Тождество Эйлера и азрпч.

[druggist]

Формула, которую привел DiMath (кстати, хотелось бы ссылочку), очевидна из статистических соображений, данных В. Боссом(см. стартовый пост), слегка модифицированных. Убираю под кат дабы не смущать.

(Оффтоп)

Из решета Эратосфена вероятность встречи в разложении любого числа из промежутка $\Delta x$ (промежуток с ростом $x$ также растет, но медленнее, как $\sqrt{x}$) простого числа $p_i$ приблизительно равна

$$\dfrac{1}{\Delta x}\frac{\Delta x}{p_i}$$

Если исходить из одинаковой, независимой от других вероятности "посещения" простым числом любого натурального из $\Delta x$, то имеем стандартную схему: $\Delta x (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...\frac{1}{p_i})$ "различимых частиц" случайным образом независимо друг от друга распределены по $\Delta x$ ячейкам. Вероятность ячейке быть заполненной ровно $k-1$ "частицами"(учитывая, что $k=1$ это пустая ячейка) дается распределением Пуассона, так как $\Delta x >> 1$. Параметр распределения - $\lambda$ - среднее число число частиц в ячейке, равное числу частиц, деленному на "длину" промежутка $\Delta x$, можно записать как (см. предыдущий пост):

$$\lambda=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...\frac{1}{p_i}\approx\int\limits_{2}^{x}\frac{\rho(t)}{t}dt\sim \ln (\ln x) $$

[ex-math]

druggist
Не надо писать "формула очевидна", если приводите эвристические соображения. Вас уже просили об этом.

-- 15.12.2015, 20:31 --

Тут у нас в дискусионном разделе есть пара "вероятностников", пытающихся в простые лезть. Так они даже вероятностное пространство не смогли определить в своих задачах.

Эти методы не годятся для доказательства. Только для эвристики, "угадывания" главных членов.

[DiMath]

ex-math в сообщении #1082165 писал(а):

DiMath
Но это для фиксированного $k $.

Как угодно:
При $1\leqslant k \leqslant (2-\varepsilon)\log\log x$, $0<\varepsilon<1$, $x\geqslant 3$

$\displaystyle\pi_{k}(x)=\frac{x}{\log x}F\left(\frac{k}{\log\log k}\right)\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!}\left(1+O_{\varepsilon}\left(\frac{1}{\log\log x}\right)\right)$

где $\displaystyle F(z)=\frac{1}{\Gamma(z+1)}\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{x}\left(1-\frac{z}{p}\right)^{-1}$

При $\displaystyle(2+\varepsilon)\log\log x\leqslant k\leqslant \frac{\log x}{\log 2}$

$\displaystyle\pi_{k}(x)=\frac{1}{4}\prod_{p>2}\left(1+\frac{1}{p(p-2)}\right)\frac{x}{2^{k}}\log\frac{x}{2^{k}}+O\left(\frac{x}{2^{k}}\log^{b}\frac{x}{2^{k}}\right)$

где $b$ - постоянная, $0<b<1$.

[ex-math]

DiMath
Интересно, а этот зазор в районе $2\ln\ln x $ не покрыли еще?

[Sonic86]

(DiMath)

DiMath в сообщении #1082477 писал(а):

$\displaystyle\pi_{k}(x)=\frac{x}{\log x}F\left(\frac{k}{\log\log k}\right)\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!}\left(1+O_{\varepsilon}\left(\frac{1}{\log\log x}\right)\right)$

А что означает $O_{\varepsilon}$? И откуда формула?

А, ой, понял. Странно: коэффициент $F\left(\frac{k}{\log\log k}\right)\neq 1$ - не совпадает с асимптотическим.
Кстати, есть асимптотические формулы для $\pi_k(x)$ с бОльшим числом членов.