munin в сообщении #1101046 писал(а):

и вдруг перестаём пользоваться этими правилами, что "переменные внутри и снаружи должны называться по-разному"?

Не так. Речь не об этом. Речь о том, что логично предполагать, что если уж переменная бегает по отрезку, то крайние точки отрезка не зависят от этой переменной. То есть не "переменные внутри и снаружи", а переменные "внутри и в пределах интегрирования".

[Александрович]

Munin в сообщении #1101046 писал(а):

Ведь интеграл с переменным верхним пределом по идее своей куда ближе к неопределённому интегралу, чем к определённому.

Вот это, да! Вы хоть определения посмотрите. Дабы в дальнейшем не вводить ваших слушателей в заблуждение.

[profrotter]

Александрович в сообщении #1100976 писал(а):

$x$ - значение случайной величины;

Главная проблема у вас с самого начала. Это не значение случайной величины. Это независимая переменная.