Тождество Эйлера и азрпч.

[druggist]

Sonic86 в сообщении #1081306 писал(а):

При этом выводе используются ложные утверждения типа

Мне все же представляется, что ложно Ваше утверждение о данном утверждении В. Босса. Соответственно все остальное самоуверенная чепуха

p.s. Мне это место у В. Босса представляется весьма тонким и нетривиальным, правильная оценка легко получается благодаря существенному огрублению ситуации (не случайно параграф называется "Грубые причины")

[ex-math]

druggist
Вам уже специалисты сказали, что это рассуждение на пальцах, позволяющее сделать правдоподобное предположение, но не доказать его. Не пытайтесь из этого слепить доказательство, это невозможно.

[Sonic86]

(Оффтоп)

druggist в сообщении #1081317 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1081306 писал(а):

При этом выводе используются ложные утверждения типа

Мне все же представляется, что ложно Ваше утверждение о данном утверждении В. Босса. Соответственно все остальное самоуверенная чепуха

p.s. Мне это место у В. Босса представляется весьма тонким и нетривиальным, правильная оценка легко получается благодаря существенному огрублению ситуации (не случайно параграф называется "Грубые причины")

Ну оставайтесь со своим наивным мнением. Мне по барабану.
В игнор.

[druggist]

ex-math в сообщении #1081329 писал(а):

Вам уже специалисты сказали, что это рассуждение на пальцах, позволяющее сделать правдоподобное предположение, но не доказать его. Не пытайтесь из этого слепить доказательство, это невозможно.

Я пытаюсь "слепить", если можно так выразиться, собственное понимание. Если основываться только на единственном допущении о существовании производной у функции $\pi(x)$ (истинной, т.е., "экспериментальной" сглаженной функции распределения пч, не путать с аппроксимацией $x/\ln(x)$), то есть, $\pi'(x)=\rho(x)$, вполне удовлетворительных доказательств можно сделать сколько угодно. Для этого надо взять уже готовое тождество, использующее фундаментальную теорему арифметики (а они все выведены из нее), например, упоминавшееся уже здесь равенство:

$$e^{-\gamma}=\lim\limits_{x\to\infty}^{} \ln(x) \prod\limits_{p\leqslant x}^{}(1-\frac{1}{p})$$

Для больших $x$ , взяв логарифм от обеих частей, положив $\ln(1-\frac{1}{p})\approx-\frac{1}{p}$ и заменив суммирование интегрированием, будем иметь:

$$-\gamma\sim \ln\ln(x)-\int\limits_{2}^{x}\frac{\rho(t)}{t}dt,$$

где $\rho(t)$ - искомая функция плотности пч. Продифференцировав по $x$, найдем

$$\rho(x)\sim\frac{1}{\ln(x)}$$

но пользы для понимания этот вывод практически не несет.

[DiMath]

druggist
А что Вы понять то хотите?

[druggist]

DiMath в сообщении #1081639 писал(а):

А что Вы понять то хотите?

Принцип получения асимптотики

[ex-math]

$\pi (x) $ почти всюду имеет производную, равную нулю. Сгладить можно по-разному, получая почти любую производную. Кроме того, асимптотические формулы нельзя дифференцировать.

На самом деле, азрпч довольно глубоко зашит в свойствах дзета-функции, как функции комплексного переменного. Существуют и элементарные доказательства, не использующие ТФКП, но они гораздо менее прозрачны.

[druggist]

ex-math в сообщении #1081676 писал(а):

Кроме того, асимптотические формулы нельзя дифференцировать.

Так у Куранта, он подробно объясняет возможность существования плотности, то есть, производной, я давал ссылку ("Доказательство теоремы о простых числах
на основе статистического метода").

ex-math в сообщении #1081676 писал(а):

а самом деле, азрпч довольно глубоко зашит в свойствах дзета-функции, как функции комплексного переменного.

Мне пока не удается уловить эту связь, но хотелось бы.

[Brukvalub]

druggist в сообщении #1081709 писал(а):

Мне пока не удается уловить эту связь, но хотелось бы.

Скачайте книгу Галочкин, Нестеренко, Шидловский Введение в теорию чисел (де-факто она является учебником по обязательному курсу теории чисел на 5-м курсе мех-мата ), в ней на стр. 45-54 строго доказан асимптотический закон распределения простых как раз с помощью свойств дзета-функции.

[ex-math]

(Оффтоп)

Brukvalub
Вроде на 4-м курсе теорию чисел читали.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

ex-mathВы правы. Мне казалось, что после перехода на специалитет ТЧ перенесли на 5-й курс, но, похоже, не перенесли...

[druggist]

Brukvalub в сообщении #1081715 писал(а):

Скачайте книгу Галочкин, Нестеренко, Шидловский Введение в теорию чисел

Спасибо за ссылку, в данный момент до нулей не дошел, застрял на функциях Чебышева

Пока что в продолжение статистических штудий вопрос к специалистам и не только: Трпч интересуется количеством пч $\leqslant$ некоторого натурального $N$, а как быть с остальными натуральными числами $\leqslant N$?. Я имею в виду, какова доля или количество "полупростых" (являющихся произведением двух простых сомножителей) чисел $\leqslant N$, на треть простых, и т.д., прочих составных? То есть, мы отсортировываем все числа в порядке убывания суммы степеней пч в факторизации чисел (единственной по основной теореме арифметики), так сказать, в порядке уменьшения "степени составности числа". Ясно, что в таком Парето-распределении на первом месте (ранг $r=1$) будет число $2^{k_m}$, а по оси ординат отложено $k_m$ - максимально возможная для данного $N$ сумма степеней пч. Также ясно, что в правом конце будут все простые числа, для которых $k=1$. А как будет выглядеть сама кривая $K(r,N)$ ? Также интересно было бы построить связанную с распределением Парето плотность n(k), которая в частном случае при $k=1$ $\sim$ $N/\operatorname{Ln}(N)$. Скорее всего это есть в интернете, но при беглом просмотре не обнаружил.

[DiMath]

$\displaystyle\pi_{k}(x)\sim \left(\frac{x}{\log x}\right)\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!}$
$k$ - количество простых делителей с учетом кратности.

[druggist]

DiMath в сообщении #1082122 писал(а):

$\displaystyle\pi_{k}(x)\sim \left(\frac{x}{\log x}\right)\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!}$
$k$ - количество простых делителей с учетом кратности.

Да, Пуассон, проверил для для $N=128$ и $N=1000$. Более менее похоже

[ex-math]

DiMath
Но это для фиксированного $k $.