Тождество Эйлера и азрпч.

[druggist]

Азрпч - это асимптотический закон распределения простых чисел, ну а тождество Эйлера, понятно:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod\limits_{p\ prime}^{}\cfrac{1}{1+\frac{1}{p^s}}$$

Мне встречался элементарный ("на пальцах") вывод асимтотики для плотности простых чисел (а следовательно и для и для самой функции распределения) в двух местах. Одно в книге Куранта "Что такое математика?"(Приложение к Главе VIII), другое в у В. Босса в "Лекциях по математике" т. 14, Глава VIII "Распределение простых чисел". Основной момент в этом выводе следующий: доля чисел в промежутке $[ x, x+\Delta x ]$ не делящихся ни на одно простое число $p \leqslant x+\Delta x$ определяется как:

$$\rho (x)=(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p),$$

что по сути и есть плотность простых чисел. Здесь у меня вопрос, произведение означает допущение о случайном расположении простых чисел в интервале $[ x, x+\Delta x ]$ ? Насколько оно оправдано? И второе, если плотность можно выразить таким образом, то очевидно, что тождество Эйлера при $s=1$ это фактически и есть выражение для плотности $\rho (x)=1/\ln(x)$ - левая часть тождества Эйлера - это $\ln(n)$ при больших $n$, то бишь $x$, а справа величина, обратная плотности $1/\rho (x)$. Так ли это?

[Brukvalub]

druggist в сообщении #1079431 писал(а):

доля чисел в промежутке $[ x, x+\Delta x ]$ не делящихся ни на одно простое число $p \leqslant x+\Delta x$ определяется как:

$$\rho (x)=(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p),$$

Прошу вас пояснить, где здесь используется "допущение о случайном расположении простых чисел в интервале $[ x, x+\Delta x ]$ ?" На мой взгляд, это предположение никак не используется (да и как можно использовать ложное предположение?)

[druggist]

Brukvalub в сообщении #1079438 писал(а):

Прошу вас пояснить, где здесь используется "допущение о случайном расположении простых чисел в интервале $[ x, x+\Delta x ]$ ?" На мой взгляд, это предположение никак не используется (да и как можно использовать ложное предположение?)

Тогда прошу вас пояснить, откуда это произведение у В. Босса в его выводе, т.е., почему плотность можно записать в виде произведения?
p.s. Я предполагал так, вероятность числу не быть деленным нацело ни на одно простое число меньшее $p$ равно произведению вероятностей не быть деленным на число от 2 до $p$, а это возможно, только когда эти вероятности независимы, или вероятность числу из интервала быть простым постоянна для любого $x$ из интервала.

[Brukvalub]

Здесь используется тот факт, что числа, делящиеся на фиксированное простое число, образуют арифметическую прогрессию, то есть они "распределены" в натуральном ряду равномерно.

[druggist]

Я, видимо, под "случайным расположением" имел в виду, что вероятность числу из интервала быть простым постоянна, они как бы равномерно "размазаны" по интервалу... а это по сути и есть случайное расположение

[Brukvalub]

druggist в сообщении #1079448 писал(а):

Я, видимо, под "случайным расположением" имел в виду, что вероятность числу из интервала быть простым постоянна...

Поясните, из каких соображений вы вывели такую "закономерность"?

[druggist]

Представим $\Delta x$ ячеек, каждая из которых с вероятностью $1/p_i$ может быть заполнена частицей сорта $i$, тогда вероятность, что ячейка пустая равна произведению по $i$ сомножителей $(1-1/p_i)$, естественно, это вероятность незаполнения любой ячейки из интервала. А то, что, например, "двойки" ($p_1=2$) не случайно падают на диапазон $\Delta x$, а через одну - это здесь не учитывается (имхо), а используется только при вычислении вероятности: $\Delta x/p_i$ - это число частиц сорта $i$, $(\Delta x/p_i)/\Delta x$ это доля частиц(см. у В. Босса) - она же вероятность

[Brukvalub]

И как отсюда следует, что

druggist в сообщении #1079448 писал(а):

вероятность числу из интервала быть простым постоянна

?

[Sonic86]

ИМХО, рассуждение из Босса - это махание руками - аналогия есть, но до придания ей строгости доказательства АЗРПЧ очень далеко. Т.е. если Вы о самом виде АЗРПЧ вообще не в курсе, то это "рассуждение на пальцах" Вам даст намек, но не более.

druggist в сообщении #1079431 писал(а):

тождество Эйлера при $s=1$ это фактически и есть выражение для плотности $\rho (x)=1/\ln(x)$

Это вот нужна что-то страшное большая сила воображения, чтобы считать тождество Эйлера при $s=1$ содержательным.

Есть такая книжка Кубилюс Вероятностные методы в теории чисел. Попробуйте ее почитать, м.б. чего-то найдете и нам объясните. Правда я не могу утверждать, что Вы найдете там именно это, т.к. я ее ниасилил, а поверхностный просмотр ничего не дает. В качестве примера в 1-й главе рассматривается теорема Харди-Рамануджана об $\omega (n)$ (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BD%D0%B0)

[druggist]

Brukvalub в сообщении #1079511 писал(а):

И как отсюда следует, что

Не понял, "отсюда" это откуда?
Вероятность числу из интервала $\Delta x$ быть простым, она же доля простых чисел, она же плотность $\rho(x)$. В пределах интервала $\Delta x$ постоянна. По определению плотности.

-- Пт дек 04, 2015 21:26:49 --

Sonic86 в сообщении #1079517 писал(а):

Это вот нужна неслабая трава, чтобы считать тождество Эйлера при $s=1$ содержательным.

Нет, здесь все как раз прозрачно, ряд расходится, ну и что? Мне почему-то думается, что Гаусс именно так "на пальцах" пришел к своей замечательной апроксимации $Li(x)$, потом посчитал, убедился в хорошнм согласии с экспериментом, а рассуждение "на пальцах" выкинул, он много чего не публиковал, это известно.

[Brukvalub]

Мне проще отвязаться, чем постичь смысл ваших высказываний...

[Sonic86]

Хорошо, тогда я Вас буду просто тыкать:

druggist в сообщении #1079431 писал(а):

Основной момент в этом выводе следующий: доля чисел в промежутке $[ x, x+\Delta x ]$ не делящихся ни на одно простое число $p \leqslant x+\Delta x$ определяется как:

$$\rho (x)=(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p),$$

Неверно при $x=10^3, \Delta x=1$.
Доказательства нет.

druggist в сообщении #1079431 писал(а):

Здесь у меня вопрос, произведение означает допущение о случайном расположении простых чисел в интервале $[ x, x+\Delta x ]$ ?

Оно не случайно. Оно детерминировано.
Попробуйте уточнить высказывание.

druggist в сообщении #1079501 писал(а):

Представим $\Delta x$ ячеек, каждая из которых с вероятностью $1/p_i$ может быть заполнена частицей сорта $i$, тогда вероятность, что ячейка пустая равна произведению по $i$ сомножителей $(1-1/p_i)$,

Не имеет отношения к распределению простых.

(последняя попытка)

неужели Вы всерьез думаете, что Чебышев, Гаусс, Риман, Сельберг и еще много людей совершенно зря мучаются с $\zeta(s)$, решетом, свертками с функциями Мебиуса и прочими ужасными вещами?
Проблемы с вышеописанным подходом упомянуты то ли в Прахаре в саааамом начале, то ли в Хооли опять же в сааамом начале. Если будет интерес, я Вам найду.

upd: вспомнил блин:
$\dfrac{\pi(x)}{x}\sim\dfrac{1}{\ln x}$, но $\prod\limits_{p\leqslant x}\left(1-\dfrac{1}{p}\right)\sim\dfrac{e^{-\gamma}}{\ln x}$, где $\gamma$ - постоянная Эйлера.
Т.е. вывод не просто не обоснован: доказываемое попросту ложно.

[druggist]

Sonic86 в сообщении #1079533 писал(а):

доказываемое попросту ложно.

А что ложно-то, я не понял? $\rho(x)\sim1/\ln(x)$, что и требовалось доказать, а интеграл дает $Li(x)$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Исправьте стартовое сообщение.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Возвращено.