Оценка количества действительных корней системы нелинейных у

[Lenar0809]

Здравствуйте! Прошу помощи и совета.
Есть система полиномиальных уравнений следующего типа:
$\alpha_{00}+\alpha_{01}y+\alpha_{02}z+\alpha_{03}yz-\alpha_{04}l-\alpha_{05}ly-\alpha_{06}lz-\alpha_{07}lyz=0$
$\alpha_{10}+\alpha_{11}x+\alpha_{12}z+\alpha_{13}xz-\alpha_{14}l-\alpha_{15}lx-\alpha_{16}lz-\alpha_{17}lxz=0$
$\alpha_{20}+\alpha_{21}x+\alpha_{22}y+\alpha_{23}xy-\alpha_{24}l-\alpha_{25}lx-\alpha_{26}ly-\alpha_{27}lxy=0$
$\alpha_{30}+\alpha_{31}x+\alpha_{32}y+\alpha_{33}z-\alpha_{34}xy-\alpha_{35}yz-\alpha_{36}xz-\alpha_{37}xyz=0$
где $x,y,z,l$ - переменные, $\alpha_{ij}$ - коэффициенты при соответствующих мономах.
Необходимо оценить количество корней системы.
Можно ли использовать для этого теорему Бернштейна, то есть использовать формулу для количества корней: $N=n!V(\Delta1,...,\Delta2)?
где $n$ - количество уравнений (в нашем случае 4), $V(\Delta1,...,\Delta2)$ - смешанный объём многогранников по Минковскому.
Если да, то очевидно, что $n! = 24$. А вот как определяется смешанный объём многогранников по Минковскому я никак не могу найти.
Спасибо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihiv]

В вашей системе легко исключается одно из неизвестных, и все сводится к системе трех полиномиальных уравнений с тремя неизвестными. Исключим , например, $l$. Для этого выразим $l$ из первого уравнения и подставим во второе и третье. К полученным двум уравнениям присоединим последнее уравнение исходной системы.

[DeBill]

Lenar0809

Lenar0809 в сообщении #1097821 писал(а):

Можно ли использовать для этого теорему Бернштейна,

Нужно! Только надо иметь ввиду, что формула эта дает: количество ВСЕХ корней (включая комплексные), с учетом кратности (ну да бог с ней, с кратностью - ведь Вам, видимо, нужна оценка сверху). И: есть исключения - кол-во корней мобыть бесконечным. Так что ответ, который мы сейчас получим, будет верным "как правило"...
Про смешанный объем - необходимый минимум есть в википедии.
Надо еще пару слов о терминологии:
1. Многогранник Ньютона строится так: берем моном нашего многочлена, забиваем на его коэффициент, а смотрим токо на показатели
(условимся о порядке следования переменных $x,y,z,l$. Тогда, например, моному $7x^2\cdot z^5\cdot l^3$ соответствует точка $(2,0,5,3)$. У всех полученных таким образом точек берем выпуклую оболочку. Например, для Вашего четвертого уравнения получим 8 точек. Они -вершины единичного куба (в четырехмерном пространстве с координатами $(i,j,k,m)$. Их выпуклая оболочка $\Delta_4$ - трехмерная грань этого куба, заданная уравнением $m=0$.
2. Сумма тел (и их линейные комбинации) вычисляются поточечно. Например, $a\cdot \Delta_1 +d\cdot\Delta_4$ состоит из всех точек $(i,j,k,m)$, таких, что $0\leqslant i \leqslant d, 0\leqslant j\leqslant a+d,0\leqslant k \leqslant a+d,0 \leqslant m \leqslant a$
Упражнение: Найдите комбинацию $a\cdot \Delta_1 +b\cdot\Delta_2+c\cdot\Delta_3 +d\cdot\Delta_4$ и ее объем
3. Коэффициент при $abcd$ и есть то что Вам надо - число решений системы.
4. Да сделайте то же в любой размерности! (Подсказка: в классической задаче "сколько способов расставить ладьи на доске так, чтобы они не били друг друга, и не стояли на главной диагонали, ответ - дурной (в виде суммы со знаками и факториалами - и не упрощабелен)
Пример: к-т при $abc$ в $(b+c)(a+c)(a+b)$ равен 2. А у Вас -9?

[Lenar0809]

Извините, я не понял, а $a,b,c,d$ - это что за коэффициенты?

[DeBill]

Lenar0809
Из упражнения. Посмотрите определение смешанного объема в вики.
Да, в п.4 -неточность: вместо

DeBill в сообщении #1097936 писал(а):

ладьи на доске

надо "$n$ ладей на доске $n$ на $n$"

[Lenar0809]

Хорошо, спасибо, понятно. А всё таки, возможно ли определить количество именно действительных некратных корней? Я прочитал, множество литературы: Хованского, Аржанцева и т.д. Но про это ничего не нашёл или, может быть, не понял.

[DeBill]

Lenar0809

Lenar0809 в сообщении #1098043 писал(а):

количество именно действительных

В общем случае - многомерном - все плохо, и универсальных методов, годных на все случаи жизни - нет.
А в одномерном - есть. Посмотрите ряды Штурма.
Так что для вашей конкретной задачи не так уж все плохо. Именно, мы уже обнаружили, что корней не боле 9 (да?).
Можно попробовать действовать так, как предложил mihiv. Только вместо

mihiv в сообщении #1097931 писал(а):

присоединим последнее уравнение

из этого третьего выразим $z$; подставим. Получим (видимо), систему двух уравнений третьей степени (кол-во ее решений не боле 9, что согласуется с нами). Рассмотрим РЕЗУЛЬТАНТ этой системы. Получим уравнение 9-й степени. Исследуем его по Штурму. И - все....

[Lenar0809]

Спасибо. И ещё. Не могли бы вы подсказать литературу, где можно почитать про смешанный объём тел, сумму по Минковскому и т.д.

[Lenar0809]

И всё таки, я не понимаю, откуда здесь берутся коэффициенты $a,b,c,d$?

[DeBill]

Lenar0809
1. Литература: посмотрите- может, там есть?
Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
2. Откуда?
Вы таки не посмотрели определения...
а) Надо научиться складывать фигуры. Как? Поточечно: $A+B$ состоит из сумм $a+b$ точек множеств $A$ и $B$ (здесь $A,...$ множество в линейном пространстве). (Пока этот барьер не взят, дальше можно не читать). Попробуйте - на плоскости - сложить квадратик с отрезком, два отрезка, два прямоугольника (все - параллельно осям). В трех-четырех -мерных пространствах складывать - тяжелее. Но есть факт: сумма выпуклых оболочек (точек) равна выпуклой оболочке сумм этих точек.
б) научились складывать многогранники (пусть все - выпуклое). А можно их еще умножать на числа -аналогично.
Теперь наше пространство многогранников - линейное (почти...)
в) Когда то Вам рассказывали про билинейные (пусть - симметричные) и квадратичные формы, и их взаимосвязь.
Аналогичный вопрос можно рассмотреть и в полилинейном случае. Тогда: $n$-мерный объем - $n$- форма; смешанный объем - соответствующая ей полилинейная форма. Но как - считать?
г) Это легко понять на следующей простой задаче: пусть калькулятор умеет складывать-вычитать числа , и возводить в квадрат. Как найти (удвоенное) произведение двух чисел?
Ответ: $2ab= (a+b)^2 -a^2 -b^2$. А для трех чисел и возведения в куб?
Ответ $6abc = (a+b+c)^3 - (a+b)^3- (a+c)^3 -(b+c)^3 +a^3+b^3 +c^3$
А для четырех? ....Ну, совсем непросто уже.
д) Вот то, что стоит в левой части, и есть смешанный объем (фигур $a,b,...$), да еще и с нужным коэф-том.
е)В Вики предлагают - более эффективный в многомерном случае - способ. Надо рассмотреть линейную комбинацию четырех фигур$A,B,C,D$ ($n$=4) с переменными к-тами $a,b,c,d$. Найдем ее объем. Он есть многочлен от $a,b,c,d$ . Коэф-т при $abcd$ и есть смешанный объем фигур.

-- 10.02.2016, 15:12 --

Lenar0809 в сообщении #1098346 писал(а):

И всё таки, я не понимаю, откуда здесь берутся коэффициенты $a,b,c,d$?

Т.е., если коротко: -из определения

[Lenar0809]

Определения я пересмотрел все, которые можно И фигуры складывать вроде как тоже научился. При сложении двух отрезков- получается квадрат, квадрата и отрезка - параллелепипед и т.д. Просто я не математик и мне это трудновато даётся . Ну вот накачал литературы, буду читать.

[DeBill]

Lenar0809 в сообщении #1098502 писал(а):

Ну вот накачал литературы, буду читать.

Но фишка в том, что (если Вы не собираетесь штурмовать случаи размерности выше 4)
это (теорема Бернштейна и смешанные объемы) все Вам и не надо - разве что так, для общего развития. Потому что - для случая 4 - в посте mihiv и моем указан совсем кустарный способ борьбы с вашей системой. Он не проходит в общем случае (кажется), но зато в вашем позволяет (может быть) разобраться именно с действительными корнями! (Про результанты есть, например, в книжке Ван дер Вардена "Алгебра". Про ряды Штурма - не знаю, смотрите в Вики)

--

[Lenar0809]

В том-то и дело, что приведённая система из 4 уравнений, это только часть общей задачи, так, чтоб попытаться понять на её примере. А в целом стоит задача оптимизации полиномиальной функции 22 переменных с ограничениями. Для этого строится функция Лагранжа, определяются производные, приравниваются нулю и т.д. И я пытаюсь хоть примерно оценить, сколько у функции Лагранжа может быть стационарных точек.

-- 10.02.2016, 22:49 --

И переменные в получающейся системе не выражаются друг через друга и система не упрощается.