Вторая производная

[мат-ламер]

Вопрос возник при обсуждении темы http://dxdy.ru/topic101900.html. Я предложил топикстартеру подсчитать вторую производную (дифференциал) от многочлена, имея в виду, что это будет квадратичная форма. Топик-стартер со мной не согласился

Lenar0809 в сообщении #1063987 писал(а):

Но в данном случае ... вторые частные производные не являются квадратичными формами.

В связи с этим у меня к преподавателям вопрос, а как вы в своих курсах определяете вторую производную (дифференциал)? (С целью избежать в дальнейшем разногласия в терминологии между спрашивающими и помогающими). Понимают ли всё студенты? На пальцах объясню, как это я понимаю. Для простоты будем рассматривать числовую функцию на $R^n$. Первая производная - это линейная форма на $R^n$. Вторая производная - это прежде всего производная от первой производной. Т.е. линейная функция на $R^n$ со значением на линейных формах на $R^n$. Очевидно, что пространство этих функций изоморфно пространству квадратичных форм на $R^n$. Т.е. вторую производную можно представлять как квадратичную форму. С этой формой можно связать линейный оператор, который порождает её, что может пригодиться, например, при записи формулы Тейлора. Выбрав базис, квадратичную форму можно задать матрицей, которую иногда называют матрицей Гессса или гессианом. Термин вторая производная и второй дифференциал равнозначны. Иногда базис в пространстве, где определён второй дифференциал обозначают символами $dx, dy ... $, но это не обязательно. (Обратившись к современным учебникам, я понял, что не каждый студент тут способен понять написанное. В старых учебниках как-то понятнее.)

[provincialka]

Может, для чистых математиков это и подойдет. А я, по-простому, говорю о частных производных, с одной стороны, и о дифференциалах -- с другой. "Производную" функции нескольких переменных вообще не вводим...

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1064469 писал(а):

Вторая производная - это прежде всего производная от первой производной. Т.е. линейная функция на $R^n$ со значением на линейных формах на $R^n$. Очевидно, что пространство этих функций изоморфно пространству квадратичных форм на $R^n$.

Вообще-то билинейных. А с квадратичными надо подольше повозиться: сначала доказать симметричность.

Кроме того, в общем случае возникают сложности:

Oleg Zubelevich в сообщении #874982 писал(а):

Munin в сообщении #874980 писал(а):

А в ней дано определение, согласно которому дифференциал $n$-го порядка (он же $n$-я производная) $f^{(n)}(x)\in\mathcal{L}(X^n;Y)$ - то есть, как я понимаю, всё-таки тензор


это инвариантный объект, но не тензор, линейный оператор $A:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$ не тензор, просто по определению. (в области определения и в области значений координаты меняются независимо)
"$f^{(n)}(x)\in\mathcal{L}(X^n;Y)$" -- я кстати ровно это и имел в виду:

Oleg Zubelevich в сообщении #874901 писал(а):

Однако, старшим производным тоже можно придать инвариантный смысл и это хорошо известно, см. Колмогоров-Фомин

-- 20.10.2015 00:15:21 --

g______d в сообщении #733924 писал(а):

Если нужен инвариантный объект без дополнительной структуры, то нужно брать не вторые ($k$-е) производные, а "сразу все производные порядка не выше $k$". Т. е. вместо гессиана брать совокупность гессиана, градиента и значения функции; это называется 2-jet и является инвариантным объектом (сечением расслоения джетов).

[мат-ламер]

provincialka в сообщении #1064487 писал(а):

"Производную" функции нескольких переменных вообще не вводим...

А второй дифференциал?

-- Вт окт 20, 2015 22:32:34 --

Munin в сообщении #1064558 писал(а):

Кроме того, в общем случае возникают сложности:

Про какой общий случай идёт речь?

-- Вт окт 20, 2015 22:40:19 --

Munin в сообщении #1064558 писал(а):

Вообще-то билинейных.

Виноват. Я по умолчанию предполагал, что общеизвестна теорема, что если вторая производная существует, то она симметрична. Но сейчас вижу, что выразился неточно.

[Munin]

Она общеизвестна, но вы-то находитесь в разделе "Вопросы преподавания".

То есть, если вы строите программу учебного курса, то надо уточнять, известна ли она студентам на тот момент, когда вы вводите все ваши конструкции и построения. Если это первое их знакомство со второй производной - то нет, им ещё не известна. Потрудитесь дать.

[ewert]

provincialka в сообщении #1064487 писал(а):

"Производную" функции нескольких переменных вообще не вводим...

Вообще-то напрасно. Тут дело даже не столько в самой производной, сколько в вытекающем из неё правиле дифференцирования сложной функции. Оно ведь получается ровно таким же, что и для функции одной переменной; и что с того, что перемножаются не числа, а матрицы (операторы упоминать не обязательно)?... Какая разница, матрицы-то к этому моменту народ давно уже привык перемножать. Т.е. настолько привык, что, возможно, уже и забыл, как именно; но что их перемножать как-то можно -- точно помнит. А больше ничего и не нужно.

А вот перечислять многочисленные частные правила, не сформулировав общего -- уже воистину заколебёшься. Так что тут вопрос даже не теоретический, а сугубо практический.

[мат-ламер]

Посмотрел вопрос по воду употребления термина "вторая производная (дифференциал)" в учебниках. В учебниках анализа для математиков употребляют термины "производная" и "диффференциал" равносильно. Т.е. студент понимает, что это синонимы. Причём вторая производная понимается как производная от производной. В старых российских учебниках по функциональному анализу вторая производная понимается как отображение, а второй дифференциал как значение этого отображения для заданного дифференциала независимой переменной. В учебниках для инженеров и физиков сначала вводятся вторые частные производные. Потом из них строят матрицу. Потом определяют второй дифференциал как симметричную форму, определяемую этой матрицей. Причём формой от дифференциалов независимых переменных $dx_1,...,dx_n$. В чём сакральный смысл использования обозначений $dx_1,...,dx_n$ для приращения независимой переменной остаётся загадкой. По-моему гораздо понятней использовать для этого дела $h_1,...,h_n$.

-- Ср окт 28, 2015 20:33:52 --

И только в одном месте (учебник по оптимизации) вторая производная определяется сразу как квадратичная форма. Правда после этого предлагается доказать в качестве упражнения, что матрица этой формы есть матрица вторых производных. По-моему это хороший подход для прикладников.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1067794 писал(а):

В чём сакральный смысл использования обозначений $dx_1,...,dx_n$ для приращения независимой переменной остаётся загадкой.

Есть распространённые обозначения $\tfrac{dt}{dx}$ и $\int f\,dx,$ и в том числе их аналоги в анализе многих переменных. Чтобы не путаться в обозначениях, удобно использовать однообразные.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1067794 писал(а):

В чём сакральный смысл использования обозначений $dx_1,...,dx_n$ для приращения независимой переменной остаётся загадкой.

Эти символы естественно использовать в дифференциальных формах.

[Brukvalub]

мат-ламер в сообщении #1067794 писал(а):

В чём сакральный смысл использования обозначений $dx_1,...,dx_n$ для приращения независимой переменной остаётся загадкой. По-моему гораздо понятней использовать для этого дела $h_1,...,h_n$.

Тому есть множество причин. Одна из них кроется в инвариантности первого дифференциала, другая - в удобстве этого обозначения для "автоматизации" замены переменной при интегрировании, и т.п.

[мат-ламер]

Brukvalub в сообщении #1067832 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1067794 писал(а):

В чём сакральный смысл использования обозначений $dx_1,...,dx_n$ для приращения независимой переменной остаётся загадкой. По-моему гораздо понятней использовать для этого дела $h_1,...,h_n$.

Тому есть множество причин. Одна из них кроется в инвариантности первого дифференциала, другая - в удобстве этого обозначения для "автоматизации" замены переменной при интегрировании, и т.п.

По вашему ответу я понял, что эти обозначения могут внести путаницу. Я говорил про приращение независимой переменной. При чём тут интеграл? Там тоже дифференциалы. Но там их смысл абсолютно другой. Насчёт дифференциалов в том смысле, что я имел в виду. Приятно ли видеть формулу Тейлора в таком виде
$f(x+dx)=f(x)+(f'(x),dx)+(f''(x)dx,dx)/2+...$ ? (Что-то похожее я видел в учебнике Канатникова (МГТУ). За точность обозначений не ручаюсь.) Если $x$ и $dx$ элементы одного пространства, то причём тут буква $d$ ?

-- Чт окт 29, 2015 21:22:31 --

provincialka в сообщении #1064487 писал(а):

"Производную" функции нескольких переменных вообще не вводим...

Если вам предстоит преподавать анализ данных и вы будете объяснять студентам нелинейную задачу наименьших квадратов и методы её решения? Вторая производная (или второй дифференциал) будет тут кстати.

[provincialka]

мат-ламер в сообщении #1068172 писал(а):

Вторая производная (или второй дифференциал)

Я больше люблю дифференциал. Да и вообще, почему бы не ввести "оператор дифференцирования", но не называть его все-таки производной.

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1068172 писал(а):

Если вам предстоит преподавать анализ данных

Уже. Года 3-4 как.

-- 29.10.2015, 20:38 --

Знаете, когда мы начинаем функции многих переменных, некоторые студенты дифференцируют примерно так: $(x^2+y^2)' =2x + 2y$. Вот и приходится им внушать, что в многомерном случае нет "производной", а только "частная производная". Конечно, производную как отображение или как оператор можно рассматривать... Но, думаете, стоит ее давать таким товарищам? Хм.
Надо, но на следующем этапе. Например, в функане, что ли.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1068172 писал(а):

При чём тут интеграл? Там тоже дифференциалы. Но там их смысл абсолютно другой.

А в каком смысле другой?

мат-ламер в сообщении #1068172 писал(а):

Если $x$ и $dx$ элементы одного пространства, то причём тут буква $d$ ?

Нет, разумеется, это элементы не одного пространства. $dx$ - элемент кокасательного пространства.

provincialka в сообщении #1068179 писал(а):

Знаете, когда мы начинаем функции многих переменных, некоторые студенты дифференцируют примерно так: $(x^2+y^2)' =2x + 2y$.

А вот довольно интересно... в свете того, что

мат-ламер в сообщении #1067794 писал(а):

В учебниках анализа для математиков употребляют термины "производная" и "диффференциал" равносильно. Т.е. студент понимает, что это синонимы.

формула $d(x^2+y^2)=2x\,dx+2y\,dy$ вполне законна, а то, что вы процитировали - нет. Может быть, это всё-таки не синонимы? :-)

[provincialka]

Да нет, скорее мой пример -- не производная... Тут производной будет вектор $(2x,2y)$. но на этом этапе студентам сложновато это понять...

[Munin]

Я ещё не настолько забыл производные :-)