2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение11.12.2015, 09:34 


27/02/09
2374
Sonic86 в сообщении #1081306 писал(а):
При этом выводе используются ложные утверждения типа

Мне все же представляется, что ложно Ваше утверждение о данном утверждении В. Босса. Соответственно все остальное самоуверенная чепуха

p.s. Мне это место у В. Босса представляется весьма тонким и нетривиальным, правильная оценка легко получается благодаря существенному огрублению ситуации (не случайно параграф называется "Грубые причины")

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение11.12.2015, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
druggist
Вам уже специалисты сказали, что это рассуждение на пальцах, позволяющее сделать правдоподобное предположение, но не доказать его. Не пытайтесь из этого слепить доказательство, это невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение11.12.2015, 11:08 
Заслуженный участник


08/04/08
8504

(Оффтоп)

druggist в сообщении #1081317 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1081306 писал(а):
При этом выводе используются ложные утверждения типа

Мне все же представляется, что ложно Ваше утверждение о данном утверждении В. Босса. Соответственно все остальное самоуверенная чепуха

p.s. Мне это место у В. Босса представляется весьма тонким и нетривиальным, правильная оценка легко получается благодаря существенному огрублению ситуации (не случайно параграф называется "Грубые причины")
Ну оставайтесь со своим наивным мнением. Мне по барабану.
В игнор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение12.12.2015, 17:38 


27/02/09
2374
ex-math в сообщении #1081329 писал(а):
Вам уже специалисты сказали, что это рассуждение на пальцах, позволяющее сделать правдоподобное предположение, но не доказать его. Не пытайтесь из этого слепить доказательство, это невозможно.

Я пытаюсь "слепить", если можно так выразиться, собственное понимание. Если основываться только на единственном допущении о существовании производной у функции $\pi(x)$ (истинной, т.е., "экспериментальной" сглаженной функции распределения пч, не путать с аппроксимацией $x/\ln(x)$), то есть, $\pi'(x)=\rho(x)$, вполне удовлетворительных доказательств можно сделать сколько угодно. Для этого надо взять уже готовое тождество, использующее фундаментальную теорему арифметики (а они все выведены из нее), например, упоминавшееся уже здесь равенство:
$$e^{-\gamma}=\lim\limits_{x\to\infty}^{} \ln(x) \prod\limits_{p\leqslant x}^{}(1-\frac{1}{p})$$
Для больших $x$ , взяв логарифм от обеих частей, положив $\ln(1-\frac{1}{p})\approx-\frac{1}{p}$ и заменив суммирование интегрированием, будем иметь:
$$-\gamma\sim \ln\ln(x)-\int\limits_{2}^{x}\frac{\rho(t)}{t}dt,$$
где $\rho(t)$ - искомая функция плотности пч. Продифференцировав по $x$, найдем $$\rho(x)\sim\frac{1}{\ln(x)}$$
но пользы для понимания этот вывод практически не несет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение12.12.2015, 19:11 


13/07/10
104
druggist
А что Вы понять то хотите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение12.12.2015, 19:23 


27/02/09
2374
DiMath в сообщении #1081639 писал(а):
А что Вы понять то хотите?

Принцип получения асимптотики

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение12.12.2015, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
$\pi (x) $ почти всюду имеет производную, равную нулю. Сгладить можно по-разному, получая почти любую производную. Кроме того, асимптотические формулы нельзя дифференцировать.

На самом деле, азрпч довольно глубоко зашит в свойствах дзета-функции, как функции комплексного переменного. Существуют и элементарные доказательства, не использующие ТФКП, но они гораздо менее прозрачны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение13.12.2015, 00:13 


27/02/09
2374
ex-math в сообщении #1081676 писал(а):
Кроме того, асимптотические формулы нельзя дифференцировать.

Так у Куранта, он подробно объясняет возможность существования плотности, то есть, производной, я давал ссылку ("Доказательство теоремы о простых числах
на основе статистического метода").

ex-math в сообщении #1081676 писал(а):
а самом деле, азрпч довольно глубоко зашит в свойствах дзета-функции, как функции комплексного переменного.

Мне пока не удается уловить эту связь, но хотелось бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение13.12.2015, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13371
Москва
druggist в сообщении #1081709 писал(а):
Мне пока не удается уловить эту связь, но хотелось бы.

Скачайте книгу Галочкин, Нестеренко, Шидловский Введение в теорию чисел (де-факто она является учебником по обязательному курсу теории чисел на 5-м курсе мех-мата ), в ней на стр. 45-54 строго доказан асимптотический закон распределения простых как раз с помощью свойств дзета-функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение13.12.2015, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва

(Оффтоп)

Brukvalub
Вроде на 4-м курсе теорию чисел читали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение13.12.2015, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13371
Москва

(Оффтоп)

ex-mathВы правы. Мне казалось, что после перехода на специалитет ТЧ перенесли на 5-й курс, но, похоже, не перенесли...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение14.12.2015, 13:03 


27/02/09
2374
Brukvalub в сообщении #1081715 писал(а):
Скачайте книгу Галочкин, Нестеренко, Шидловский Введение в теорию чисел

Спасибо за ссылку, в данный момент до нулей не дошел, застрял на функциях Чебышева :-)

Пока что в продолжение статистических штудий вопрос к специалистам и не только: Трпч интересуется количеством пч $\leqslant$ некоторого натурального $N$, а как быть с остальными натуральными числами $\leqslant N$?. Я имею в виду, какова доля или количество "полупростых" (являющихся произведением двух простых сомножителей) чисел $\leqslant N$, на треть простых, и т.д., прочих составных? То есть, мы отсортировываем все числа в порядке убывания суммы степеней пч в факторизации чисел (единственной по основной теореме арифметики), так сказать, в порядке уменьшения "степени составности числа". Ясно, что в таком Парето-распределении на первом месте (ранг $r=1$) будет число $2^{k_m}$, а по оси ординат отложено $k_m$ - максимально возможная для данного $N$ сумма степеней пч. Также ясно, что в правом конце будут все простые числа, для которых $k=1$. А как будет выглядеть сама кривая $K(r,N)$ ? Также интересно было бы построить связанную с распределением Парето плотность n(k), которая в частном случае при $k=1$ $\sim$ $N/\operatorname{Ln}(N)$. Скорее всего это есть в интернете, но при беглом просмотре не обнаружил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение14.12.2015, 18:03 


13/07/10
104
$\displaystyle\pi_{k}(x)\sim \left(\frac{x}{\log x}\right)\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!}$
$k$ - количество простых делителей с учетом кратности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение14.12.2015, 19:35 


27/02/09
2374
DiMath в сообщении #1082122 писал(а):
$\displaystyle\pi_{k}(x)\sim \left(\frac{x}{\log x}\right)\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!}$
$k$ - количество простых делителей с учетом кратности.

Да, Пуассон, проверил для для $N=128$ и $N=1000$. Более менее похоже

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение14.12.2015, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
DiMath
Но это для фиксированного $k $.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group