Автокорреляция сигнала с весом

[profrotter]

Andrey_Kireew в сообщении #1099774 писал(а):

Находим АКФ как это делает ТС

К сожалению вы не внимательно ознакомились со стартовым сообщением темы. ТС вычисляет корреляционную функцию на основе временных функций. Они действительны и никакого комплексного сопряжения не требуется. Вы же пользуетесь формулой расчёта корреляционной функции в частотной области. Можно и так и так ввиду равенства Парсеваля:

$$R(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s_1(t)s_{2}^{*}(t-\tau)dt=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S_1(\omega)S_{2}^{*}(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega.$$

Разумеется, когда сигналы действительные комплексное сопряжение в первом интеграле присутствует лишь формально, о чём, впрочем, вам уже сообщалось другими участниками.

[Евгений Машеров]

Andrey_Kireew в сообщении #1099774 писал(а):

Находим АКФ как это делает ТС

Что характерно - делает это он не так...

-- 16 фев 2016, 09:29 --

Andrey_Kireew в сообщении #1099780 писал(а):

Окно используется в качестве скользящего фильтра

А вот так не поступает ни топикстартер, ни вообще кто бы то ни было...

(Оффтоп)

Мне становится страшно за студентов, которым Вы преподавали.

[Leardjiny]

Сколь много я пропустил.
По поводу вычисления АКФ через спектры - полностью согласен. Там у меня ошибка, где пример кода привел. Спектр умножается на сопряженный спектр опорной функции.
Просто когда создавал тему я пытался посчитать во временной области, а в модели - проще через FFT, но в самой модели все верно прописал.
По сути результат одинаковый если считать во временной области или в частотной (естественно с сопряжением спектра опоры).

Вот по поводу умножения на весовую функцию - не совсем понял почему нельзя на нее умножить во временной области. Результат получается неплохой.
А вот умножение на вес после АКФ(во временной области после IFFT?) звучит как то неправдоподобно - не совсем улавливаю как реализовать.

В целом делал умножение на вес и во временной области и в частотной результаты практически совпали, разве что когда делаешь во временной результат выходит более гладким.

[Евгений Машеров]

Andrey_Kireew в сообщении #1099780 писал(а):

Если уж, что и умножать на окно, то не сам сигнал, а его АКФ, это будет корректно и такой подход используется в коррелограмном методе спектрального оценивания. При этом сначала вычисляется преобразование Фурье, затем оно умножается на комплексно - сопряженное и выполняется обратное преобразование, приводящее к АКФ (обратите внимание, что при вычислении АКФ никакие окна не используются). Уже потом АКФ умножается на окно, которое в данном случае называется корреляционным. По форме оно такое же, но одна особенность - число отсчётов в нём должно быть нечётным. Чаще при этом используют прямоугольное окно, т.е. просто отбрасывают "хвосты" АКФ и по новой вычисляют преобразование Фурье, в результате которого получается сглаженный спектр.
Но коррелограмном метод сейчас используют редко, т.к. он уступает периодограмм ному в вычислительной эффективности, его использовали до открытия быстрого преобразования Фурье, когда АКФ вычисляли напрямую.

Дивно... При расчёте спектра через корреляционную функцию таковая, вообще-то, считается напрямую. Хотя приёмы, использующие БПФ для ускорения, действительно есть. Но там есть некоторые тонкости. Скажем, дополнение нулями. Но считать через БПФ корреляции, а потом обратное БПФ, и третье после наложения окна - чем-то это напоминает анекдот про цивилизованного дикаря, которого приучили пользоваться вилкой, так что он рукой вытаскивает кусок мяса из кипящего котла, накалывает на вилку и культурно ест. Если мы используем БПФ - попросту домножаем отрезок сигнала на окно, делаем БПФ, находим модули коэффициентов (да, домножением на комплексно-сопряжённое, хотя можно и иначе, например, симметрично отразив участок сигнала, так что считается косинус-преобразование, или можно вообще преобразование Хартли употребить), затем, как правило, усредняем по серии отрезков сигнала (ещё и с перекрытием). Это общепринятая техника расчёта.

(Оффтоп)

Я понимаю, что Ваш опыт неполон, но хотел бы порекомендовать, увидев нечто отличное от Вашего опыта, хотя бы предположить, что это иное тоже может быть верным (а Ваш опыт - неверен или хотя бы получен в иных условиях), и, главное, прежде чем авторитетно отвечать, прочесть то, на что Вы берётесь возражать. Иногда подобные предосторожности уберегают от того, чтобы выглядеть комично-напыщенным и блистать недознаниями.

[Leardjiny]

Вот два примера модели.

1) умножал вес на опорную функцию.
Сам сигнал и опора.

Результат ВКФ


2) Умножал на вес в частотной области.
Спектр сигнала и вес (на самом деле вес изменяется от 0 до 1, просто я его выровнял для масштаба)

результат ВКФ


Получается что окно во временной области срабатывает лучше.

[profrotter]

Leardjiny в сообщении #1099801 писал(а):

По поводу вычисления АКФ через спектры - полностью согласен. Там у меня ошибка, где пример кода привел. Спектр умножается на сопряженный спектр опорной функции.

Ага, теперь видим в сообщении #1098411. Уточните: у вас ошибка при перепечатывании кода на форум или ошибка и в самом коде и на форуме?

[Leardjiny]

При перепечатывании кода на форум. В самой модели у меня все правильно.
Потому графики правильные.

Кусок кода из matlab где считаю ВКФ (вес умножал на опору)

h = s*window; %s - сигнал, window - окно блэкмана
H_F = fft(h); % спектр опоры
S_F = fft(s);  %спектр сигнала 
C_F = S_F.*conj(H_F);    %ВКФ сигнала  с опорной функцией 
figure
c_t_log = fftshift(20*log10(abs(ifft(C_F ))));  %перевод в дБ
plot(c_t_log - max(c_t_log))    %отображение ВКФ сигнала

Вес в частотной области

h = s; %s - сигнал, h - опора без веса
H_F = fft(h); % спектр опоры
S_F = fft(s);  %спектр сигнала 
C_F = S_F.*conj(H_F);    %ВКФ сигнала  с опорной функцией 
figure
c_f_log = fftshift(20*log10(abs(ifft(C_F .*window2))));  %window2 окно Блэкмана
plot((c_f_log - max(c_f_log)))

[profrotter]

Я попробую пояснить качественно что происходит при весовой обработке ЛЧМ-сигнала. У ЛЧМ-сигнала при больших базах (а при малых очень приблизительно) амплитудный спектр по форме повторяет огибающую, а фазовый спектр - мгновенную фазу. И вот мы подаём прямоугольный ЛЧМ сигнал на согласованный фильтр для ЛЧМ сигнала с огибающей, определяемой функцией-окном. При преобразовании сигнала согласованным фильтром угловая модуляция снимается (как это было бы без взвешивания, поскольку ФЧХ осталась той же, что и без взвешивания) и составляющие сигнала становятся синфазными. Теперь спектр сигнала на выходе представляет собой произведение амплитудного спектра сигнала на входе и амплитудного спектра оконной функции. Соответственно сам сигнал на выходе (по форме соответствующий ВКФ) является обратным преобразованием Фурье от произведения амплитудного спектра сигнала на входе и амплитудного спектра оконной функции. Амплитудный спектр сигнала на входе при больших девиациях приблизительно прямоугольный, то есть спектр ВКФ приблизительно представляет собой обратное преобразование Фурье от усечённого спектра функции-окна. Отсюда и боковые лепестки в виду эффекта Гиббса. Уж где они там будут - не ведомо заранее, но чтобы их сделать маленькими следует отрезать хвостики как можно дальше, а для этого надо, чтобы ширина спектра функции-окна была как можно меньше удвоенной девиации частоты. Но чем меньше ширина спектра функции-окна, тем больше длительность функции-окна и тем шире главный лепесток ВКФ. Ну вот и он - мотылёк меж двух огней.

Кстати, для эффекта Гиббса вполне себе можно попробовать оценить расположение и величину боковых лепестков, как это делается обычно. Разумеется в отношении к исходной задаче это приближение будет тем точнее, чем больше база сигнала.

[Leardjiny]

profrotter в сообщении #1099848 писал(а):

Соответственно сам сигнал на выходе (по форме соответствующий ВКФ) является обратным преобразованием Фурье от произведения амплитудного спектра сигнала на входе и амплитудного спектра оконной функции.

Наверно обладаю недостаточным уровнем знаний, но с этого момента с трудом понимаю объяснение.

[profrotter]

Согласованный фильтр - это линейная цепь. Спектр сигнала на выходе линейной цепи можно найти как произведение спектров сигнала на входе и комплексной частотной характеристики цепи. Комплексная частотная характеристика цепи является преобразованием Фурье от импульсной характеристики. Импульсная же характеристика согласованного фильтра по форме совпадает с опорным сигналом, который ЛЧМ сигнал, умноженный на функцию-окно.

[Leardjiny]

Ну да, это вроде понятно (просто там во фразе было произведение амплитудного спектра сигнала на входе и амплитудного спектра оконной функции. Мне кажется должна упоминаться еще опорная функция, на которую как раз и домножается оконная) .
Сам переход от вычисления ВКФ через спектры к объяснению боковых лепестков не совсем ясен. И причастность эффекта Гиббса.

Т.е. то что от амплитудной модуляции на границах ступеньки в спектре ЛЧМ сигнала (как раз там где проявляется эффект Гиббса) зависит амплитуда этих самых боковых лепестков я заметил. Это отмечается и в книге, этим же обосновано различие симметрично-расположенных лепестков по амплитуде.

[profrotter]

ЛЧМ сигнал $s_1(t)=v(t)\cos(\omega_0 t+\varphi(t))$, сигнал с весом $s_2(t)=w(t)\cos(\omega_0 t+\varphi(t))$. Спектр комплексной огибающей (я всю картину перебрасываю в окрестность нуля, пытаясь избежать громоздкости)прямоугольного ЛЧМ сигнала $S_1(\omega)\approx v(k\omega)e^{j\varphi(\omega)}$, где $v(k\omega)$ - определённым образом масштабированная прямоугольная функция. Спектр комплексной огибающей ЛЧМ сигнала умноженного на весовую функцию $S_2(\omega)\approx w(k\omega)e^{j\varphi(\omega)}$, где $w(k\omega)$ - масштабированная весовая функция. Масштабирование примерно такое, что интервал, величиной длительности импульса во временной области соответствует интервалу в удвоенную частоту девиации в частотной области. ВКФ:

$$R(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S_1(\omega)S_2^{*}(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}v(k\omega)w(k\omega)e^{j\omega\tau}d\omega\approx \int\limits_{-\frac{\omega_d}{2}}^{+\frac{\omega_d}{2}}w(k\omega)e^{j\omega\tau}d\omega $$

Это преобразование Фурье усечённой (или не усечённой - по ситуации) оконной функции.

Это я там ошибся и ерунду написал. Не надо эффекта Гиббса никакого. ВКФ (здесь по комплексным огибающим) тогда по форме приблизительно представляет собой преобразование Фурье оконной функции. Чем больше база сигнала, тем это вернее, поскольку на самом деле амплитудный спектр ЛЧМ сигнала с прямоугольной огибающей такой некрасивый, пульсирующий около прямоугольного вида, то есть может здорово отличаться от $v(k\omega)$.

-- Вт фев 16, 2016 14:42:55 --

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #1099848 писал(а):

Теперь спектр сигнала на выходе представляет собой произведение амплитудного спектра сигнала на входе и амплитудного спектра оконной функции. Соответственно сам сигнал на выходе (по форме соответствующий ВКФ) является обратным преобразованием Фурье от произведения амплитудного спектра сигнала на входе и амплитудного спектра оконной функции. Амплитудный спектр сигнала на входе при больших девиациях приблизительно прямоугольный, то есть спектр ВКФ приблизительно представляет собой обратное преобразование Фурье от усечённого спектра функции-окна. Отсюда и боковые лепестки в виду эффекта Гиббса. Уж где они там будут - не ведомо заранее, но чтобы их сделать маленькими следует отрезать хвостики как можно дальше, а для этого надо, чтобы ширина спектра функции-окна была как можно меньше удвоенной девиации частоты. Но чем меньше ширина спектра функции-окна, тем больше длительность функции-окна и тем шире главный лепесток ВКФ. Ну вот и он - мотылёк меж двух огней.

Это следует читать так:
Теперь спектр сигнала на выходе представляет собой произведение огибающей сигнала на входе и оконной функции. Соответственно сам сигнал на выходе (по форме соответствующий ВКФ) является обратным преобразованием Фурье от произведения огибающей сигнала на входе и оконной функции. Амплитудный спектр сигнала на входе при больших девиациях приблизительно прямоугольный, то есть спектр ВКФ приблизительно представляет собой обратное преобразование Фурье от усечённого спектра функции-окна. Отсюда и боковые лепестки в виду эффекта Гиббса. Уж где они там будут - не ведомо заранее, но чтобы их сделать маленькими следует отрезать хвостики как можно дальше, а для этого надо, чтобы ширина спектра функции-окна была как можно меньше удвоенной девиации частоты. Но чем меньше ширина спектра функции-окна, тем больше длительность функции-окна и тем шире главный лепесток ВКФ. Ну вот и он - мотылёк меж двух огней.

Если я нигде не ошибся на этот раз, то корень зла в виде боковых лепестков, видимо, в отличии амплитудного спектра ЛЧМ сигнала от прямоугольного, то есть то, что мы считаем за $v(k\omega)$, развивая идею управления корреляционной функцией сигнала, вовсе не она, а, например такая функция:

Вложение:

Комментарий к файлу: Амплитудный спектр прямоугольного ЛЧМ сигнала

1.jpg [ 207.59 Кб | Просмотров: 0 ]

[Leardjiny]

Ну да, вроде как боковые как раз из за такой формы ЛЧМ и вылазят. И без веса они будут -13дБ где-то. А вес нужен чтобы их подавить по идее.
Просто интересно, почему при применении веса боковые лепестки превращаются в два таких больших боковых лепестка.

[profrotter]

Ну какую тут ещё можно математику развить? В "прямоугольном приближении" вполне подойдут известные колоколообразные окна. А так весовую функцию следует выбирать таким образом, чтобы преобразование Фурье от произведения амплитудного спектра ЛЧМ сигнала и оконной функции обладало желательными характеристиками. И окно это вовсе не обязано радовать глаз плавным видом.

Хотя можно продолжить. Здесь под $v'(k\omega)$ понимается настоящий амплитудный спектр:

$$R(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}v'(k\omega)w(k\omega)e^{j\omega\tau}d\omega=2\pi\int\limits_{-\infty}^{+\infty}V'(at)W(a(t-\tau))dt$$

Функция $V'(at)$ что вроде синка окружённого пульсациями. Ну дальше непонятно что ещё можно вытянуть...

[Leardjiny]

Не, это все понятно, к выбору веса вопросов нету, "колоколообразные" окна вполне подходят.

Меня интересовало как раз именно обоснование наличия и формы этих боковых лепестков. Т.е. почему они не такие же узкие и многочисленные как в случае ВКФ без веса. А их становится два больших, занимающих почти всю область сигнала, ну и несколько узких вблизи центрального пика, теряющихся на фоне больших.