Но как, например, догадались использовать эти числа в ТОЭ, я до сих пор ясно не пойму
Вообще-то можно построить ТОЭ без комплексных чисел. Но неудобно.
К использованию комплексных чисел в ТОЭ можно прийти разными путями.
Как простой вариант размышлений, от которого можно оттолкнуться:
Переменный ток и напряжение
фиксированной частоты характеризуются двумя параметрами: амплитудой и фазой. Геометрическая интерпретация комплексного числа намекает, что амплитуду и фазу можно одновременно "закодировать" в одном комплексном числе. Амплитуда = модулю комплексного числа, фаза = углу. Только этого было бы недостаточно. Полно других способов "закодировать" амплитуду и фазу. Например, вектором из двух элементов. Почему именно комплексные числа? B почему именно такая "кодировка"? Можно ведь по-другому. Например, считать действительную часть амплитудой, а мнимую часть фазой.
Оказывается, комплексные числа обладают свойством, позволившим радикально упростить теорию линейных цепей переменного тока. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а угол (фаза) равен сумме углов (фаз). Иначе говоря, умножение одного комплексного числа на другое соответствует преобразованию масштабирования с одновременным поворотом. Это свойство чисто математического происхождения, без всякой связи с ТОЭ. Оно позволяет естественным образом ввести понятие комплексного сопротивления. Свойство легко доказать через представление комплексного числа в тригонометрической форме
или в форме комплексной экспоненты
.
В случае с постоянным током сопротивление - коэффициент пропорциональности между током и напряжением на участке цепи. Это действительное число, множитель в законе Ома
. Было бы здорово, если бы закон Ома для линейных цепей переменного тока остался таким же. Это оказывается возможным, если ток, напряжение и активно-реактивное сопротивление определённым образом закодировать как комплексные числа, как раз из-за свойств их произведения. Комплексное сопротивление "умеет" одновременно трансформировать и амплитуду (масштабирование) и фазу (поворот).
Например, при протекании переменного тока
и частотой
через катушку с индуктивностью
амплитуда напряжения на катушке
. Если принять
, получаем закон Ома. Но! Мы потеряли информацию об изменении фазы. Из законов физики и опытов известно, что напряжение на катушке будет опережать ток на 90 градусов. Значит, комплексное сопротивление должно умножить амплитуду на
, а к фазе прибавить 90 градусов. Достаточно легко показать, что умножение на
(мнимую единицу) приводит к повороту на 90 градусов, так что нужное нам преобразование можно выполнить умножением тока (в комплексом представлении) на комплексное число
, которое называют индуктивным сопротивлением
. Закон Ома сохраняет свой вид:
Аналогично для конденсатора, и, в общем виде, для произвольного активно-реактивного сопротивления. Далее можно показать, что законы Кирхгофа при использовании комплексного представления токов и напряжений не меняют свой вид.
В итоге, что получается: законы Кирхгофа и закон Ома для линейных цепей переменного тока ничем не отличаются от законов для постоянного тока, за исключением использования комплексного представления величин. При этом комплексные числа подчиняются тем же алгебраическим законам, что и действительные. Значит, можно автоматически распространить все выведенные для постоянного тока методы на линейные цепи переменного тока. В этом и есть основная ценность выбранного комплексного представления. Обратите внимание, что без определённых свойств произведения и без представления именно через амплитуду и фазу ничего бы не работало, и для цепей переменного тока пришлось бы строить отдельную теорию со своими методами.
В учебниках ТОЭ обычно приходят к комплексному представлению через решение дифуров.