Совместные чтения

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1070779 писал(а):

Нет. Я не предлагаю добавлять то, что не является множеством. Я предлагаю добавить одноэлементные множества.

В ZFC так нельзя. В ZFC элементами множества могут быть только другие множества. Поэтому, в частности, есть ровно одно одноэлементное множество - элемент которого есть пустое множество. Это очень используется, например при построении теории ординалов и ещё много где.
Одноэлементные множества из "стульев" есть в ZFA - аксиоматической теории с "атомами". Атомы - это как раз эти элементы, не являющиеся множествами.

Суть моего сообщения была в том, что ZFC не отрицает существования множеств (однако только таких, элементы которых - другие множества), которые не могут быть выведены из аксиом. Точнее, такие множества могут существовать, а могут не существовать, про них ZFC ничего не говорит. Например, множества промежуточной мощности в проблеме континуума. Про некоторые из таких "невыводимых" множеств всё же известно, что они не существуют - например, множество всех множеств. Про некоторые - не известно, про некоторые - не может быть установлено.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1070838 писал(а):

В ZFC элементами множества могут быть только другие множества.

Это аксиома такая? Или доказуемая теорема?

Давайте с этим переместимся куда-то или завяжем. А то в тематические вопросы углубляемся, а тема замышлялась как "книжный клуб"...

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1070839 писал(а):

Это аксиома такая? Или доказуемая теорема?

Ну, просто в ZFC базовыми понятиями являются "множество" и отношение "принадлежит" между двумя множествами. Это даже специально не выделяют в аксиому, а подразумевают.
На самом деле, в ZFC просто больше ничего нет вообще, кроме множеств. Поэтому, если написано $x\in y$, то $x$ и $y$ здесь - множества. Вообще, если написано $x$ (где угодно), то $x$ - это множество.
Числа всякие и прочее - в последовательной ZFC это тоже множества. Например, натуральные - конечные ординалы.

[arseniiv]

(Множества.)

Mikhail_K в сообщении #1070838 писал(а):

Поэтому, в частности, есть ровно одно одноэлементное множество - элемент которого есть пустое множество.

Эмм, почему одно-то? Одноэлементных же столько же, сколько множеств вообще.

Munin
(Частично дубль предыдущего сообщения.) В ZFC есть аксиома экстенсиональности, говорящая, что два элемента равны ттт, когда их они состоят из одних и тех же, т. е. принадлежность одному эквивалентна принадлежности второму, что и приносит смысл звать элементы этой теории множествами. Чтобы множество, содержащее стул, можно было как-то использовать, сам стул должен быть тоже объектом теории, но тогда, т. к. он не содержит ничего, он по экстенсиональности равен пустому множеству, если мы не подкорректируем ZFC — например, сделаем переменные двух сортов (множества и упомянутые урэлементы/атомы), и в экстенсиональности позволять только переменные-множества; или можно ввести предикат «это атом» и все кванторы переделать так, чтобы они были, когда надо, только по атомам/множествам.

[Mikhail_K]

(Множества)

arseniiv в сообщении #1070857 писал(а):

Эмм, почему одно-то? Одноэлементных же столько же, сколько множеств вообще.

Согласен, написал ерунду.
Единственным элементом одноэлементного множества может являться любое множество.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1070857 писал(а):

В ZFC есть аксиома экстенсиональности

Вот не знал. Довольно неудобная, получается, на практике штука. Буду использовать ZFA.

И всё на этом!

[arseniiv]

(Множества.)

Munin в сообщении #1070865 писал(а):

Довольно неудобная, получается, на практике штука.

Почему? Она не мешает постулировать, скажем, попарное неравенство какой-то кучи констант, а потом их использовать как захочется. Если констант не больше счётного числа, такая ZFC-с-константами будет иметь как минимум столько же моделей, сколько ZFC. Но значения этих констант будут множествами, пусть нам и не важно какими.

Потому-то атомы и не трогают — с ними возня тоже есть, а натуральные числа в ZFC довольно просто получаются, и после того, как они в кармане, можно забыть, что они технически множества, и хватит их для любых нужд.

[Anton_Peplov]

g______d в сообщении #1070716 писал(а):

Видимо, эта традиция исходит от "примеров" вроде множества стульев в комнате и т. п.

Когда Гильберт в "Основаниях геометрии" сформулировал аксиомы евклидовой геометрии и сказал, что это определения точек и прямых, Фреге возразил ему: это не определение, потому что из него невозможно понять, являются ли точкой его, Фреге, карманные часы. Гильберт ответил, что сущность аксиоматического метода в том и состоит, что можно "точки и прямые" заменить на "стулья и пивные кружки", и для математики ничего не изменится.

Тут два разных понимания того, что такое определение. Первый, восходящий еще к античным мудрецам, на современном языке можно было бы выразить так. Пусть $A$ - некоторое множество объектов, в идеале - множество всех мыслимых объектов, но такой широкий замах неизбежно приводит к противоречиям. Пусть $P(x)$ - одноместный (это важно!) предикат с предметной областью $A$ и $A_{true} \subset A$ - множество тех $a \in A$, для которых предикат истинен. Тогда $A_{true}$ можно назвать понятием, а предикат $P(x)$ - его определением. При этом предикат:
1) формулируется на естественном языке
2) интерсубъективно ясен, то есть еще не нашлось такого $x$, относительно которого возникли бы сомнения, истинен $P(x)$ или ложен
3) не создает логического круга (т.е. понятие $A_{true}$ нельзя определить через само $A_{true}$).

По сей день это единственное известное понимание термина "определение" для всех, кто не знаком с формальными теориями (а с ними, кроме профессиональных математиков, не знаком почти никто). И при таком подходе к понятию определения множество, точка, прямая и натуральное число - действительно неопределимые вещи.

И есть другой подход, который ввел в оборот вождь и учитель Гильберт и о котором говорит arseniiv. В этом подходе определяемые объекты вводится сразу же вместе с отношениями, в которых они находятся друг к другу. Так определяются, скажем, шахматные фигуры. Нет смысла спрашивать, являются ли карманные часы Фреге шахматным конем - если поставить их на доску и играть ими в шахматы, как конем, то они будут конем. Однажды я попал в больницу и маялся там от безделья (в больницу я не собирался, и книг у меня с собой не было). Так мы с товарищем по несчастью играли в шашки корками от лимона и апельсина.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1070880 писал(а):

2) интерсубъективно ясен, то есть еще не нашлось такого $x$, относительно которого возникли бы сомнения, истинен $P(x)$ или ложен

Это, фактически, определение множества по Кантору; указанный момент объясняется в третьей книге. Для нужд математики это определение слишком узко.

Вообще, ладно, предлагаю пока сузить обсуждение до первых 50 страниц книги 3 (до ZFC).

[Anton_Peplov]

А я предлагаю уважаемым модераторам отделить эту ветку в новую тему под названием, скажем, "об определениях множества и определениях вообще":) Здесь она явно не к месту.

[Munin]

Итак,

2-е чтение.

g______d в сообщении #1070360 писал(а):

Я могу предложить (только сами ищите тексты: они пока существуют только в виде черновиков) Вавилов Н. А., "Конкретная теория групп", "Конкретная теория колец", "Не совсем наивная теория множеств".

g______d в сообщении #1070884 писал(а):

Вообще, ладно, предлагаю пока сузить обсуждение до первых 50 страниц книги 3 (до ZFC).

Всем интересующимся могу скинуть эту книгу через ЛС (ссылки не даю по воле автора; в современности своей копии не уверен).

Я, правда, начал про кольца читать, ну да это не "читать", а баловство было... :-)

[g______d]

Если что, книга есть на library genesis. Просто не хочется прямые ссылки куда-то выкладывать.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1070880 писал(а):

Пусть $A$ - некоторое множество объектов, в идеале - множество всех мыслимых объектов, но такой широкий замах неизбежно приводит к противоречиям.

А почему мы не можем мыслить об аксиоматически определяемых объектах? Тогда соответствующим определением в этом первом смысле будет соответствие аксиомам, т. е. «спрятанное» определение во втором смысле. Скорее всего, коллекцию мыслимых объектов отсюда ещё формализовать и формализовать.

P. S.
Почитал ту книгу немножко ещё. Автор порой довольно резок — молчаливо списываю это на статус черновика и возможные возвращения к упомянутому ниже по тексту. За библиографию ему, наверно, спасибо: надо будет кое-что потом посмотреть. Ну и, если добавить совсем иррелевантный комментарий, мне не нравится использование tt для как средства форматирования кусков обычного текста. (И всё-таки бросается в глаза, когда автор собирается быть доскональным в непосредственно не связанных с темой вопросах, но не доходит в этом до конца (хотя иногда доходит), потенциально вводя в заблуждение.)

Я, скорее, подхвачу нить беседы, если будет ещё какая-та, а начинать — нет.

[Munin]

g______d в сообщении #1070884 писал(а):

Вообще, ладно, предлагаю пока сузить обсуждение до первых 50 страниц книги 3 (до ZFC).

Читаю рекомендованную книгу. С первого захода проскочил до ZFC включительно, и интересно было почитать, довольно всё доходчиво! Вопросы, которые я тут тупо задавал, все сняты.

Но мои математические мысли выеденного яйца не стоят. Чтобы интересно что-то обсудить, надо выбрать тему более "гуманитарную"... Вот что мне заметилось:

1) Вавилов цитирует в эпиграфах (и видимо, согласен с этими цитатами) такие высказывания:

Цитата:

Современному математику и не придет в голову, что какое-либо соединение математических символов может иметь "смысл" до того, как ему придан смысл с помощью определения. Но это не было тривиальностью даже для наиболее выдающихся математиков восемнадцатого века. Определения не были в их обычае; для них не было естественно говорить ''под $X$ мы понимаем $Y$". С некоторыми оговорками верно будет сказать, что математики до Коши спрашивали не "как определить $1-1+1-\ldots$?", а "что есть $1-1+1-\ldots$?"; и этот склад мышления приводил их к ненужным затруднениям и спорам, зачастую, по существу, число словесного характера.


Гарольд Харди


После того, как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, все дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.


Андрей Колмогоров

И вот это контрастирует с высказываниями Арнольда в первом предложенном мной тексте, причём с апелляциями к имени того же Колмогорова:

Цитата:

Но сам Колмогоров всегда несколько скептически относился к своей любимой математике, воспринимая её как маленькую часть естествознания и легко отказываясь от тех логических ограничений, которые накладывают на правоверных математиков путы аксиоматически-дедуктивного метода. <...>

Что же касается наиболее интересной части задачи, то есть оценки размерности снизу..., то здесь математики оказались не на высоте, так как, по своей привычке, подменили реальную естественнонаучную задачу своей формально-аксиоматической абстрактной формулировкой с её точными, но предательскими определениями.

Дело в том, что аксиоматическое понятие аттрактора было сформулировано математиками с потерей некоторых свойств физического предельного режима движения, каковое (не определённое строго) понятие математики и пытались аксиоматизировать, вводя термин "аттрактор".

Мне кажется, здесь обсуждается довольно важный вопрос:

1- существуют ли понятия до и помимо определения;
2- и как частный случай, существуют ли теории и факты до и помимо аксиоматики.

Лично я скорее сторонник позиции "да, существуют".

Хотя мне кажется, в данном обсуждении обе стороны имеют право на свои высказывания, и в математике ситуация не может быть разрешена однозначно.

Но вне математики, я говорю сейчас о естественных науках, я уверен в том, что определения ни в коем случае не должны подменять понятия, и целиком брать на себя их функции.

И хотя это довольно важная часть моего мировоззрения, мне ещё не доводилось обсудить её с интересными глубоко мыслящими собеседниками :-)

[Anton_Peplov]

Пусть мы сказали, что человек - это двуногое, лишенное перьев, а нам швырнули ощипанную курицу. Что мы сделаем, если мы математики? Если нам уже удалось доказать интересные теоремы о человеке в таком определении, то, конечно, жалко будет их терять. Мы можем переименовать двуногое, лишенное перьев, скажем, в человекоморфное существо, а можем все-таки оставить ощипанную курицу называться человеком, а для своих сородичей придумать другое определение, скажем, "вполне человек" - частный случай человека. Это вопрос вкуса. Если же мы не успели доказать из своего определения ничего интересного, мы, скорее всего, просто отбросим его как слишком общее.

И в том, и в другом, и в третьем случае никто не снимает задачу отыскать такое определение, под которое подходит Сократ и не подходит курица. И такие задачи бывают даже в математике - такова была, скажем, задача определить размерность топологического пространства так, чтобы для канонической прямой она была равна единице, а для канонической плоскости двойке. Тем более таких задач полно в физике. Если эксперимент формирует у нас интуитивное понятие "предельного режима движения" и мы видим, что точное понятие аттрактора формализует не все его свойства - надо искать другую формализацию. Возможно, частный случай аттрактора, возможно, напротив, обобщение, а возможно, что-то пересекающееся без включения. Но задачу формализовать наблюдаемое так или иначе придется решать. Потому что, если существующая формализация неточна, то ее предсказания разойдутся с удачно поставленным экспериментом.