Дифференциальные формы

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #733845 писал(а):

на многообразиях касательные пространства рассматриваются

Со вторым дифференциалом так не получится. Если бы Ваше определение обобщалось на касательные пространства, то второй дифференциал был бы тензором, а он не; достаточно посмотреть на закон преобразования (оттуда растут символы Кристоффеля и т. д.). И вообще, возьмите линейную функцию, у нее гессиан нуль, а перейдите в криволинейные координаты --- сразу не нуль.

Если пытаться записать инвариантное определение, то нужно взять градиент функции, рассмотреть его как 0-форму со значениями в $T^*M$ и взять от нее внешний дифференциал. Получится 1-форма, коэффициент которой тоже 1-форма, т. е. в координатах матрица $n\times n$. Но внешний дифференциал для форм со значениями в расслоениях просто так не определен, нужна дополнительная структура (связность).

Если нужен инвариантный объект без дополнительной структуры, то нужно брать не вторые ($k$-е) производные, а "сразу все производные порядка не выше $k$". Т. е. вместо гессиана брать совокупность гессиана, градиента и значения функции; это называется 2-jet и является инвариантным объектом (сечением расслоения джетов).

-- 07.06.2013, 13:14 --

arschloach в сообщении #732885 писал(а):

Почему при дифференцировании дифференциальной формы первого порядка получаем вторую форму?
Можете привести пример дифференцирования конкретной первой формы на пространстве двухмерных векторов с получение второй формы

Присоединяюсь к вопросу остальных участников темы. Насколько подробно Вы изучали дифференциальные формы? Если не очень подробно/вообще не изучали, то зачем Вам ответ на только этот вопрос?

[arschloach]

Цитата:

Если не очень подробно/вообще не изучали, то зачем Вам ответ на только этот вопрос?

ну почему только, можно еще на какие-нибудь

[provincialka]

arschloach в сообщении #733915 писал(а):

Цитата:

и что же является вторым аргументом формы? В некотором смысле там два ковектора, но они совпадают.

не знаю, просто читал что при внешнем дифференцировании степень формы увеличивается на единичку

Ну, знаете, у квадратичной формы тоже степень больше на единичку, чем у линейной, однако она не билинейная и зависит от одного аргумента.
Самое первое, что нужно понять - что значок $\wedge$ обозначает косое произведение,т.е. $a\wedge b=-b\wedge a$. Вопрос на засыпку: чему равно $a\wedge a$?

[arschloach]

(Оффтоп)

нулю?

[provincialka]

arschloach в сообщении #733955 писал(а):

(Оффтоп)

нулю?

Точно. А что так секретно? Кстати, вы на чем рассматриваете свои формы: на многообразии, или просто на плоскости?

[arschloach]

на плоскости пока

[provincialka]

Ну и никакой прблемы. Имеем $\omega_0=f(x,y)$. Первый дифференциал совпадает с обычным, $\omega_1=Df=df=f'_xdx+f'_ydy$. При втором дифференцировании появляется произведение дифференциалов, и его уже нужно считать косым:
$D\omega_1=d(f'_x)\wedge dx+d(f'_y)\wedge dy=(f''_{xx}dx+f''_{xy}dy)\wedge dx+(f''_{yx}dx+f''_{yy}dy)\wedge dy$. Теперь раскройте скобки и приведите подобные, с учетом двух свойств косого произведения.

[arschloach]

да

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #733924 писал(а):

Со вторым дифференциалом так не получится. Если бы Ваше определение обобщалось на касательные пространства

какое именно определение Вы называете "моим" и почему?

[provincialka]

Поправка к моему предыдущему посту. Второй дифференциал можно считать от пооизвольной формы первого порядка, но принцип тот же. От дифференциала получаем 0, $DD\omega =0$

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #733972 писал(а):

g______d в сообщении #733924 писал(а):

Со вторым дифференциалом так не получится. Если бы Ваше определение обобщалось на касательные пространства

какое именно определение Вы называете "моим" и почему?

Расширение процитированного Вами определения из КФ на многообразия; по крайней мере, я так понял следующую фразу

Oleg Zubelevich в сообщении #733845 писал(а):

на многообразиях касательные пространства рассматриваются

[Oleg Zubelevich]

процитируйте плз, где именно я утверждал, что $\frac{\partial ^2 f}{\partial x^j\partial x^i}$ являются компонентами тензора?

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #733995 писал(а):

процитируйте плз, где именно я утверждал, что $\frac{\partial ^2 f}{\partial x^j\partial x^i}$ являются компонентами тензора?

В явном виде нигде. Но если в определение из КФ подставить касательные пространства и скалярные функции, то будет $\mathcal L(T_x M,\mathcal L(T_x M,\mathbb R))=\mathcal L(T_x M,T_x^* M)$, а это уже тензоры.

Давайте так: если я неправильно понял определение по фразе про касательные пространства, сформулируйте правильное.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #733638 писал(а):

в бескоординатном виде, на языке множеств и отображений.

Дело вкуса, всего лишь. Пенроуз как-то пытался примирить сии две враждующие фракции (координатников и бескоординатников), но судя по всему это попросту невозможно.

[g______d]

Утундрий в сообщении #734005 писал(а):

Дело вкуса, всего лишь. Пенроуз как-то пытался примирить сии две враждующие фракции (координатников и бескоординатников), но судя по всему это попросту невозможно.

Никаких враждующих фракций на серьезном уровне мне не известно. В тех случаях, когда возможны обе формы, они эквивалентны и их использование — вопрос удобства. Тем не менее, есть довольно много ситуаций, когда координатная запись невозможна. Например, в некоммутативной геометрии и алгебраической геометрии. Бывает, что многообразие есть, и касательное пространство есть, а координат в них нет (например, если мы над конечным полем или вообще некоммутативным кольцом).

С другой стороны, в анализе многие вопросы проще сразу перенести на $\mathbb R^n$.