Что такое матрица плотности?

[Red_Herring]

amon в сообщении #1084614 писал(а):

не всякой классической наблюдаемой удается сопоставить самосопряженный оператор

А с какой стати угол (функция многозначная) является "классической" наблюдаемой? Я бы сказал, что косинус и синус его будут—и их можно проквантовать. А также угловую скорость.

[amon]

Red_Herring в сообщении #1084618 писал(а):

Я бы сказал, что косинус и синус его будут—и их можно проквантовать.

Не коммутируют они, заразы, поэтому непонятно какой угол считать правильным, от синуса или от косинуса. А часто именно угол (по модулю $2\pi$) нужен.

[g______d]

amon в сообщении #1084619 писал(а):

Не коммутируют они, заразы

Косинус и синус одного и того же угла?

[amon]

g______d в сообщении #1084620 писал(а):

Косинус и синус одного и того же угла?

Операторы косинуса и синуса. Это старая история, еще от Дирака тянется. Если интересно, могу ссылку на обзор в УФН поискать.

[Red_Herring]

Коммутируют они.

amon в сообщении #1084621 писал(а):

Это старая история, еще от Дирака тянется. Если интересно, могу ссылку на обзор в УФН поискать.

Да, пожалуйста.

[amon]

Держите!

[Munin]

g______d в сообщении #1084587 писал(а):

Но вопросы интерпретации лично мне не очень интересны и я их не отношу к КМ.

В таком духе вам попросту стоит перестать разговаривать в разделе форума "Физика". Звучит примерно как "вопросы жизни лично мне не очень интересны, и я их не отношу к биологии".

Причём, прошу не путать экспериментальную интерпретацию физической теории, такой как КМ, и пресловутые "интерпретации КМ", которые - совсем другое дело. Я веду речь исключительно о первой.

g______d в сообщении #1084587 писал(а):

Наличие прибора (видимо, классического) -- это внешнее обстоятельство.

Внешнее по отношению к математическому аппарату, но не к физике. Так что, повторяю, извольте всё-таки вести себя в соответствии с уставом здешнего монастыря.

g______d в сообщении #1084587 писал(а):

Ну и вообще: вы, по-видимому, утверждаете, что для физиков КМ является некоторым "чёрным ящиком", в котором значение имеют только показания приборов на выходе.

Нет, но такой взгляд на неё иногда оправдан. Например, если теоретик и экспериментатор поделили между собой роли, теоретик взял на себя все расчёты по эксперименту, а экспериментатор - только работает с приборами, то для экспериментатора это так.

g______d в сообщении #1084587 писал(а):

Но, опять же, в моём понимании КМ -- это математическая модель того, что происходит внутри ящика

Нет. КМ - это и внутренность ящика, и его внешняя часть. Как и любая физическая теория.
Это малозаметно, потому что в начальных учебниках на этом не акцентируется внимание (а в теоретических и в матфизике - просто выпадает из рассказа). Но это, на самом деле, то, что делает физику естественной наукой.

g______d в сообщении #1084587 писал(а):

И для уравнения Шрёдингера нет никакой разницы, является наблюдаемой тот или иной оператор, входящий в него, или не является.

Для математического уравнения типа уравнения Шрёдингера - да, не имеет. Для самого уравнения Шрёдингера, как описывающего реальность, - имеет.

Понимаете, можно решать уравнение $\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=F(\vec{r},\vec{r}\,')$ - и это будет просто дифур. А можно решать 2-й закон Ньютона, и это будет уравнение движения реальной материальной точки: яблока, или Земли, или ещё чего-нибудь. Хотя для математики разницы абсолютно нет.

g______d в сообщении #1084587 писал(а):

Если вы имели в виду зависимость состояния от времени

Нет, не только от времени. Я рассматриваю ансамбль всевозможных экспериментов. По ансамблю и переменная.

g______d в сообщении #1084587 писал(а):

На наличие или отсутствие прибора, позволяющего измерять этот оператор, забиваем, потому что от этого ничего не будет зависеть, пока мы находимся в рамках КМ (а не интерпретации).

Сколько угодно, только не в разделе "Физика", и не с терминами КМ, потому что они, извините, заняты.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1084627 писал(а):

Держите!

Даже если согласиться с с условиями, не "нажималось". Впрочем используя VPN удалось скачать английский.


Посмотрю когда будет время. Разумеется они вводят "однозначную" фазу и поскольку эта функция разрывная, то она может не квантоваться.

Я подумал о $\cos (\phi)$ и $\sin(\phi)$. Если $\phi$ это угол в $(x_1,x_2)$, или $(p_1,p_2)$, или $(x_1,p_2)$ то вообще никаких проблем нет, и даже с квантованием, т.к. это обычная функция от координат в подходящем представлении. Более интересно если $\phi$ это угол в $(x_1,p_1)$ но и тут вроде всё получится (но надо проверить)

-- 22.12.2015, 07:44 --

Munin
Хотя я тоже считаю, что не всякий с/с оператор наблюдаемая, но тут есть проблема: в классической механике наблюдаемые это и $p$ и $q$, а тогда $f(q,p)$ это если не наблюдаемая, то "вычисляемая" (функция от наблюдаемых), но после квантования это не работает.

А с Агаронов-Бомом так вообще: сдвиг спектра квантовая наблюдаемая без классического аналога

Т.е. хорошо бы чтобы с этим какой-то порядок бы навёлся.

[amon]

Red_Herring в сообщении #1084732 писал(а):

Даже если согласиться с с условиями, не "нажималось".

Интересно, почему... На всякий случай вот прямая ссылка на pdf статьи (целиком!!!).

-- 22.12.2015, 18:33 --

Red_Herring в сообщении #1084732 писал(а):

Посмотрю когда будет время.

Если не трудно, поделитесь впечатлениями. Это из тех "вечных" проблем, которые с одной стороны, ни на что не влияют, а с другой, от их "неразрешимости" возникает досадное чувство. Я про это давно-давно узнал от В.Н. Попова (который "духи Фаддева-Попова"). Он там тоже отметился.

[g______d]

Munin в сообщении #1084634 писал(а):

Причём, прошу не путать экспериментальную интерпретацию физической теории, такой как КМ, и пресловутые "интерпретации КМ", которые - совсем другое дело. Я веду речь исключительно о первой.

Меня не интересовала вторая. Первая является частью КМ, но во многих вопросах без неё можно обойтись. Решение УШ выдаёт нам разные числа: например, собственные значения операторов, матричные элементы, вероятности перехода, амплитуды рассеяния и т. п. Результатами экспериментов тоже являются разные числа. Можно сопоставлять одним другие. Некоторые числа есть только в теории, но не в эксперименте (наверное). Какие числа каким сопоставлять -- по-видимому, уже давно понятно.

Munin в сообщении #1084634 писал(а):

Для самого уравнения Шрёдингера, как описывающего реальность, - имеет.

Имеет не для уравнения, а для факта описания им реальности.

Munin в сообщении #1084634 писал(а):

А можно решать 2-й закон Ньютона

Нельзя решать второй закон Ньютона. Можно применять второй закон Ньютона, получать дифференциальное уравнение и его решать.

Munin в сообщении #1084634 писал(а):

Нет, не только от времени. Я рассматриваю ансамбль всевозможных экспериментов. По ансамблю и переменная.

Этого я не понимаю. Почему я не могу зафиксировать конкретное состояние, а обязан рассматривать ансамбль? Например, могу ли я рассмотреть одно собственное состояние атома водорода с заданными квантовыми числами?

Munin в сообщении #1084634 писал(а):

Нет. КМ - это и внутренность ящика, и его внешняя часть. Как и любая физическая теория.
Это малозаметно, потому что в начальных учебниках на этом не акцентируется внимание (а в теоретических и в матфизике - просто выпадает из рассказа). Но это, на самом деле, то, что делает физику естественной наукой.

Факт того, какие именно числа, получаемые в расчётах, можно интерпретировать в связи с экспериментом, важен и относится к КМ. Но этот вопрос не является срочным. Числа есть, а какие из них важны, можно решить потом.

Munin в сообщении #1084634 писал(а):

Сколько угодно, только не в разделе "Физика", и не с терминами КМ, потому что они, извините, заняты.

Хорошо, в дальнейшем постараюсь использовать термин КМ в более широком смысле.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1084732 писал(а):

Хотя я тоже считаю, что не всякий с/с оператор наблюдаемая, но тут есть проблема: в классической механике наблюдаемые это и $p$ и $q$, а тогда $f(q,p)$ это если не наблюдаемая, то "вычисляемая" (функция от наблюдаемых), но после квантования это не работает.

Да. Это огромная проблема.

Дело в том, что в физике, в той части, которая изучает реальный мир, вообще нету какого-то аналога математического вывода, импликации. В математике, если есть $A,$ то есть вытекающее из него $B.$ В физике, если у вас есть опыт $A,$ то про опыт $B$ не гарантировано вообще ничего! Он может реально совпадать с предсказанием, он может не совпадать, его может быть затруднительно провести (так что проверка откладывается на будущее), нереально на текущем уровне науки, или вообще никогда в нашей Вселенной.

Реально, чтобы сказать что-то об опыте $B,$ нужна научно-познавательная операция экстраполяции (или интерполяции, но об этом не будем). И обычно она не работает! Вот это математикам хорошо бы понимать.

Для примера, скажем, рассмотрим понятие длины, расстояния, и соответственно, координаты на пространственной оси. Пока мы рисуем по клетчатой бумаге, всё нормально, у нас есть линейка. Но попробуем измерять малые расстояния:
- сначала нам потребуется микрометр;
- потом и он откажет, понадобится интерферометр - в качестве "деления линейки" используется длина волны света;
- потом и этого не хватит, потребуются микроэлектронные технологии - например, зеркальца микронных масштабов в атомных сканирующих микроскопах;
- но на уровне ниже атомов - всё это не "катит". Требуется изобретательность и квантовая механика, чтобы переводить расстояние в энергетические характеристики, и измерять потенциалы молекул, и энергии разгоняемых частиц. Последний метод - работает ещё где-то на 10 порядков вглубь, но сейчас каждый порядок даётся только многолетним международным проектом по постройке нового ускорителя.
А что с большими расстояниями?
- сначала нам понадобится рулетка, потому что твёрдая линейка неудобна :-)
- потом мы перейдём к дальномеру и триангуляции;
- потом к радару, вплоть до планет;
- потом потребуются расстояния до звёзд, их измеряют земным параллаксом, и по собственному движению звёзд;
- потом потребуются исследования астрофизики, в том числе собранная статистика по астрономическим объектам. Таким образом, можно определить расстояния до цефеид, расстояния до шаровых скоплений (сравнивая со светимостью).
- такой же метод используется и дальше: масса сведений о галактиках переводится в оценочные методы измерения расстояний до них. Главный метод здесь - закон Хаббла, но параллельно ему используются и другие методы, чтобы ни один шаг "космической лестницы расстояний" не был продублирован независимой оценкой. Построение этой "лестницы" заняло практически весь 20-й век, от 20-х годов до 1998 года и до первых десятилетий 21 века.

Как видите, ничего похожего на элементарное математическое достижение по импликации.

Точно такие же трудности - огромные! - возникают при переходе от классической физики к квантовой (причём уже классическая, как мы помним, не ограничивается механикой, ну да не будем об этом). Старые измерительные приборы и экспериментальные установки просто не работают. Всё приходится делать с нуля. Причём, даже в классической физике, для измерения $f(q,p)$ приходилось строить отдельный прибор (хотя бы ради точности), а в квантовой - это абсолютно необходимо, потому что $q$ и $p$ не могут быть измерены одновременно. Измерение одной величины портит возможность измерить другую, потому что измерение, я напоминаю, это проекция.

И по этой же причине, я повторяю, "квантование" - это операция чисто абстрактная, математическая. Нет ни одной физической системы, которую физически удалось бы "проквантовать". Физические системы либо квантовые, либо классические, и всё, третьего не дано. Яблоко - классическое, электрон - квантовый. Это только мысленно можно представить себе, что мы уменьшаем яблоко до размеров электрона, и оно начинает вести себя как электрон - претерпевает квантование. Строго говоря, то, что "электрон до квантования был как яблоко" - это только гипотеза. Подтверждаемая экспериментами с электроном, которые согласуются с уравнением Шрёдингера, но всё-таки гипотеза.

Red_Herring в сообщении #1084732 писал(а):

Т.е. хорошо бы чтобы с этим какой-то порядок бы навёлся.

Хорошо бы навести порядок в природе! Но мы не боги.

g______d в сообщении #1084801 писал(а):

Меня не интересовала вторая. Первая является частью КМ, но во многих вопросах без неё можно обойтись.

Можно. Но не в вопросе о терминах: можно или нельзя нечто называть состоянием.

g______d в сообщении #1084801 писал(а):

Имеет не для уравнения, а для факта описания им реальности.

"Уравнение" в физике - это "уравнение в математике" плюс описание им реальности. Они неразрывны. Примите эту терминологию как факт.

Пример: закон Гаусса в математике - $\oint\vec{v}\vec{n}\,dS=\int\operatorname{div}\vec{v}\,dV.$
Закон Гаусса в физике - $\oint\vec{E}\vec{n}\,dS=4\pi\int\rho\,dV.$

g______d в сообщении #1084801 писал(а):

Нельзя решать второй закон Ньютона. Можно применять второй закон Ньютона, получать дифференциальное уравнение и его решать.

Ну, это нюансы. Весь этот процесс в целом тоже можно как-то назвать. И обязательно с третьей частью: физическая интерпретация результатов!

g______d в сообщении #1084801 писал(а):

Этого я не понимаю. Почему я не могу зафиксировать конкретное состояние, а обязан рассматривать ансамбль? Например, могу ли я рассмотреть одно собственное состояние атома водорода с заданными квантовыми числами?

Можете, но не таким образом. Вы должны сказать: "я приготавливаю атом водорода определённым экспериментальным методом" (который математически сводится к применению проектора), и в том случае, если вам такое состояние доступно. Это вы должны клянчить у экспериментаторов. Они могут позволить или не позволить. Например, для основного состояния атома водорода - запросто. Для возбуждённых - нужно потрудиться, но тоже можно. Но вот состояние в виде дельта-функции в заданной точке пространства - они вам скажут "шиш" и покрутят пальцем у виска. Хотя это "всего лишь" линейная комбинация того, что доступно.

Тогда приготовление такого состояния входит в состав эксперимента. И какое бы ни было состояние до приготовления, после приготовления оно будет уже заданным - не известным, а заданным, это тонкая разница, но важная! (То, что заданное состояние является известным, - это было установлено перед этим поколениями экспериментаторов, для каждого конкретного заданного состояния.) То есть, вы берёте ансамбль исходных состояний, и переводите их в некоторое одно, константной функцией.

g______d в сообщении #1084801 писал(а):

Факт того, какие именно числа, получаемые в расчётах, можно интерпретировать в связи с экспериментом, важен и относится к КМ. Но этот вопрос не является срочным. Числа есть, а какие из них важны, можно решить потом.

Этот вопрос становится срочным в тот момент, когда вы эти числа начинаете неправильно называть.

g______d в сообщении #1084801 писал(а):

Хорошо, в дальнейшем постараюсь использовать термин КМ в более широком смысле.

Ф-ф-фух! (смайлик, вытирающий пот со лба)

[maximav]

g______d в сообщении #1084801 писал(а):

Хорошо, в дальнейшем постараюсь использовать термин КМ в более широком смысле.

Да чего вы его боитесь? Он вам навязал тему константа-переменная, Физика/НеМатематика, ЧтоТакоеКМ, УважайтеФизРаздел и т.д. Приписал вам отождествление взгляда на математическую аксиому с самой аксиомой. Вы наверно математик по образованию, поэтому слегка испугались "физического давления" Munin'а, :) даже не заметив как далеко в сторону он увел диспут от первоначальной темы про матрицу плотности. Ваш комментарий про интерпретацию/трактовки для математиков

g______d в сообщении #1084021 писал(а):

что современный статус у неё такой же, как у классической механики: математическая теория с физической интерпретацией результатов

совершенно корректен здесь потому, что для физика математические аксиомы не догмат, а постоянно функционирующие правила (физические измерения и здравые смыслы). Заварушка здесь состоялась потому, что те математические аксиомы, которые здесь поднимали вовсе не нуждаются в "Munin'овских" физических "доводках/трактовках". Уверяю вас, Munin'овские "правила отбора" - это прямая ошибка. Не грубая, но ошибка; не общеизвестное место. Когда начинаются избытки в трактовках - это показатель математической смуты. Значит что-то надо менять в математике. Но пока еще КМ, как замкнутая теория стоит крепко. Она самодостаточна/непогрешима не только для математики, но и для физических нападок/трактовок. Трактовочная часть аксиом КМ касается только вероятностей. Другие аксиомы - это не аксиомы, а не более, чем математические названия для "здравых смыслов физика". Они крутятся вокруг физического содержания числовых представлений математических конструкций: элементы ЛВП, координаты и т.д. Кстати, во многих книжках указывается, что все аксиомы КМ должны включать "особую, отдельную" и дополнительную: о физич. интерпретации. И это нормально. Повторюсь, все другие - это не аксиомы. Они и есть махровая физика. По большому счету, вероятности - это тоже махровый здравый смысл физика. Так что (совместная) математическая аксиоматика - просто другие названия для физически согласованных сотношений между всякоразными числами, которые мы припысываем/отождествляем вещам, наблюдаемым в природе. Линейность в ЛВП - это физическая махровость принципа суперпозиции. Базисы в самом ЛВП - махровость системы отсчета у физика (куда без них?!). Оператор (=прибор/аппарат) над ЛВП - это махровость физического факта: состояние меняется при наблюдении. Скалярные произвдения -> физические безразмерные числа-статистика и т.д. То есть имеющаяся математика 1-мерных и не 1-мерных смесей состояний (стат-операторы) прекрасно обслуживает то, что физики народили в виде нынешней теории КМ. Подробности, пардон, в "остаповской чуши" выше.

Ваше комментарий выше - просто слишком краткое выражение того, что я написал выше, даже несмотря на уход от темы. И с чего это (!) вы сдались (?) на следующий перл

Munin в сообщении #1084071 писал(а):

Нельзя просто называть его оператором наблюдаемой. Потому что оператор наблюдаемой - обязан быть постоянным при переменном состоянии. Это в ваших математических формулировках не указано, но физически это так

Вот подробный перевод этого. Физики/математики, слушайте об обогащении математики следующим физическим содержанием.

Операторы - это не объекты, которые сами по себе живут над пр-вом векторов и что-то с ними делают. Но даже если и так, то внимайте. Там, т.е. среди операторов, есть особые; называются операторы (физических) наблюдаемых. Они обязаны быть постоянными при переменном векторе. Этого требует физика. То есть физики знают как работать со словами "быть постоянным при переменном", это "четкое и аккуратное" построение. А вот в математике такого не бывает; у них только сухие аксиомы. Векторно значные функции от векторно значных аргументов математики не проходят. Или, типа, есть оператор $i\partial_x$. Но он еще не есть оператор наблюдаемой потому, что мы к словам "оператор $i\partial_x$" не приклеили слово "постоянный" и не приклеили еще слово "переменные состояния". То есть (физическая) особость "операторов наблюдаемых" - это не выделение их по математическими свойствами из всех возможных, а приклеивание к ним слов "постоянный при переменном". Ну, скажем так, берем абстрактный оператор $|\psi\rangle\langle\psi|$ и отождествим его с действием "находится ли система в состоянии $|\psi\rangle$?" (Николя, поляризация вверх, ...). Начинаем им ударять по векторам состояний, которые нам даны. Получаем значения. Обнаруживаем только 0 или 1. Сколько ни ударяю/меряю по состояниям, наблюдаю все те же 0 или 1. "Обпонаблюдался вдоволь" со "своей установкой в лаборатории", но говорить про свое действие как наблюдаемая (оператор наблюдаемой) нельзя. Помимо наблюдаемых мною значений 0 и 1 есть еще астральная/физическая категория: "постоянный при переменной". Хорошо, приписали эти слова и только тогда (т.е. после этой приписки) то, что я "уже замордовался наблюдать 1000 раз" физики-Munin'ы разрешают назвать наблюдаемой. Поподробнее... Наблюдаемыми значениями я свой результат назвать могу; физики не глупые. Но те числа, что они видят нельзя связать/назвать наблюдаемыми. Станем отрицать - математики прогонят. Наблюдаемой-оператором никак нет... так как не приписаны слова. То, что одни - векторы, а другие операторы - это еще совсем ничего. Главное - эзотерические слова "постоянный/переменный".

"Квантовую логику" Munin'а продолжаем... А если я не приклею к "подопытному" оператору выше слова "постоянный при переменном", то хоть я его и "намерил немерено", как описано выше, наблюдаемой он не является. Он ведь описывает состояние, господа! Вы что не видите, что он проектор на чистое? Стало быть, он - некоторый стат оператор; Учите мат часть, кто не знает и не верьте тому, что намерили. Хоть вы и мерили, но это не наблюдаемая... т.е. то, что вы видели - это "вы ее не видели"... это - СОСТОЯНИЕ! Главные астральные слова я (Munin) еще не приписал. Хочу припишу одни слова, будет наблюдаемой, припишу другие - будет состоянием.

А уж когда состояния станут операторами (смеси). То одни операторы - константы, а другие - переменные.... ? Еще больший кошмар... "все смешалось в доме Облонских". Операторно значные функции от операторов - уже трудновато для естественного постулирования в физике. Ничего, построим дополнительные астральные слова.

Г-н Munin, Вы просто тщательно не задумывались над "откуда/что/зачем" скалярное произведение/функционал, как оно связано с измерением..., а когда вас спросили про стат-оператор-спектр, стали сочинять "физические правила отбора хороших и НЕхороших операторов", "переменных /констант". Переосмыслите внимательнее объяснения про дуальность/функционал/измерение над ЛВП (не упирайтесь) и тогда для вас будет очевидно, где, в каком месте математика (сооруженая физиками) уже прекрасно отвечает на "физические вопросы" о спектре стат-оператора без привлечения ваших астральных/физических правил отбора.

Ну прямо весело, что такая интерпретационная тень на плетень, заявленная как обоснование, появилась в виде текста. Сторонние наблюдатели, набирайтесь попкорна: "ассистент кафедры" будет "мочить" посты уважаемого человека. Зовите на помощь модераторов, г-н Munin. Теперь уже жалеть не буду. Придется конкретно опровергать, объясняя, читателям пункты "чуши, оторванной от смысла" из поста "Остапа понесло", а не словоблудить про физичность теории или

Munin в сообщении #1082167 писал(а):

Остальное пропускаю

и в тоже время ферматикам и ниспровергателям посвящая килотонны постов. У вас больное воображение и страсть приписывать другим вами желаемое, чтобы учить неразумных хазаров. На этом вас легко поймать

maximav в сообщении #1017727 писал(а):

maximav писал(а):
Чтобы вас поощрить, сообщу: я не специалист по тензорному анализу и даже не математик по образованию.
Munin:
А сколько курсов закончили?
maximav:
5 неполных. Ассистент на каф теор.физики. Это для дальнейшего вашего поощрения.

maximav в сообщении #1019463 писал(а):

Munin писал(а):
А, ну тогда понятно ... И практический совет ...
maximav:
коль скоро "ассистент кафедры", а не дфмн по матфизике (правда есть второе, к слову говоря).

но догадаться, что там, в дискуссии про тензор, я вас просто пожалел, было не суждено. Да еще здесь в потоке тактично ушел от столкновения

maximav в сообщении #1082368 писал(а):

Ему можно, он человек уважаемый на форуме

предоставив вам возможность утвердиться в собственной значимости; не запрещается, кстати. Дважды влезли, теперь расхлебывайте... потрудитесь отписываться далее по теме оператор/наблюдаемые/состояние/смесь/МатрицаПлотности и наблюдаемые числовые (физика) величины, складывать/Нескладывать наблюдаемую со стат-оператором и спектр последнего. И отписываться на языке бинарных проекторов; КМ на столе . В "остаповском потоке" много конкретных пунктов-чуши. Соизвольте читателям указать. А про то, что такое оператор в КМ заведите отдельный поток и там учите, "забывших КМ". Для начальной тренировки вам надлежит объяснить

maximav в сообщении #1082121 писал(а):

а что, нельзя сложить две функции $\psi(x) + \varphi^*(x)$, фигурирующие в скалярном произведении $(\psi(x),\varphi(x))$? А как тогда понимать "дираковское" $|\psi\rangle+\langle\varphi|$?

Не мне объясняйте, а всем остальным. Читающие поток, запросите пожалуйста Munin'а об этом. А я понаблюдаю на физически красивое построение "правил отбора". Не сомневаюсь, что и другие поинтересуются пояснениями про: нельзя/можно сложить $\psi(x) + \varphi^*(x)$, но льзя/неможно сложить бра с кетом $|\psi\rangle+\langle\varphi|$.