Хорошие и плохие функции

[bot]

Padawan в сообщении #990082 писал(а):

Правда, это можно исправить, условившись к множеству задания основных элементарных функций относить только внутренние точки.

А зачем исправлять? Просто взять $f(x)=|x|.$

[Евгений Машеров]

Anton_Peplov в сообщении #989884 писал(а):

Мне не известно никакого способа определить простейшие элементарные функции иначе, чем перечислив их все. Подозреваю, что такого способа просто нет - нет свойства, присущего всем простейшим элементарным функциям и только им

Погуглите на Лиувилля. Он, собственно, дал такое определение в связи с задачей интегрирования функций

(Оффтоп)

Чем интеграл отличается от женщины? Интегралы бывают и неберущиеся!

[Anton_Peplov]

Евгений Машеров в сообщении #995847 писал(а):

Погуглите на Лиувилля. Он, собственно, дал такое определение в связи с задачей интегрирования функций

Погуглил "элементарные функции по Лиувиллю". Нашел глубоко нетривиальное определение. Осталось разобраться, что там к чему и почему. Спасибо за наводку.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #989884 писал(а):

Мне не известно никакого способа определить простейшие элементарные функции иначе, чем перечислив их все. Подозреваю, что такого способа просто нет - нет свойства, присущего всем простейшим элементарным функциям и только им - и само понятие простейшей элементарной функции скорее историческое, чем математическое. Это просто функции, с которыми математики столкнулись в практических задачах. Но если вдруг такой способ есть - поделитесь, мне интересно.

Есть способ.
Я только уберу из простейших элементарных функций тригонометрические: средствами ТФКП они выражаются через показательную.
Остаются следующие: линейная, показательная, логарифмическая, степенная.
И вот какие красивые определения у них.

Линейная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
Показательная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$.
Логарифмическая функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$.
Степенная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$.

Можно показать, что это именно определения, они однозначно определяют эти функции с точностью до какого-то коэффициента.

Другими словами, элементарные функции создала не просто слепая история. Как только мы определили сложение и умножение, класс элементарных функций возникнет с необходимостью.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #998338 писал(а):

Есть способ.

Какая невероятная красота! Спасибо!
Да, похоже, что с точностью до аддитивных и мультипликативных констант это определения. Хотя я не готов с места в карьер это доказать.

[Nemiroff]

При этом константы отправляются в далёкий полёт.

[kp9r4d]

Mikhail_K в сообщении #998338 писал(а):

Степенная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$.

Можно показать, что это именно определения, они однозначно определяют эти функции с точностью до какого-то коэффициента.

Это ведь неправда, да?

[sergei1961]

Это правда, есть даже в первом томе Фихтенгольца. Началось с функционального уравнения Коши для линейной функции. Есть и разрывные решения, но это уже не элементарный уровень-базисы Хамеля, аксиома выбора...

[kp9r4d]

С точностью до какого коэффициента отличаются $x^2$ и $x$?

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #998660 писал(а):

С точностью до какого коэффициента отличаются $x^2$ и $x$?

Условию $f(xy) = f(x)f(y)$ удовлетворяют $y = x$, $y = x^2$ и вообще любая $y = x^n$. То есть это условие определяет класс степенных функций (а не какую-то конкретную).

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #998338 писал(а):

Логарифмическая функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$.

Плюс забыли.

[kp9r4d]

Anton_Peplov в сообщении #998698 писал(а):

Условию $f(xy) = f(x)f(y)$ удовлетворяют $y = x$, $y = x^2$ и вообще любая $y = x^n$. То есть это условие определяет класс степенных функций (а не какую-то конкретную).

Я это заметил, потому и сказал. Впрочем, видимо, все это тоже заметили, а потому сказал я это вообще зря. В общем, ладно. Кстати, если взять взять вместе с элементарным их "замыкание" относительно интегрирования, то требуемый класс и получится, непонятно только на кой; почему-то мне интуитивно кажется, что такие всякие определения в классическом анализе использующие понятие "алгоритма" до добра не доводят. Да и вообще ни до чего не доводят.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #998706 писал(а):

Кстати, если взять взять вместе с элементарным их "замыкание" относительно интегрирования, то требуемый класс и получится

Требуемый класс - это класс хороших функций, замкнутый по уравнениям. Интегралом от какой элементарной функции является функция $x = x(a, b, c)$, выражающая корень уравнения $a^x + b^x + c = 0$?

kp9r4d в сообщении #998706 писал(а):

непонятно только на кой

Попробуйте, например, подобрать методом наименьших квадратов коэффициенты $m$ и $k$ в зависимости $y = mt^k$, и Вам очень захочется иметь функцию $x = x(a, b, c)$.

[kp9r4d]

Anton_Peplov в сообщении #998715 писал(а):

Требуемый класс - это класс хороших функций, замкнутый по уравнениям. Интегралом от какой элементарной функции является функция $x = x(a, b, c)$, выражающая корень уравнения $a^x + b^x + c = 0$?

Ну окей, замыкаем не только по интегралам, но ещё и по взятию обратной (с некоторыми оговорками).

Anton_Peplov в сообщении #998715 писал(а):

Попробуйте, например, подобрать методом наименьших квадратов коэффициенты $m$ и $k$ в зависимости $y = mt^k$, и Вам очень захочется иметь функцию $x = x(a, b, c)$.

Да мне-то захочется, но мне вот ваше "иметь" не очень нравится. Вот обратную функцию к $x^4+bx^3+cx^2+dx+e$ имеете? Конечно! Ведь есть там какие-то формулы Феррари с четырёхэтажными радикалами, но если мне на практике понадобится найти обратную, я лучше тот же бинарный поиск (с некоторыми оговорками) сделаю, ну или пойду почитаю про более быстрые и эффективные алгоритмы. А то что оно у меня в каком-то там эфемерном "классе" лежит мне вот не холодно и не жарко. Всё оно лежит в классе всех функций, если уж на то пошло.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #998722 писал(а):

я лучше тот же бинарный поиск (с некоторыми оговорками) сделаю

Решить уравнение численными методами можно. Но есть много задач, где нас интересует не число, а именно функция. Как она ведет себя при изменении аргументов? Где экстремумы? Где нули? Где точки перегиба? Она ограниченная или нет? Периодическая или апериодическая?
Такие вопросы ставит физика. Физический закон - это уравнение. И от того, что подавляющая часть возникающих уравнений решается только численно, у физиков уже закончились цензурные слова в словарном запасе.