2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 16:58 


27/02/09
2791
Азрпч - это асимптотический закон распределения простых чисел, ну а тождество Эйлера, понятно:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod\limits_{p\  prime}^{}\cfrac{1}{1+\frac{1}{p^s}}$$

Мне встречался элементарный ("на пальцах") вывод асимтотики для плотности простых чисел (а следовательно и для и для самой функции распределения) в двух местах. Одно в книге Куранта "Что такое математика?"(Приложение к Главе VIII), другое в у В. Босса в "Лекциях по математике" т. 14, Глава VIII "Распределение простых чисел". Основной момент в этом выводе следующий: доля чисел в промежутке $[ x, x+\Delta x ]$ не делящихся ни на одно простое число $p \leqslant x+\Delta x$ определяется как:
$$\rho (x)=(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p),$$ что по сути и есть плотность простых чисел. Здесь у меня вопрос, произведение означает допущение о случайном расположении простых чисел в интервале $[ x, x+\Delta x ]$ ? Насколько оно оправдано? И второе, если плотность можно выразить таким образом, то очевидно, что тождество Эйлера при $s=1$ это фактически и есть выражение для плотности $\rho (x)=1/\ln(x)$ - левая часть тождества Эйлера - это $\ln(n)$ при больших $n$, то бишь $x$, а справа величина, обратная плотности $1/\rho (x)$. Так ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
druggist в сообщении #1079431 писал(а):
доля чисел в промежутке $[ x, x+\Delta x ]$ не делящихся ни на одно простое число $p \leqslant x+\Delta x$ определяется как:
$$\rho (x)=(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p),$$

Прошу вас пояснить, где здесь используется "допущение о случайном расположении простых чисел в интервале $[ x, x+\Delta x ]$ ?" На мой взгляд, это предположение никак не используется (да и как можно использовать ложное предположение?) :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 17:12 


27/02/09
2791
Brukvalub в сообщении #1079438 писал(а):
Прошу вас пояснить, где здесь используется "допущение о случайном расположении простых чисел в интервале $[ x, x+\Delta x ]$ ?" На мой взгляд, это предположение никак не используется (да и как можно использовать ложное предположение?)

Тогда прошу вас пояснить, откуда это произведение у В. Босса в его выводе, т.е., почему плотность можно записать в виде произведения? :?
p.s. Я предполагал так, вероятность числу не быть деленным нацело ни на одно простое число меньшее $p$ равно произведению вероятностей не быть деленным на число от 2 до $p$, а это возможно, только когда эти вероятности независимы, или вероятность числу из интервала быть простым постоянна для любого $x$ из интервала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 17:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Здесь используется тот факт, что числа, делящиеся на фиксированное простое число, образуют арифметическую прогрессию, то есть они "распределены" в натуральном ряду равномерно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 17:39 


27/02/09
2791
Я, видимо, под "случайным расположением" имел в виду, что вероятность числу из интервала быть простым постоянна, они как бы равномерно "размазаны" по интервалу... а это по сути и есть случайное расположение :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
druggist в сообщении #1079448 писал(а):
Я, видимо, под "случайным расположением" имел в виду, что вероятность числу из интервала быть простым постоянна...

Поясните, из каких соображений вы вывели такую "закономерность"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 19:10 


27/02/09
2791
Представим $\Delta x$ ячеек, каждая из которых с вероятностью $1/p_i$ может быть заполнена частицей сорта $i$, тогда вероятность, что ячейка пустая равна произведению по $i$ сомножителей $(1-1/p_i)$, естественно, это вероятность незаполнения любой ячейки из интервала. А то, что, например, "двойки" ($p_1=2$) не случайно падают на диапазон $\Delta x$, а через одну - это здесь не учитывается (имхо), а используется только при вычислении вероятности: $\Delta x/p_i$ - это число частиц сорта $i$, $(\Delta x/p_i)/\Delta x$ это доля частиц(см. у В. Босса) - она же вероятность

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
И как отсюда следует, что
druggist в сообщении #1079448 писал(а):
вероятность числу из интервала быть простым постоянна
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 20:09 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
ИМХО, рассуждение из Босса - это махание руками - аналогия есть, но до придания ей строгости доказательства АЗРПЧ очень далеко. Т.е. если Вы о самом виде АЗРПЧ вообще не в курсе, то это "рассуждение на пальцах" Вам даст намек, но не более.
druggist в сообщении #1079431 писал(а):
тождество Эйлера при $s=1$ это фактически и есть выражение для плотности $\rho (x)=1/\ln(x)$
Это вот нужна что-то страшное большая сила воображения, чтобы считать тождество Эйлера при $s=1$ содержательным.

Есть такая книжка Кубилюс Вероятностные методы в теории чисел. Попробуйте ее почитать, м.б. чего-то найдете и нам объясните. Правда я не могу утверждать, что Вы найдете там именно это, т.к. я ее ниасилил, а поверхностный просмотр ничего не дает. В качестве примера в 1-й главе рассматривается теорема Харди-Рамануджана об $\omega (n)$ (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BD%D0%B0)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 20:14 


27/02/09
2791
Brukvalub в сообщении #1079511 писал(а):
И как отсюда следует, что

Не понял, "отсюда" это откуда?
Вероятность числу из интервала $\Delta x$ быть простым, она же доля простых чисел, она же плотность $\rho(x)$. В пределах интервала $\Delta x$ постоянна. По определению плотности.

-- Пт дек 04, 2015 21:26:49 --

Sonic86 в сообщении #1079517 писал(а):
Это вот нужна неслабая трава, чтобы считать тождество Эйлера при $s=1$ содержательным.

Нет, здесь все как раз прозрачно, ряд расходится, ну и что? Мне почему-то думается, что Гаусс именно так "на пальцах" пришел к своей замечательной апроксимации $Li(x)$, потом посчитал, убедился в хорошнм согласии с экспериментом, а рассуждение "на пальцах" выкинул, он много чего не публиковал, это известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Мне проще отвязаться, чем постичь смысл ваших высказываний... :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 21:05 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Хорошо, тогда я Вас буду просто тыкать:

druggist в сообщении #1079431 писал(а):
Основной момент в этом выводе следующий: доля чисел в промежутке $[ x, x+\Delta x ]$ не делящихся ни на одно простое число $p \leqslant x+\Delta x$ определяется как:
$$\rho (x)=(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p),$$
Неверно при $x=10^3, \Delta x=1$.
Доказательства нет.

druggist в сообщении #1079431 писал(а):
Здесь у меня вопрос, произведение означает допущение о случайном расположении простых чисел в интервале $[ x, x+\Delta x ]$ ?
Оно не случайно. Оно детерминировано.
Попробуйте уточнить высказывание.

druggist в сообщении #1079501 писал(а):
Представим $\Delta x$ ячеек, каждая из которых с вероятностью $1/p_i$ может быть заполнена частицей сорта $i$, тогда вероятность, что ячейка пустая равна произведению по $i$ сомножителей $(1-1/p_i)$,
Не имеет отношения к распределению простых.

(последняя попытка)

неужели Вы всерьез думаете, что Чебышев, Гаусс, Риман, Сельберг и еще много людей совершенно зря мучаются с $\zeta(s)$, решетом, свертками с функциями Мебиуса и прочими ужасными вещами?
Проблемы с вышеописанным подходом упомянуты то ли в Прахаре в саааамом начале, то ли в Хооли опять же в сааамом начале. Если будет интерес, я Вам найду.


upd: вспомнил блин:
$\dfrac{\pi(x)}{x}\sim\dfrac{1}{\ln x}$, но $\prod\limits_{p\leqslant x}\left(1-\dfrac{1}{p}\right)\sim\dfrac{e^{-\gamma}}{\ln x}$, где $\gamma$ - постоянная Эйлера.
Т.е. вывод не просто не обоснован: доказываемое попросту ложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение04.12.2015, 21:27 


27/02/09
2791
Sonic86 в сообщении #1079533 писал(а):
доказываемое попросту ложно.

А что ложно-то, я не понял? $\rho(x)\sim1/\ln(x)$, что и требовалось доказать, а интеграл дает $Li(x)$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.12.2015, 00:38 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Исправьте стартовое сообщение.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение10.12.2015, 00:20 


20/03/14
12041
 i  Возвращено.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group