Но вот систему взяли в другом состоянии, и ваш оператор перестал иметь всякое отношение к её матрице плотности....
"Мой оператор" к матрице плотности и не имел никакого отношения... как, если бы, "Munin, скажем, = 30кг" имеет отношение к "maximav, скажем, = 30кг".
Дело не в том, кто кому сопряжён...
А вот тут вы как раз и ошибаетесь. Камня на камне от "этой вашей математики" не оставляет банальная "философия" про состояние и наблюдаемую.
Возьмите стандартные формулы для наблюдаемой
и смеси
А теперь запретите (задавшему вопрос про спектр статоператора) складывать эти два оператора. Или даже вырежьте из этого
кусок
и запретите сложение
Упрямо смотрим на эти формулы и запрещаем складывать два оператора. Упрямо смотрим на ЭТОТ ОПЕРАТОР, обозначаемый
, и запрещаем говорить слова про его спектр. Картина, что называется, "Приплыли". Без приговорок о разной сущности этих двух "якобы не отличающихся" по природе объектов не обойдетесь. Мало ли, что и тот и другой являются операторами. Если координаты/килограммы нельзя складывать, коль скоро они есть не более, чем числа, то это не значит, что если начать работать не с числами, а с "операторами, векторами, ..." - якобы инвариантными объектами - то можно возрадоваться и начать подряд их складывать/умножать/сравнивать. Подкрутки на размерности, единичные следы и прочие несущественные "ядерности" суть не меняют. Если у чисел/координат вообще никакой природы нет и быть не может, то у объектов выше она есть, но она разная. А сравнивать объекты из разных пространств (не только ЛВП, а вообще любых множеств) можно только через скалярные надстройки над ними - линейные функционалы. Ничего другого никто никогда не придумал и не придумает; пока сидим в "линейном царстве". Это неизбежно ведет к введению сопряженных "зверей". Так что без явного/неявного введения дуальных объектов/пространств Вы никуда не денетесь.
Иными словами, пока Вы не произнесете слова "скалярный объект" и "разные пространства" любое "объяснение" будет "недоделанным". А именно эти слова и вы и не писали, когда отвечали на вопросы спрашивающих здесь. Интуитивно, спрашивающий про собствзначения статоператора именно и имел в виду "а если я сложу две формулы выше ... ?". При плохом формулировании ответа получаем и вовсе искажения смыслов или, как минимум, "страус, голова в песок". Объяснение НЕ ДОЛЖНО начинаться с тензорного произведения бра на кет и называнием этого статоператором (ваши первые посты в потоке). Вопрос про спектр
- это вопрос, естественно возникающий от сваливания в кучу разных сущностей. И вам, как сведующему, следовало/желательно было бы НЕ начинать с бра-кет интерпретаций. Тем более, что бра-кетные конструкции - это не интерпретации, а "аккуратности". Вопросы людей в этом потоке хороши тем, что ответы-интерпретации (вариации из плохих книжек) оказываются хуже и сложнее НЕинтерпретаций, т.е. простых формулировок сущностей.
Состоянию МОЖНО взаимно однозначно СОПОСТАВИТЬ в соответствие оператор (у Макки это наверняка есть). Но оператором-наблюдаемой оно от этого не станет. Искажение (и запудривание студенческих мозгов) кроется в "НЕ ПРОИЗНЕСЕНИИ" слов "ВзаимнОднзчнСпствт", и замене их сумбуром "состояние-смесь = оператор"; поголовное заклинание в книжках. На естественном же языке ("неустранимых") сопряженных пространств путаница просто не возникает как явление. Незабывание того, что смеси-состояния и наблюдаемые, как операторы, изначально лежат/родились в разных пр-вах - это самый естественный способ не путать их. Но равноправие дуальных пр-в вещь фундаментальна и она является следствием того, что как только вы имеете НЕЧТО ЛИНЕЙНОЕ (суперпозиции, линейные операторы и т.д.) то до того, пока вы не введете скалярную надстройку над этим множеством (лин функционал) оно - это ЛВП - останется АБСОЛЮТНО ПУСТОПОРОЖНИМ и голым объектом. С ним никто ничего и никогда не сможет сделать; кроме как глазеть на абстрактные комбинации
Примерно также, как множество без надстроек типа многообразий и структур на нем. Жизнь/физика начинается (и заканчивается) именно здесь, со скалярных объектов над этим ЛВП. Ничего кроме этих чисел мы не видим/наблюдаем. Средние, спектры и всякие другие вероятности - это они: скаляры на элементах наших ЛВП. И не важно какой природы элементы этих ЛВП; векторы, операторы, функции, ... Вот и сочиняем теперь всякие
,
и т.д. и радуемся...
... Дело в том, что операторы наблюдаемых -
постоянные, а состояния -
переменные.
Вы упорно пытаетесь "взять константу, равную
".
Все, что я якобы "упорно" и якобы "пытаюсь взять" написано в моем посте. Не приписывайте мне ваши воображения. Текст перед вами. Это не вопрос интерпретации или вопрос переменные/константы. Но даже если и так, то напомню вам факт. Пробегитесь по ВСЕМ наблюдаемым (операторы = переменные) при ФИКСИРОВАННОМ состоянии - рождаем функционалы-средние - это тоже самое, что и полностью задать это состояние. Вот вам и приписываемая мне ваша "состояние-константа" при приписываемой мне же ваша "оператор-переменная". Оба пространства живут сами по себе своей жизнью и все их объекты могут считаться переменными/константами в зависимости от того, каков контекст. Нужна полнота, бегите по собственным состояниям при заданной наблюдаемой. Нужно состояние, бегите по достаточно большому набору операторов. И так и так получите, что хочется. В обоих пр-вах уже все есть. Контактировать они начинают, философски говоря, только когда появляется "третье лицо", условно назовем его homosapiens, который осознает себя и то, что он есть элемент пары - человек/природа, объект/субъект, наблюдатель/система. Эта двойственность, "нечто ДВА" - следует осознавать - несет колоссальный и математический и физический смысл. Даже нобелевки за дуальности дают (Намбу). Homosapiense скрещивает эти пары, через инвариантные числа и называет словами вероятности, скалярные произведения, функционалы и т.д. А себя и природу называет словами операторы/состояния.
Когда были чистые состояния, то вполне можно было обходиться "нормальными" векторами и "нормальными" операторами; объектами разной природы даже по внешнему восприятию. Но как только переходим к смесям, векторы куда-то исчезают, а операторы остаются. ТУТ ТО И НАЧИНАЕТСЯ КУЧА-МАЛА и вопросы про спектры или еретическое сложение двух формул выше. Спрашивающий мог бы быть еще проще и спросить типа: а что, нельзя сложить две функции
, фигурирующие в скалярном произведении
? А как тогда понимать "дираковское"
?
Слово "МОЖНО", написанное выше, ничто не запрещает заменить на "А МОЖНО И НЕ СОПОСТАВЛЯТЬ". Работай тогда пожалуйста с исходным пространством и функционалом/числами над ним не называя это словами "они/функционалы" образуют ЕЩЕ ОДНО ЛВП. Но двойственность (пр-во + скалярная надстройка над ним) от этого не исчезнет. Ее не истребить.