Пятая аксиома Пеано и Ларина

[Someone]

Someone в сообщении #1089084 писал(а):

формула $Sx=x\cup\{x\}$ определяет эту функцию для всего класса множеств

Кстати, Unx, Вас ведь не удивляет, что операции объединения и пересечения определены для всех множеств, а это ведь тоже функции (двухместные).

[Unx]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1089084 писал(а):

Очень просто: формула $Sx=x\cup\{x\}$ определяет эту функцию для всего класса множеств.

Мне неизвестно, что такое класс. Подойдет ли такое объяснение:

Цитата:

Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком.

Если да, то это очень похоже на уловку. Вы рассматриваете формулу $Sx=x\cup\{x\}$ отдельно от приведенного контекста, наделяете ее совершенно новым смыслом. Тогда точно так же формула $f(n)=n \cdot(n+1) обозначает не только числовую последовательность, но и квадратичную функцию (параболу), и даже полином Жегалкина. Поскольку свойства сложения и умножения сохраняются, значит можно рассмотреть целую совокупность множеств, на каждом из которых будто бы задана эта "функция".
Но если не передергивать, а вернуться к определениям, то функция $Sx=x\cup\{x\}$ у меня определена только для натуральных $x$ (в том смысле, в каком натуральные числа понимаются выше), то есть задана её область определения.

Someone в сообщении #1089105 писал(а):

Кстати, Unx, Вас ведь не удивляет, что операции объединения и пересечения определены для всех множеств, а это ведь тоже функции (двухместные).

Ну да, а "быть подмножеством" это в некотором роде двуместное отношение. Вот только без подмножеств вы не сможете сформулировать само понятие отношения. Операции объединения и пересечения либо вводятся на некотором универсуме, либо не вовсе не рассматриваются как двуместные операции. Это ясно и это объяснимо, потому что иначе в теории возникает порочный круг.
Я задавал похожий вопрос насчет логических операций. Это не совсем то, о чем вы спросили, но это близко:
post1084040.html#p1084040

arseniiv в сообщении #1088972 писал(а):

В интерпретации с такими свойствами (если на остальных элементах интерпретация $S$ совпадает со стандартной моделью) аксиома индукции c $\varphi = (x\ne-1\wedge x\ne-2)$ оказывается ложной, так что это не модель.

Я плохо разбираюсь в математике и логике, напишите пожалуйста обо всем подробно. Я не понимаю, что значит формула $\varphi = (x\ne-1\wedge x\ne-2)$. Если аксиома индукции сформулирована, как в начале темы в виде $0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N \subseteq M$, то я вижу, что она выполняется.
Во-первых действительно $\forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M)$, потому что множество $M$ оказывается замкнутым относительно $S$. Во-вторых ноль действительно входит в $M$ как элемент. И конечно же $M$ включает в себя полностью множество натуральных чисел (оно специально так было построено). Значит вся аксиома $0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N \subseteq M$ тоже выполняется. Пожалуйста объясните, что у меня здесь не так.

[Someone]

Unx в сообщении #1089378 писал(а):

Мне неизвестно, что такое класс.

Unx в сообщении #1089378 писал(а):

Я плохо разбираюсь в математике и логике, напишите пожалуйста обо всем подробно.

Вам вообще мало что известно. А если Вы что-то всё-таки прочли, то многое из прочитанного явно не поняли.

И мы ждём от Вас определение модели формальной теории.

Unx в сообщении #1089378 писал(а):

Тогда точно так же формула $f(n)=n \cdot(n+1)$ обозначает не только числовую последовательность, но и квадратичную функцию (параболу), и даже полином Жегалкина.

А почему Вас удивляет, что в разных контекстах некоторая формула может иметь разное значение?

Unx в сообщении #1089378 писал(а):

Если да, то это очень похоже на уловку.

Никаких уловок. В теории множеств ZFC первичным понятием является множество, однако возможно консервативное расширение языка, позволяющее говорить о классах — совокупностях, не являющихся множествами. Здесь всё законно, и если Вы с этим не согласны, Вы должны предъявить доказательство того, что такое расширение приводит к противоречию. В теории множеств NBG (Неймана — Бернайса — Гёделя) основным понятием является класс, а множество является производным понятием. Теория NBG немного сильнее, чем ZFC, но, вообще говоря, разница между ними небольшая. Многие математические теории вообще постоянно имеют дело с совокупностями, не являющимися множествами. Например, в алгебре такие совокупности появляются весьма естественно (какие-нибудь многообразия групп, например). В теории категорий может не быть ни множеств, ни классов, но в математике постоянно возникают категории, в которых совокупность объектов является классом и не является множеством.

Вообще, либо давайте переносить тему в дискуссионный раздел (правда, подозреваю, что туда тема не попадёт, а сразу пойдёт в Пургаторий ввиду её чрезвычайной безграмотности), либо прекращайте нести чушь и учитесь.

[arseniiv]

Да уж. Unx, если вы и в следующем сообщении проигнорируете нашу просьбу, мне придётся больше ничего здесь не писать даже по вопросам, которые раньше себе позволял считать боковыми и способными при получении на них ответа прояснить ситуацию малой кровью (видимо, нет). В этот раз, ладно уж, удалять набранное не стану.
______________

Unx в сообщении #1089378 писал(а):

Я плохо разбираюсь в математике и логике

Потому вам, наверное, не раз и предлагали разобраться с основами? Ну не переписывать же в тему начало учебника?

Unx в сообщении #1089378 писал(а):

Я не понимаю, что значит формула $\varphi = (x\ne-1\wedge x\ne-2)$.

«$x$ не равен $-1$ и $x$ не равен $-2$». $\varphi$ — это просто название формулы, ровно так же она была обозначена в схеме аксиом индукции.

Unx в сообщении #1089378 писал(а):

Если аксиома индукции сформулирована, как в начале темы в виде $0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N \subseteq M$, то я вижу, что она выполняется.
Во-первых действительно $\forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M)$, потому что множество $M$ оказывается замкнутым относительно $S$. Во-вторых ноль действительно входит в $M$ как элемент. И конечно же $M$ включает в себя полностью множество натуральных чисел (оно специально так было построено). Значит вся аксиома $0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N \subseteq M$ тоже выполняется. Пожалуйста объясните, что у меня здесь не так.

Если настаивать именно на этой формулировке и чрезмерно усложнять для понимания все детали, нужно выбирать такое $M$, что $x\in M\Leftrightarrow\varphi$, т. е. множество всех элементов, не являющихся $-1$ и $-2$. База индукции действительно выполняется, и переход выполняется, а вот вывод неверен, потому что в $\mathbb N$ у нас есть оба эти элемента, а в $M$ их нету.

Зуб даю на отсечение, это выглядит как непонятно что. Ну, стоило разобраться с обычной арифметикой первого порядка. Она в этой теме уже аж в двух ипостасях (с предикатным символов следования, если это вообще кому-то нужно). Если вы хотите разобраться, выкиньте пока этот вариант с множествами. Уже видно, что он для вас (хотя я бы экстраполировал вообще на всех) вредит пониманию с самого начала и разберитесь с нормальным изложением, притом теории первого порядка и ни в коем случае не второго. Остальное потом.

[Unx]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1089396 писал(а):

Если настаивать именно на этой формулировке и чрезмерно усложнять для понимания все детали, нужно выбирать такое $M$, что $x\in M\Leftrightarrow\varphi$, т. е. множество всех элементов, не являющихся $-1$ и $-2$.

Ну тогда $M$ совпадает с $\mathbb{N}$ (если мы хотим истинное заключение), и выбирать здесь нечего. Почему надо выкинуть $-1$ и $-2$? В аксиомах нет такого требования.

I Структура - это тройка $\mathcal A=(A, sig, I)$, где имеется некоторое множество $A$, $\sigma$ - сигнатура, $I$ - интерпретационная функция.
Ia Сигнатура $sig$ структуры $\mathcal A$ - это четверка $(S_{func}, S_{rel}, S_c, ar)$, где:
1) $S_{func}$ - множество функциональных символов
2) $S_{rel}$ - множество символов для записи отношений или предикатов
3) $S_{c}$- набор обозначений для констант
4) Функция $ar: S_{func} \cup S_{rel} \to \mathbb{N}_0$. Проще говоря каждому функциональному и предикатному символу можно присвоить номер, обозначающий арность.

(Оффтоп)

Немаловажно, что мы еще не построили множество $\mathbb{N}_0$, но уже сразу используем его в определении $ar: S_{func} \cup S_{rel} \to \mathbb{N}_0$. То же самое касается любой нумерации. Это выглядит как очередной порочный круг в теории.

Либо сигнатура определяется как множество нелогических символов, что просто менее подробно.
Ib Интерпретационная функция:
1) каждому символу отношения ставит в соответствие отношение определенной арности из множества $A$
2) каждому функциональному символу ставит в соответствие функцию (операцию) определенной арности из множества $A$
3) набору констант - константы из множества $A$
То есть вроде бы получается, нестрого говоря, что $I$ отображает из сигнатуры в $A$.

Дальше начинается непонятное.
II Истинность. Для некоторого предложения $\phi$ пишем $\mathcal A \vDash \phi$, если $\mathcal A$ удовлетворяет $\phi$. В качестве примера приводится $\mathcal R \vDash \forall x \exists y(y \cdot y =x \lor y \cdot y =-x)$, в смысле что любое вещественное число либо само - квадрат, либо нужно взять его противоположный элемент, который будет квадратом.
Я ничего не понял. Что такое истинность? Каким способом установить истинность? Кроме того неясно, откуда взялся в примере символ дизъюнкции. Какой конкретный язык используется в записи предложений?

III Модель. Пусть $S$ - это набор предложений. Моделью множества $S$ называется структура $\mathcal M$ такая что $\mathcal M \vDash \sigma$ для любого $\sigma \in S$, причем имеет место равенство сигнатур $sig(\mathcal M)=sig(S)$.

(Оффтоп)

Видимо, если речь идет о конкретных теориях, имеется в виду не любая правильно построенная формула $\sigma$, которая не содержит свободного вхождения переменных. А только те формулы которые явно выписаны в виде аксиом. Они и образуют множество $S$.

Я ничего здесь не понимаю. Помогите понять.

[arseniiv]

Unx в сообщении #1090385 писал(а):

Почему надо выкинуть $-1$ и $-2$? В аксиомах нет такого требования.

Аксиом индукции не одна, их целое множество, получаемых подстановками в данный «шаблон формулы» — схему. В данном случае в схему $\varphi(0)\wedge\forall n(\varphi(n)\Rightarrow\varphi(Sn))\Rightarrow\forall n(\varphi(n))$ подставляются всевозможные формулы вместо $\varphi$, в которых какая-то одна и та же переменная заменяется на то, что написано в скобках.* Так что одна из аксиом индукции таки утверждает, что все натуральные числа не равны ни $-1$, ни $-2$, если верны база (ноль не является ни тем, ни этим) и переход (если число не является ни тем, ни этим, то и его последователь тоже не является ни тем, ни этим). А база и переход верны, так что получаем, что верно, в частности, $\varphi(-1)$, а это формула $-1\ne-1\wedge -1\ne-2$, ложная в любом языке с обычным образом понимаемым $=$. А раз из аксиомы выводится ложная в данной интерпретации формула, эта интерпретация не является моделью арифметики.

А множествами вы себе всё запутали.

* Более аккуратной записью схемы будет $\varphi[0/n]\wedge\forall n(\varphi\Rightarrow\varphi[Sn/n])\Rightarrow\forall n(\varphi)$, где $\varphi[t/x]$ — формула, получаемая (корректной) заменой всех вхождений переменной $x$ в $\varphi$ на терм $t$, но я не уверен, что в этой теме это даст что-то полезное.

Unx в сообщении #1090385 писал(а):

Немаловажно, что мы еще не построили множество $\mathbb{N}_0$, но уже сразу используем его в определении $ar: S_{func} \cup S_{rel} \to \mathbb{N}_0$. То же самое касается любой нумерации. Это выглядит как очередной порочный круг в теории.

Т. к. мы здесь пользуемся только конкретными вещами, арностей конечное число, и все интересующие нас о них факты мы можем перечислить рядом конечным числом утверждений. Не отвлекайтесь.

Unx в сообщении #1090385 писал(а):

То есть вроде бы получается, нестрого говоря, что $I$ отображает из сигнатуры в $A$.

Уж очень нестрого. Всё-таки лучше понимать по писаному: $I$ отображает сигнатуру в операции на $A$, отношения на $A$ и элементы $A$.

Unx в сообщении #1090385 писал(а):

Я ничего не понял. Что такое истинность? Каким способом установить истинность?

Действительно, определение истинности в интерпретации вы упустили. Оно должно быть тоже, и его тут действительно сейчас нет.

-- Ср янв 13, 2016 20:25:27 --

(Для удобства поиска: там должна быть индукция по структуре формулы.)

[Someone]

Unx в сообщении #1090385 писал(а):

Немаловажно, что мы еще не построили множество $\mathbb{N}_0$, но уже сразу используем его в определении $ar: S_{func} \cup S_{rel} \to \mathbb{N}_0$. То же самое касается любой нумерации. Это выглядит как очередной порочный круг в теории.

Эти высказывания принадлежат не той теории, которую мы описываем, а метатеории. Мы ведь не можем ничего сказать, если у нас вообще нет никакого языка. Поэтому какой-то язык (теория) должен быть ещё до того, как мы начали определять формализацию интересующей нас теории. Этот исходный язык и называется метаязыком или метатеорией. Чаще всего в качестве метаязыка используется естественный язык, но можно использовать какую-нибудь достаточно богатую формализованную теорию, например, арифметику Пеано или одну из теорий множеств.

Unx в сообщении #1090385 писал(а):

Я ничего не понял. Что такое истинность? Каким способом установить истинность?

Хм. А вот здесь у Вас вопроса не было?

Unx в сообщении #1090385 писал(а):

Ну тогда $M$ совпадает с $\mathbb{N}$ (если мы хотим истинное заключение)

А есть ли у Вас проблемы с установлением истинности высказываний $2+2=3$ и $2+2=4$ (при стандартной интерпретации символов)?

Unx в сообщении #1090385 писал(а):

Кроме того неясно, откуда взялся в примере символ дизъюнкции. Какой конкретный язык используется в записи предложений?

По-моему, я уже об этом писал. Стандартно используется язык классического исчисления высказываний в качестве языка нулевого порядка и классического исчисления предикатов с равенством в качестве языка первого порядка, включая соответствующие аксиомы и правила вывода. Этот язык пополняется символами, синтаксическими правилами, аксиомами, специфическими для рассматриваемой теории.

[Unx]

arseniiv в сообщении #1090403 писал(а):

Действительно, определение истинности в интерпретации вы упустили. Оно должно быть тоже, и его тут действительно сейчас нет.
(Для удобства поиска: там должна быть индукция по структуре формулы.)

Посоветуйте мне учебник, где об этом чётко всё написано.

arseniiv в сообщении #1090403 писал(а):

Т. к. мы здесь пользуемся только конкретными вещами, арностей конечное число, и все интересующие нас о них факты мы можем перечислить рядом конечным числом утверждений. Не отвлекайтесь.

Это и называется финитизм (финитные методы Гильберта)?

Someone в сообщении #1090407 писал(а):

Стандартно используется язык классического исчисления высказываний в качестве языка нулевого порядка и классического исчисления предикатов с равенством в качестве языка первого порядка, включая соответствующие аксиомы и правила вывода. Этот язык пополняется символами, синтаксическими правилами, аксиомами, специфическими для рассматриваемой теории.

Спасибо. Кажется, он называется языком $L$? Или я путаю?

[arseniiv]

Unx в сообщении #1090408 писал(а):

Это и называется финитизм (финитные методы Гильберта)?

Чего не знаю, того не знаю. Вообще, если мы захотим рассматривать языки со сколь угодно большим числом символов или со сколь угодно большими арностями (или подобное), проще взять всё-таки $\mathbb N$ в метаязык.

(Оффтоп)

Unx в сообщении #1090408 писал(а):

Посоветуйте мне учебник, где об этом чётко всё написано.

Это вопрос больше к Someone или Xaositect, я при чтении книг особо не запомниаю, какая для чего могла бы пригодиться кому-то ещё.

[Unx]

arseniiv в сообщении #1090411 писал(а):

Это вопрос больше к Someone или Xaositect, я при чтении книг особо не запомниаю, какая для чего могла бы пригодиться кому-то ещё.

Тогда если это несложно, сформулируйте пожалуйста понятие истинности. Я просмотрел много литературы, но ничего не нашел.

[arseniiv]

Ну хорошо, гляньте для начала Манин. Доказуемое и недоказуемое, глава II, §2. Или с самого начала. Но на свой страх и риск, т. к. я уже написал, что не помню методические факты об особенностях изложения в книгах.

-- Ср янв 13, 2016 21:39:06 --

Unx в сообщении #1090412 писал(а):

Я просмотрел много литературы, но ничего не нашел.

Это выглядит крайне странно, т. к. где-то же вы нашли про интерпретацию и модель. Истинность там всегда рядом, ради неё вся игра и затевается.

[Xaositect]

Unx в сообщении #1090412 писал(а):

Тогда если это несложно, сформулируйте пожалуйста понятие истинности. Я просмотрел много литературы, но ничего не нашел.

Это несложно, но нудно. Смотрите, например, Верещагин, Шень "Языки и исчисления", параграф 3.2.

[Someone]

Unx в сообщении #1090408 писал(а):

Кажется, он называется языком $L$? Или я путаю?

Понятия не имею, что этим символом обозначается в той литературе, которую Вы читаете.
Кстати, что именно Вы читаете?

Unx в сообщении #1090412 писал(а):

Тогда если это несложно, сформулируйте пожалуйста понятие истинности. Я просмотрел много литературы, но ничего не нашел.

В классической логике истинность — это функция, отображающая множество формул языка (теории) в множество из двух элементов, которые обычно обозначаются словами "истина" и "ложь", или "true" и "false", или буквами "t" и "f", или цифрами "0" и "1" (жирный шрифт не обязателен). Могут встретиться и другие обозначения. Эта функция должна определённым образом согласовываться с логическими связками и правилами вывода.

[arseniiv]

(Оффтоп)

А, вечно я Верещагина с Шенем забываю, там же коротко и ясно, и $\TeX$.

[Unx]

Someone в сообщении #1090416 писал(а):

Кстати, что именно Вы читаете?

Я уже все подряд читаю.

arseniiv в сообщении #1090417 писал(а):

А, вечно я Верещагина с Шенем забываю, там же коротко и ясно, и $\TeX$.

Оценкой назовём отображение, которое ставит в соответствие каждой индивидной переменной некоторый элемент множества, являющегося носителем интерпретации.
Так написано в книге. Помогите понять, что значит термин индивидные переменные. И что здесь считать носителем интерпретации (может быть множество $A$ - носитель структуры)?