Пятая аксиома Пеано и Ларина

[Someone]

Unx в сообщении #1096443 писал(а):

Вообще в формальных теориях как бы нет отношений

Вообще, как бы есть, если нужны. Отношение "$=$", например. В частности, в арифметике, кроме равенства, вполне можно ввести неравенства, не расширяя множество теорем (консервативное расширение языка).

Так Вы в § 38 книги Клини нашли отношение "$\in$"?

Unx в сообщении #1096443 писал(а):

В какой арифметике? Уточните.

Обычно под формальной арифметикой понимают арифметику Пеано первого порядка. Именно она описана в книге Клини.

[Unx]

Someone в сообщении #1096448 писал(а):

Вообще, как бы есть, если нужны. Отношение "$=$", например.

В формальных теориях типа арифметик нет средств для описания отношений. Что за отношение "$=$"? Что это такое? Вариантов немного. Либо вы присоединяете к вашей теории теорию множеств, либо отдельно решаете вопрос, как интерпретировать используемые символы отношений.

Someone в сообщении #1096448 писал(а):

Так Вы в § 38 книги Клини нашли отношение "$\in$"?

Я вот не понимаю, зачем мне там его искать? Аксиомы 1-5 приведены в самом начале темы. Вы как бы намекаете, что 1 не формула вовсе, и тогда 1-5 не может служить системой аксиом? Это надо сразу формулировать четко и недвусмысленно, чтобы мне не пришлось гадать.

Someone в сообщении #1096448 писал(а):

Обычно под формальной арифметикой понимают арифметику Пеано первого порядка.

https://en.wikipedia.org/wiki/Category: ... arithmetic

Someone в сообщении #1096448 писал(а):

Именно она описана в книге Клини.

Хорошо.

[Xaositect]

Unx в сообщении #1096456 писал(а):

Я вот не понимаю, с чего мне там его искать? Аксиомы 1-5 приведены в самом начале темы.

А откуда Вы эти аксиомы взяли? Они похожи на то, что у самого Пеано было написано, но с тех пор формальная логика несколько продвинулась. Сейчас этот список можно воспринимать как определение $\mathbb{N}$ в рамках какой-то теории множеств.

[Unx]

Я уже приводил некоторые ссылки: https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... ano_axioms
Ларин объясняет словами, но по сути совпадает всё, кроме аксиомы индукции.
У Нечаева в книге Числовые системы $\mathbb N$ строится очень странно, например нет функции следования, а вместо нее прибавляется единица справа. Но самая первая его аксиома практически является объединением 1 и 3 (см. начало темы): $1 \in N \ \land \ \forall (a,b \in N) \ 1 \notin a+b$
Как её интерпретировать? Учебник Нечаева 1975, значит относительно современный.

Поймите, что я не с этих вопросов начинал обсуждение. Но уж если мы с arseniiv затронули понятие модели, формальной теории, то необходимо разобраться ставить ли квантор в формуле $0 \in \mathbb N$.

[arseniiv]

Unx в сообщении #1096390 писал(а):

Что значит наименьшее и наибольшее множество?

В данном случае это пересечение всех множеств, обладающих нужным свойством. Оно получится тоже удовлетворяющим этому свойству и при этом включенным во все остальные такие, а также, как побочный эффект, имеющим наименьшую возможную мощность, и из этих двух вещей берётся смысл сего названия. В любом случае, я дал явное определение $i[\mathcal O]$, так что можно даже при непонимании, почему написано «наименьшее», разобраться с его математической сущностью.

Unx в сообщении #1096390 писал(а):

то вы обозначили через $\max_{i} h(e_i)$?

То же, что обычно обозначают: $\max_{i=1}^n h(e_i) \equiv \max\{h(e_i) : 1\leqslant i\leqslant n\}$. Пределы изменения $i$ прозрачны из контекста. Знаете, может быть, не стоит что-то пытаться разобрать в теме, не освоив соответствующих prerequisites? Это ведь общепринятое обозначение (пусть меня поправят).

-- Ср фев 03, 2016 21:16:12 --

(Оффтоп)

Unx в сообщении #1096471 писал(а):

Но уж если мы с arseniiv затронули понятие модели, формальной теории, то необходимо разобраться ставить ли квантор в формуле $0 \in \mathbb N$.

В очередной раз повторю своё невежливое утверждение: выкиньте их на сейчас. Разберитесь с теорией первого порядка. Раз смысл этим формулам пока придаётся со скрипом, лучше начать с простого.

Надеюсь, я не слишком вреден.

[Someone]

Unx в сообщении #1096456 писал(а):

В формальных теориях типа арифметик нет средств для описания отношений.

Ерунду говорите. Причём тут теория множеств? Абсолютно ни при чём.
Во-первых, могут быть отношения, которые изначально есть в сигнатуре теории. Отношение равенства обычно есть в любой теории, и его часто включают в исчисление предикатов, чтобы не формулировать аксиомы равенства заново в каждой формальной теории. Содержательно равенство $a=b$ означает, что $a$ и $b$ — "один и тот же объект" в том смысле, что во всех формулах можно заменять один из них другим без изменения значения истинности формулы.
Во-вторых, отношения можно определять в самой теории. Например, в арифметике Пеано неравенство $x<y$ означает, что $\exists z(x+z=y)$, если мы не считаем $0$ натуральным числом; если же натуральный ряд начинается с $0$, то $x<y$ означает, что $\exists z(x+z'=y)$, где штрих означает следующее натуральное число.

Unx в сообщении #1096456 писал(а):

Что за отношение "$=$"? Что это такое?

Ну надо же! Человек смотрит на аксиомы арифметики и в упор не видит в них символа "$=$".

Unx в сообщении #1096456 писал(а):

Я вот не понимаю, зачем мне там его искать? Аксиомы 1-5 приведены в самом начале темы.

Я говорил об арифметике первого порядка. У Вас же выписаны аксиомы теории второго порядка.

Unx в сообщении #1096456 писал(а):

Вы как бы намекаете, что 1 не формула вовсе, и тогда 1-5 не может служить системой аксиом?

Видите ли, в теории второго порядка так написать можно, но даже в этом случае я в этом смысла не вижу. У Нечаева, на которого Вы ссылаетесь, есть аксиома $1\in N$ (сформулирована как часть аксиомы $N_{\mathrm I}$) и сказано, что отсюда следует, что $N\neq\varnothing$. Я не возражаю, но смысла в этом также не вижу. Поясню подробнее.

Здесь также речь идёт о теории второго порядка. В арифметике второго порядка есть переменные двух типов. Один тип (строчные буквы) предназначен для обозначения натуральных чисел (или других объектов, если речь идёт не об арифметике), другой (прописные буквы) — для обозначения множеств натуральных чисел (или свойств, или предикатов; записывать высказывание "натуральное число $x$ обладает свойством $M$" в виде $x\in M$, или в виде $M(x)$, или ещё как-то — дело вкуса и удобства). Поскольку буква $x$ не может обозначать ничего, кроме натуральных чисел, писать $x\in N$ совершенно ни к чему. Поскольку символ (константа) $1$ далее упоминается в аксиомах для натуральных чисел, он обозначает натуральное число, поэтому $N$ не пусто. Но это рассуждение совершенно излишнее, поскольку теория предикатов обычно требует, чтобы предметная область была непустой, поэтому $N\neq\varnothing$ уже в силу этого требования (Клини, § 17). Теория предикатов с пустой предметной областью рассматривалась, но ничего полезного там не обнаружилось, поэтому, во избежание ненужных проблем, лучше этот случай исключить заранее.

Unx в сообщении #1096471 писал(а):

нет функции следования, а вместо нее прибавляется единица справа

Арифметику можно формализовать многими разными способами. Также существует много формальных теорий, в названии которых есть слово "арифметика".

Unx в сообщении #1096471 писал(а):

необходимо разобраться ставить ли квантор в формуле $0 \in \mathbb N$

Куда его тут воткнуть? Тут ни одной переменной нет.
Конечно, формально мы имеем право написать эту аксиому в виде $\forall x\exists y\forall z(0\in\mathbb N)$, после чего кое-кто будет смотреть на нас с подозрением.

arseniiv в сообщении #1096524 писал(а):

Знаете, может быть, не стоит что-то пытаться разобрать в теме, не освоив соответствующих prerequisites?

[Unx]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1096556 писал(а):

могут быть отношения, которые изначально есть в сигнатуре теории.

Сигнатура - это множество нелогических символов. В ней не может быть отношений, только символы отношений.

Someone в сообщении #1096556 писал(а):

Человек смотрит на аксиомы арифметики и в упор не видит в них символа "$=$".

Вы сказали отношение "$=$". Это существенно.

Someone в сообщении #1096556 писал(а):

Отношение равенства обычно есть в любой теории, и его часто включают в исчисление предикатов, чтобы не формулировать аксиомы равенства заново в каждой формальной теории.

Да, действительно существуют аксиомы равенства (их же пять штук?) вне контекста теории множеств. И никто не запрещает для удобства включить их в исчисление предикатов. Я до недавних пор этого не знал, пока не прочитал об этом. Благодарю за подсказку.

Someone в сообщении #1096556 писал(а):

Куда его тут воткнуть? Тут ни одной переменной нет.

Получается, что две константы связаны отношением "$\in$" ? Тогда квантор не нужен, но при этом такое ощущение, будто теряется смысл. Зачем утверждать что-то о константах?

Someone в сообщении #1096556 писал(а):

У Вас же выписаны аксиомы теории второго порядка.

А где у меня переменные второго рода? Если они свободные, то по совету arseniiv их придется закрыть квантором всеобщности.

arseniiv в сообщении #1096524 писал(а):

То же, что обычно обозначают: $\max_{i=1}^n h(e_i) \equiv \max\{h(e_i) : 1\leqslant i\leqslant n\}$. Пределы изменения $i$ прозрачны из контекста.

То есть это наибольшее число среди значений $h(e_1)$, $h(e_2)$, ...,$h(e_n)$? Да?

arseniiv в сообщении #1091042 писал(а):

$h(f(e_1,\ldots,e_n)) = 1 + \max_{i} h(e_i)$

Нет, так не пойдет. Давайте основательно разберемся. Пусть $n=1$, тогда $h(f(e_1)) = 1 + h(e_1)$. В чем смысл этого равенства? Здесь $e_1$ - это любая строка, а не только константа? Тогда зачем фокусы с максимумом и несколькими аргументами?

[Someone]

(arseniiv)

Я думаю, что дискуссию с Unx действительно нужно полностью прекратить, ввиду его совершенно патологического и агрессивного невежества. Конечно, можно ещё предположить, что это тролль, прикидывающийся идиотом, но в таком случае дискуссию тоже нужно прекратить.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Угу. Пользы так пока и не видно.

Unx в сообщении #1096745 писал(а):

То есть это наибольшее число среди значений $h(e_1)$, $h(e_2)$, ...,$h(e_n)$? Да?

Да.

Unx в сообщении #1096745 писал(а):

Нет, так не пойдет. Давайте основательно разберемся. Пусть $n=1$, тогда $h(f(e_1)) = 1 + h(e_1)$. В чем смысл этого равенства? Здесь $e_1$ - это любая строка, а не только константа? Тогда зачем фокусы с максимумом и несколькими аргументами?

Да, любая из $i[\mathcal O]$. $h(x)$ — это «глубина» $x$. Эта чисто техническая вещь нужна, чтобы связать структурную индукцию с натуральночисленной (как показано где-то там выше).

Всё. Ссылки есть, определения есть, голова же и время на переваривание предоставлены форумом быть не могут. Удачного пути.

[Unx]

(Оффтоп)

Someone, форум разве не служит для ликвидации невежества?

Someone в сообщении #1096753 писал(а):

прикидывающийся идиотом

Выбирайте выражения. Непонимание и трудности в учебе не делают меня троллем или идиотом.

[Deggial]

Закрыто ввиду бесперспективности обсуждения