Автокорреляция сигнала с весом

[profrotter]

Leardjiny в сообщении #1099888 писал(а):

Меня интересовало как раз именно обоснование наличия и формы этих боковых лепестков.

Помню. Я вытянул, что смог.

[Andrey_Kireew]

Leardjiny в сообщении #1099805 писал(а):

Вот два примера модели.

1) умножал вес на опорную функцию.
Сам сигнал и опора.
2) Умножал на вес в частотной области.
Спектр сигнала и вес (на самом деле вес изменяется от 0 до 1, просто я его выровнял для масштаба)

Получается что окно во временной области срабатывает лучше.

Всё понятно, это потому что Вы в частотной области умножаете на само окно, а надо умножать на спектр окна, раз область частотная, то и представления в ней должны быть частотные.

После умножения на спектр окна и последующего вычисления ВКФ результат должен получится лучше чем первый.

С первым результатом тоже всё понятно, просто у вас сигнал короткий, строго говоря правильно будет несколько раз его умножать на сдвинутое на 1 отсчёт окно, а потом сложить полученные результаты. Т.е. как я уже и говорил, нужно использовать окно как скользящий фильтр, это можно сделать так так

w=chebwin(16); % апертура 256, подавление 100Дб
y=filter(w,1,x); % 1 - так как фильтр c КИХ

но так как у Вас сигнал короткий, то результат от однократного умножения даёт тоже что то похожее, но это не лучшее, что можно получить.
Обратите внимание, что апертуру фильтра нужно брать очень небольшую, иначе он сгладит весь полезный сигнал.

-- 16.02.2016, 18:23 --

Вот что у меня получилось после правильного применения окна к смеси двух синусоид и шума

а вот, что после умножения на окно

второе похоже на то, что получается у Вас, и уж ни как не лучше первого,
и апертура окна во втором случае 3000 а в первом только 16,
теперь Вам должно быть ясно откуда берутся такие большие боковые лепестки.

-- 16.02.2016, 18:29 --

Кстати вот исходный сигнал

[Leardjiny]

Andrey_Kireew в сообщении #1099908 писал(а):

Всё понятно, это потому что Вы в частотной области умножаете на само окно, а надо умножать на спектр окна, раз область частотная, то и представления в ней должны быть частотные.

После умножения на спектр окна и последующего вычисления ВКФ результат должен получится лучше чем первый.

С первым результатом тоже всё понятно, просто у вас сигнал короткий, строго говоря правильно будет несколько раз его умножать на сдвинутое на 1 отсчёт окно, а потом сложить полученные результаты. Т.е. как я уже и говорил, нужно использовать окно как скользящий фильтр, это можно сделать так так

Не соглашусь с Вами. Оба варианта (умножать в частотной области на спектр окна или делать скользящее окно (функция filter в matlab)) получаются одинаковые результаты абсолютно.

Это с моим окном (Блэкмана).


Этот результат явно не тот, что меня интересовал.

Тут я использовал то что Вы указали

w=chebwin(16); % апертура 256, подавление 100Дб
y=filter(w,1,h); % 1 - так как фильтр c КИХ
HW = conj(fft(y ));
S_F = fft(s);  %спектр сигнала 1
C_F = S_F .*conj(HW );    %свертка сигнала 1 с опорной функцией 1
figure
c_t_log = fftshift(20*log10(abs(ifft(C_F ))));  %перевод в дБ
plot(c_t_log - max(c_t_log))    %отображение свертки сигнала

Спад у центрального пика вышел пилообразный и первая пила на уровне -14дБ.

Так что думаю что ни скользящее окно ни умножение на спектр окна в частотной области не подойдут для данной цели.

-- 16.02.2016, 18:33 --

Andrey_Kireew в сообщении #1099908 писал(а):

Вот что у меня получилось после правильного применения окна к смеси двух синусоид и шума

Если у Вас на картинках сам сигнал, то на мой взгляд (не факт что правильный, но все же) это никак не ЛЧМ сигнал.
Если же это спектр сигнала, то тем более не спектр ЛЧМ. Думаю Вы просто моделируете какой то другой сигнал.

Как раз больше похоже на спектр от суммы двух синусоид с постоянными частотами.

[Andrey_Kireew]

Последняя АКФ получилась нормальная, непонятно почему она Вам не нравится, боковые лепестки пропали а центральный пик стал отчётливым, он довольно острый, попробуйте ещё изменить ширину окна, от этого форма пика может изменится.
Если же Вы хотите получить очень острый пик, то лучше попробовать другие сигналы, например сигналы Баркера, на них получите то что нудно, или M-последовательности, но у них апериодическая АКФ будет хуже.

Имейте ввиду, что у Вас сигнал не шумоподобный, и на промежутке его действия АКФ всё равно будет изменяться как бы Вам не хотелось иного. У синусоиды вообще бы была куполообразная АКФ на этом участке, понятно что это Вам ещё меньше подходит.

-- 16.02.2016, 20:36 --

Кстати у меня действительно 2 синусоды + шум, и я об этом писал, Вы наверное не внимательно читали. Это потому, что параметры ЛЧМ мне с первого раза подобрать не удалось, чтобы он наглядно отображался.

[Leardjiny]

Последняя АКФ ничуть не лучше моих результатов - ее большие боковые на уровне -40дБ. Но пила начинается на -14дБ. А это значит, что не имея понятия о форме сигнала мы обычным проходом получим уровень боковых именно -14, а не -40.

[Andrey_Kireew]

А Вы хоть умножаете на вторую половинку окна, или на всё?

-- 16.02.2016, 21:09 --

На счёт того, что у пас получился перепад -40Дб, так это иллюзия.
Обратите внимание на уровень шумов на АКФ без оконного взвешивания - 30Дб,
в Вашем случае зашумлённость главного максимума никуда не девается, так что это максимум неустойчивый и будет сильно меняться от случая к случаю, а это Вас видимо не устроит.
На максимуме последней полученной Вами АКФ шума практически нет, поэтому в действительности она намного лучше всего что было раньше.
Если уменьшить ширину окна, например взять 8 отсчётов, то боковые зубья у этой пилы уменьшатся, но зато вырастет зашумлённость главного максимума. Здесь нужно искать компромисс.

[Leardjiny]

Мне кажется Вы не совсем поняли суть вопроса и цели этих действий. Или просто отошли от темы.

Вот все три результата.



Синим - ВКФ без веса, красным - ВКФ с моим весом, зеленым - ВКФ Вашим способом.

Как по мне - красный график явно лучше. Нет смещения центральной гармоники и первые колебания начинаются не на уровне -14дБ. При этом ширина центрального пика я бы не сказал что особо шире.

Но вопрос по сути был не в выборе весового окна и его применении (на эту тему как раз много информации в книгах, и, кстати, нигде не встречал скользящее окно для сжатия импульса)

[profrotter]

Leardjiny в сообщении #1099888 писал(а):

Меня интересовало как раз именно обоснование наличия и формы этих боковых лепестков.

Обоснуем. Амплитудный спектр прямоугольного ЛЧМ сигнала представим в виде суммы прямоугольной функции и пульсаций, которые аппроксимируем тригонометрическим многочленом. Учтём симметрию и будем рассматривать аппроксимацию на интервале от $[-\frac{\omega_d}{2},\frac{\omega_d}{2}]$, поскольку примерно там локализован спектр комплексной огибающей взвешенного сигнала. Тогда амплитудный спектр ЛЧМ сигнала представим в виде: $v'(\omega)\approx v(k\omega)+\sum\limits_{n=1}^{N}A_n\cos(\omega \tau_n)$. ВКФ сигналов по комплексным огибающим (по следам вчерашних сообщений)

$$R(\tau)=F\left\{v'(\omega)w(k\omega)\right\}=F\left\{v(k\omega)w(k\omega)\right\}+F\left\{w(k\omega)\sum\limits_{n=1}^{N}A_n\cos(\omega \tau_n)\right\}=$$

$$=K_1W(a\tau)+K_2\sum\limits_{n=1}^{N}A_n(W(a(\tau+\tau_n))+W(a(\tau-\tau_n)))$$

Где $k,a,K_1,K_2$ - коэффициенты (их при желании, разумеется, можно отследить); $F\{\cdot\}$ - преобразование Фурье. Второе слагаемое и даёт боковые лепестки.

Самое интересное, что ответ на ваш вопрос был дан с того самого момента, как только я написал Кук, Бернфельд Радиолокационные сигналы. Если бы вы открыли раздел 7.6 на стр. 224 (у меня издание 71-го года), то вопрос уже давно отпал бы сам собой. Я читал эту книгу очень давно и не сразу вспомнил, что там это есть. Точнее сначала сделал то, о чём только что написал, потом заглянул туда. Так часто бывает - кажется, что только что что-то придумал, а на самом деле всплыло.

[Leardjiny]

Понял ваши слова про использование только половины веса, думаю оно более верное. И результат более похож на мои.

Результат с использованием скользящего окна и половины функции



Думаю что скользящее окно все ухудшает. Т.к. боковые лепестки вообще вырастают до уровня центрального. А сам центральный и первые боковые не меняются.
(Использование просто окна Чебышева (не скользящего) не особо отличается от использования других окон).

-- 17.02.2016, 11:29 --

profrotter в сообщении #1100077 писал(а):

Самое интересное, что ответ на ваш вопрос был дан с того самого момента, как только я написал Кук, Бернфельд Радиолокационные сигналы. Если бы вы открыли раздел 7.6 на стр. 224 (у меня издание 71-го года), то вопрос уже давно отпал бы сам собой. Я читал эту книгу очень давно и не сразу вспомнил, что там это есть. Точнее сначала сделал то, о чём только что написал, потом заглянул туда. Так часто бывает - кажется, что только что что-то придумал, а на самом деле всплыло.

Я читал эту книгу и даже до того как разместил вопрос здесь и собственно видел разложение на сумму косинусов (там спектр представляли как 2 разных косинуса) и дальнейшие выкладки. Но промоделировать это у меня не вышло - пока не получается выделить эти суммы отдельно, чтобы потом сложить и получить результат (возможно связано с тем что в качестве K1 и K2 я брал единицы). Считал что есть другой способ описать эти пики и их форму.
Буду двигаться в том же направлении. Спасибо.
Просто писали про скользящие окна, вот я и привел результаты, что их использовать не стоит.

[Andrey_Kireew]

Да, извиняюсь, в крупном масштабе действительно видно, что центральный пик тоже гладкий, и к тому же узкий, может так оно и лучше, какой то смысл в этом видимо есть.

Строгое математическое обоснование здесь дать затруднительно, т.к. Фурье - преобразование от произведения в квадратурах уже не выражается, это нелинейная операция. Можно окно попробовать аппроксимировать многочленами , или может заменить его суммой. Вообще это не тривиальная задача и её скорее всего никто никогда не решал, хотя может и ошибаюсь.
Допущение profroter:

Цитата:

поскольку примерно там локализован спектр комплексной огибающей взвешенного сигнала

видимо не позволит объяснить влияние окна на форму Вашего результата, а Вам видимо нужно именно это.
По сути, то что вы сделали это ещё промодулировали сигнал окном по амплитуде, а потом уже находите ВКФ исходного сигнала с тем что получилось. Как меняется спектр Вашего сигнала после такой АМ модуляции - не совсем понятно.

[profrotter]

Andrey_Kireew в сообщении #1100080 писал(а):

видимо не позволит объяснить влияние окна на форму Вашего результата

Дело в том, что для получения хорошей АКФ окно должно быть локализовано в пределах импульса (иначе АКФ будет вся в пульсациях), а это и означает, что спектр ЛЧМ сигнала и спектр взвешенного сигнала локализованы на одном и том же интервале, который и рассматривается.

[Andrey_Kireew]

profrotter в сообщении #1100082 писал(а):

Дело в том, что для получения хорошей АКФ окно должно быть локализовано в пределах импульса (иначе АКФ будет вся в пульсациях), а это и означает, что спектр ЛЧМ сигнала и спектр взвешенного сигнала локализованы на одном и том же интервале, который и рассматривается.

Я не говорю что это допущение неприемлемо, приблизительно всё так оно и есть,
я говорю о том, что это допущение в принципе исключает возможность изучение влияние домножаемого окна на особенности формы ВКФ, так как этим предположением Вы по сути абстрагируетесь от самого объекта исследования.

[profrotter]

Andrey_Kireew в сообщении #1100084 писал(а):

изучение влияние домножаемого окна на особенности формы ВКФ

Чего его изучать? Читайте тему и литературу. Без учёта искажений ВКФ по форме совпадает с преобразованием Фурье оконной функции. С учётом искажений - получено сегодня. Всё.

[Andrey_Kireew]

Ну да, вообще похоже что этот центральный пик вместе с малыми боковыми колебаниями, что рядом с ним, примерно и есть Фурье - преобразование окна (в формулах Ваших честно говоря до конца не разобрался, может от этого пришел к неправильным выводам).

[Евгений Машеров]

А вообще тут напрашивается забавный подход. Вообще убрать из рассмотрения частотное представление и оконную функцию и прямо искать оптимальную функцию, с которой коррелировать.
Дана функция сигнала $a(t)$, ищется функция $x(t)$ такая, что $\int a(t)x(t) dt=1$ и $\max_{\tau\ne 0}\int a(t)x(t-\tau) dt$ минимально.

-- 17 фев 2016, 12:21 --

Заменяется интеграл суммой по конечному числу отсчётов $x_i$ и ищется решение методами линейного программирования.
$\min r$
$\Sigma_i a_i x_i=1$
$\Sigma_i a_i x_{i+j}-r\ge 0$
$\Sigma_i a_i x_{i+j}+r\ge 0$
$j=-n\cdots n$
$r\ge 0$