Совместные чтения

[iifat]

Munin в сообщении #1077764 писал(а):

Вне Европы - обычно нет

Чем, простите, Европа так отличилась? Мне как-то трудно себе представить, чтоб в условиях постоянных войн государства образовывались исключительно по культурным причинам, а войн в Европе, по-моему, было никак не ниже среднего по планете. Да и с моноязыковыми государствами там как-то непросто, не? Германия, Франция, Испания, Англия, по крайней мере, населены носителями разных (изначально) языков, к тому ж весьма охотно присоединяли к себе всё, до чего могли дотянуться, нимало не смущаясь угрозой культурного разнообразия.

[Munin]

Утундрий в сообщении #1078126 писал(а):

буду изрядно благодарен любому приведшему пример религии, существенно использующей тот факт, что Земля - шар.

Не понял, а к чему этот вопрос?

-- 30.11.2015 00:22:24 --

iifat в сообщении #1078155 писал(а):

Чем, простите, Европа так отличилась?

Тем, что в период 16-19 веков захватила практически всю остальную планету в колонии (не считая, пожалуй, Китая). Россия, по сути, тоже европейское государство с азиатскими колониями: Средняя Азия, Сибирь, Дальний Восток.

[Утундрий]

Munin в сообщении #1078159 писал(а):

Не понял, а к чему этот вопрос?

Это просто вопрос, который хотит об себя ответ. Не более.

[Munin]

Возвращаясь к Вавилову...

У меня сейчас (278 страница первой книги, Mengenlehre) сложилось такое впечатление:
- эта книга - не учебник, и не может им быть,
- потому что обычный учебник сосредоточен на изложении системы понятий и фактов, в которой нет по возможности ничего лишнего, "торчащего" висящими концами: про понятия излагаются системы фактов, факты задействованы в доказательстве других фактов, и т. д., и всё это актуализируется какими-то итоговыми упражнениями, или потребностями последующих учебных курсов;
- а в книге Вавилова, напротив, даётся множество примеров понятий, которые ни за чем не нужны, множество фактов, увязанных только чуть-чуть со смежными понятиями и другими фактами, и всё это - явно для расширения кругозора, для подготовки к движению в самых разных направлениях, но не для того, чтобы всё это запомнить и сдать.

Таким образом, книга Вавилова хороша для чтения человеком уже искушённым (и ищущим таких отсылок и кругозора), но не для первоначального знакомства с предметом.

[Sonic86]

Хочу покритиковать опять:

Вавилов писал(а):

Мы не будем пытаться дать математическое определение выражению ‘элементарная функция’. В обычном словоупотреблении это выражение не является математическим термином, а означает, примерно, ‘функция встречающаяся или употребляемая в элементарной математике . Вот какое (де)лирическое определение дается, например, в Математической Энциклопедии: ‘Элементарные функции – класс функций, состоящий из многочленов, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, а также функций, получающихся из перечисленных выше с помощью арифметических операций и суперпозиции, примененных конечное число раз.’ Например, из этого определения совершенно неясно, где определены элементарные функции. ...
Комментарий 1. Ясно, почему на элементарном уровне никто не пытался дать определение элементарной функции. Ведь нет ни одной теоремы, которая начиналась бы так: ‘Пусть f – элементарная функция. Тогда ...’ А там, где нет доказательств, не нужны и точные определения.

1. Определение элементарной функции давно есть: элементарны тождественная функция, константа, экспонента, синусы-косинусы, сумма, произведение и композиция элементарных функций.
2. Определены они либо в $\mathbb{R}$, либо в $\mathbb{C}$ - этот тривиальный момент никому не интересен кроме Вавилова.
3. Существуют теоремы о (не-)элементарности интегралов от элементарных функций, существуют дифференциальные поля Лиувилля. Существует уравнение Рикатти. Существует класс Харди логарифмически-экспоненциальных функций, где у любой функции есть асимптотика. Класс элементарных функций замкнут относительно дифференцирования. Это я даже по литературе не бегал.
В общем, автор тут со срыванием покровов переборщил. Или я ошибаюсь?

Зато автор с высоким пиететом и пафосом различает функции с одинаковым графиком но разными областями определения и значений. Что вообще офигеть как важно и встречается в учебниках аж на каждом шагу, да еще и в виде условий теорем.

И еще у него там какая-то длинная муть про различие функций и отображения со ссылками на историю. Было бы чего различать.

Munin в сообщении #1079941 писал(а):

- эта книга - не учебник, и не может им быть,

Согласен. Эта книга - троллинг

[Munin]

Sonic86 в сообщении #1080729 писал(а):

Это я даже по литературе не бегал.

Вот мне кажется, вы не бегали, а Вавилов бегал.

Я за Вавиловым не бегал, но предпочту ему поверить, пока он не будет пойман за руку на прямом вранье.

[g______d]

Sonic86 в сообщении #1080729 писал(а):

В общем, автор тут со срыванием покровов переборщил. Или я ошибаюсь?

Думаю, не ошибаетесь. Я при чтении этого места подумал то же самое.

[Anton_Peplov]

Я тоже в свое время заинтересовался, можно ли определить простейшие элементарные функции иначе, чем перечислив их все. Мне дали вот этот замечательный ответ.

Mikhail_K в сообщении #998338 писал(а):

Есть способ.
Я только уберу из простейших элементарных функций тригонометрические: средствами ТФКП они выражаются через показательную.
Остаются следующие: линейная, показательная, логарифмическая, степенная.
И вот какие красивые определения у них.

Линейная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
Показательная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$.
Логарифмическая функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$.
Степенная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$.

Можно показать, что это именно определения, они однозначно определяют эти функции с точностью до какого-то коэффициента.

[g______d]

Sonic86 в сообщении #1080729 писал(а):

Было бы чего различать.

Как раз здесь, по-моему, есть чего. С одной стороны, в историческом плане. С другой стороны, в плане тенденций 20 века отождествлять пространство с кольцом функций на нём.

В конце концов, элементарная функция -- это не отображение множеств с определёнными свойствами (может быть, так можно определить, но сложно), а результат определённой композиции фиксированного набора функций, т. е. чисто алгебраический/комбинаторный объект.

-- Вт, 08 дек 2015 12:36:25 --

Sonic86 в сообщении #1080729 писал(а):

1. Определение элементарной функции давно есть: элементарны тождественная функция, константа, экспонента, синусы-косинусы, сумма, произведение и композиция элементарных функций.

Логарифм? Он, кстати, определён не в $\mathbb C$.

[Munin]

g______d в сообщении #1080759 писал(а):

С другой стороны, в плане тенденций 20 века отождествлять пространство с кольцом функций на нём.

А вот про это где почитать?

Anton_Peplov в сообщении #1080758 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #998338 писал(а):

Логарифмическая функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$.

Увы, на $\mathbb{R}_+.$ (Или сразу на $\mathbb{C},$ и то, на $\mathbb{C}\setminus\{0\}.$)
И со степенной не всё ладно.

[Denis Russkih]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1080729 писал(а):

Определение элементарной функции давно есть: элементарны тождественная функция, константа, экспонента, синусы-косинусы, сумма, произведение и композиция элементарных функций.

Извините, что встреваю, но это правда такое определение?.. :) А почему именно эти функции, а не другие?..

Просто невольно вспоминается:

к/ф Кин-дза-дза! писал(а):

— А пацаки и чатлане это национальность?
— Нет.
— Биологический фактор?
— Нет.
— Каста?
— Нет.
— Лица с других планет?
— Нет.
— А чем они друг от друга отличаются?
— Ты что, дальтоник, Скрипач? Зелёный цвет от оранжевого отличить не можешь?

[Anton_Peplov]

Denis Russkih в сообщении #1080774 писал(а):

А почему именно эти функции, а не другие?..

Самая первая из возможных гипотез - это просто функции, с которыми столкнулись в своих задачах первобытные математики (от Пифагора до Эйлера).

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ну, Вавилов, может, и перегибает с «нет ни одной теоремы» с элементарными функциями, но их ведь довольно мало (по сравнению с каким-нибудь «пусть $f\in C^a$»), а в тех, где они есть, они определяются прямо на месте, и часто можно расширить этот класс без ущерба для теоремы (или практически никогда?). На моё мало кому нужное мнение многочлены и то класс более естественный, чем элементарные функции. Их как-то и мало для одного, и много для другого как будто.

Тогда

Denis Russkih в сообщении #1080774 писал(а):

А почему именно эти функции, а не другие?..

становится вопросом не более важным чем исторический.

[g______d]

Munin в сообщении #1080771 писал(а):

Увы, на $\mathbb{R}_+.$ (Или сразу на $\mathbb{C},$ и то, на $\mathbb{C}\setminus\{0\}.$)

Где-то должна быть риманова поверхность логарифма.

[Sonic86]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1080759 писал(а):

Логарифм? Он, кстати, определён не в $\mathbb C$.

Имелось ввиду, что все области определения лежат в $\mathbb{R}$ или в $\mathbb{C}$. Это все, опять же, можно определить индуктивно, но совсем малоинтересно. Если имелись, ввиду многозначные функции, то можно брать для начала главные значения.

arseniiv в сообщении #1080778 писал(а):

Ну, Вавилов, может, и перегибает с «нет ни одной теоремы» с элементарными функциями, но их ведь довольно мало (по сравнению с каким-нибудь «пусть $f\in C^a$»)

Вопрос о том, число каких теорем больше - это тот еще вопрос, который еще в будущем м.б. будет обдумываться