2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Вторая производная
Сообщение30.10.2015, 18:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #1068179 писал(а):
почему бы не ввести "оператор дифференцирования",

Это (для непродвинутых мемберов) можно (и полезно) разве что в линейных дифурах, где к понятию "оператор" не предъявляется каких-то очень уж жёстких требований.

В анализе же это не только вредно, но и не нужно. Там нужно наоборот -- интерпретировать производную как некий оператор. А это совсем другой коленкор, нежели оператор дифференцирования.

-- Пт окт 30, 2015 20:12:29 --

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1067794 писал(а):
В чём сакральный смысл использования обозначений $dx_1,...,dx_n$ для приращения независимой переменной остаётся загадкой. По-моему гораздо понятней использовать для этого дела $h_1,...,h_n$.

особенно если объяснить товарищам, как высота планки зависит от номера этой планки

(хотя против самого возражения я и не возражаю; но -- звёзды тут так уж сошлись; что поделать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение04.11.2015, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Munin в сообщении #1068229 писал(а):
мат-ламер в сообщении #1068172 писал(а):
При чём тут интеграл? Там тоже дифференциалы. Но там их смысл абсолютно другой.

А в каком смысле другой?

В том смысле, что они не являются элементами пространства $R^n$, в отличии от дифференциалов, которые являются приращениями независимой переменной, о которых я писал.

-- Ср ноя 04, 2015 20:27:35 --

Munin в сообщении #1068229 писал(а):
Нет, разумеется, это элементы не одного пространства. $dx$ - элемент кокасательного пространства.

У нас многобразие не введено
мат-ламер в сообщении #1064469 писал(а):
Для простоты будем рассматривать числовую функцию на $R^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение04.11.2015, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
мат-ламер в сообщении #1070230 писал(а):
У нас многобразие не введено

Тем не менее, пространство другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение04.11.2015, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Я тут формулу Тейлора приводил
мат-ламер в сообщении #1068172 писал(а):
$f(x+dx)=f(x)+(f'(x),dx)+(f''(x)dx,dx)/2+...$

где $x$ складывается с $dx$. Значит они из одного пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение04.11.2015, 20:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вы ещё скажите, что в любом интересном пространстве можно к точкам векторы прибавлять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение04.11.2015, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
мат-ламер в сообщении #1070243 писал(а):
где $x$ складывается с $dx$. Значит они из одного пространства.

Нет, не значит.

arseniiv
Хуже, он к точкам точки прибавлять пытается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение05.11.2015, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
arseniiv в сообщении #1070257 писал(а):
Вы ещё скажите, что в любом интересном пространстве можно к точкам векторы прибавлять.

Насчёт любого интересного пространства я не в курсе. Есть учебники (Шварц), где действие разворачивается в аффинном пространстве. Но я сразу предупредил, что действие разворачивается в $R^n$.

-- Чт ноя 05, 2015 22:24:12 --

Munin в сообщении #1070263 писал(а):
Хуже, он к точкам точки прибавлять пытается.

А что плохого, что складываются две точки из $R^n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение05.11.2015, 21:35 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
мат-ламер
Вы совершенно напрасно приводили формулу Тейлора в таком post1070243.html#p1070243 виде, да еще аж два раза. Там никто никогда не пишет $dx$ в том месте, где он Вами написан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение05.11.2015, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Munin в сообщении #1070263 писал(а):
Нет, не значит.

Munin. Вы принципиально против того, что можно складывать $x$ и $dx$ в данном случае (формула Тейлора)?

-- Чт ноя 05, 2015 22:40:42 --

Otta в сообщении #1070590 писал(а):
мат-ламер
Вы совершенно напрасно приводили формулу Тейлора в таком post1070243.html#p1070243 виде, да еще аж два раза. Там никто никогда не пишет $dx$ в том месте, где он Вами написан.

А может не напрасно? А вы не заметили с какими комментариями я её привёл? И что там было до этого?

-- Чт ноя 05, 2015 22:54:41 --

Otta в сообщении #1070590 писал(а):
Там никто никогда не пишет $dx$ в том месте, где он Вами написан.

Я дал ссылку на Канатникова (математика в техническом университете).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение05.11.2015, 21:57 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
мат-ламер в сообщении #1070591 писал(а):
А может не напрасно? А вы не заметили с какими комментариями я её привёл? И что там было до этого?

Какая разница, с какими комментариями Вы к точке прибавляете дифференциальную 1-форму. :(

Если Вы хотели своими постами намекнуть на что-то, что прошло мимо моего внимания, умоляю, лучше скажите прямо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение05.11.2015, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1070602 писал(а):
Если Вы хотели своими постами намекнуть на что-то, что прошло мимо моего внимания, умоляю, лучше скажите прямо.

Надо срочно уходить в офф-топ. Завтра закончу мысль. Извините.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение05.11.2015, 22:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
мат-ламер
Ну ладно, а пока Вы ходите в свой офф- то ли топ, то ли лайн, я почитала книжечку, на которую Вы ссылаетесь, и убедилась в своих подозрениях.

Вы знаете, таки $\Delta x$ и $dx$ - две большие разницы. Путать их не положено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение05.11.2015, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
мат-ламер в сообщении #1070591 писал(а):
Munin. Вы принципиально против того, что можно складывать $x$ и $dx$ в данном случае (формула Тейлора)?

Нет, я принципиально против того, чтобы из верных посылок делать ошибочные выводы. Например, складывать не обязательно можно величины, принадлежащие одному множеству.

Otta в сообщении #1070609 писал(а):
Вы знаете, таки $\Delta x$ и $dx$ - две большие разницы. Путать их не положено.

В физике (элементарной, а не теоретической) положено. Точнее, тоже не положено, но не в том смысле, что $dx$ - дифформа, а в том, что это линейная часть $\Delta x.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение06.11.2015, 07:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
мат-ламер в сообщении #1070582 писал(а):
Но я сразу предупредил, что действие разворачивается в $R^n$.
Ah. Но это-то и плохо. В этом случае много вещей совпадают: потому можно сложить два элемента, а потом прибавить к ним элемент из касательного к третьему пространства. В общем случае ни складывать точки многообразия, ни прибавлять к ним векторы из касательного пространства нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение06.11.2015, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ни тем более из кокасательного.

-- 06.11.2015 14:46:02 --

Otta в сообщении #1070602 писал(а):
Какая разница, с какими комментариями Вы к точке прибавляете дифференциальную 1-форму. :(

Кстати, не хочу снова поднимать старый флейм, но прочитал забавную вещь, и она мне понравилась взглядом на вещи (в том числе, напомнила, что в математике всё как определим, так и будет).

    Вавилов. Конкретная теория колец
    § 3.5. Анализ по Ферма: дуальные числа.
    Цитата:
    Следующая замечательная конструкция была предложена Пьером де Ферма в 1638 году и переоткрыта Клиффордом и Штуди в XIX веке. Текст Ферма не дает никаких возможностей для истолкования его в инфинитезимальном смысле, в духе Лейбница, или в смысле теории пределов. Напротив, это чисто алгебраический текст, притом абсолютно строгий.

    1. Кольцо дуальных чисел. Пусть $K$ - произвольное поле, например, $K=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C},$ a $d$ - не принадлежащий $K$ элемент такой, что $d^2=0.$ Рассмотрим множество $K[d],$ элементами которого являются формальные линейные комбинации $1$ и $d$ с коэффициентами из $K$ (мы пишем просто $x+dy$ вместо $x1+yd,$ причем $x+dy=u+dv$ в том и только том случае, когда $x=u$ и $y=v$), сложение покомпонентное, а умножение продолжает умножение $1$ и $d$ по линейности, иными словами, для $x,y,u,v\in K$ имеем $(x+dy)(u+dv)=xu+d(xv+yu).$ Построенное так кольцо называется кольцом дуальных чисел над $K.$

    2. Нильпотенты. В частности, в $K[d]$ имеем $(dy)^2=0$ для любого $y\in K.$ Элементы $dy\in K[d]$ являются актуально бесконечно малыми первого порядка, рассматриваемыми с точностью до бесконечно малых второго порядка (понятия, относящиеся к актуально бесконечно малым, называются обычно инфинитезимальными - 'infinitesimal'). Это значит, что кольцо $K[d]$ уже достаточно для определения первых производных, причем в нем производная находится непосредственно как отношение бесконечно малых, а не как продел отношений конечных величин.

    3. Производные. Функция $f\colon K\mapsto K$ называется дифференцируемой, если ее можно продолжить на $K[d]$ так, чтобы отношение
    $$f'(x)=\dfrac{f(x+dy)-f(x)}{dy},$$ называемое производной $f,$ не зависело от выбора $y\in K.$ Для этого необходимо (но, вообще говоря, не достаточно), чтобы $f(x+dy)-f(x)$ было бесконечно малой. Разумеется, для дифференцируемой функции мы можем определить производную так, как это делается в анализе, заменив $dy$ на $dx$:
    $$f'(x)=\dfrac{f(x+dx)-f(x)}{dx},$$ замечательно, что нам не приходится при этом писать знака предела!

    4. Производные многочленов. ...
    5. Производные экспоненты и логарифма. ...
    6. Производные тригонометрических функций. ...

    Комментарий 2. Эта идея легко переносится и на производные высших порядков. при этом вместо кольца двойных чисел нужно рассматривать его обобщение - кольцо усеченных многочленов $K[t]/(t^n)$ которое мы введем в § ?. Разумеется, единственная сложность здесь доопределить функцию, априори заданную на $K,$ на всем $K[t]/(t^n).$ Конечно, для функций, заданных рядами (а только такие функции и рассматривались классиками!) этого вопроса не возникает.

    Комментарий 3. Построить чисто алгебраическую версию дифференциального исчисления бесконечного порядка не в пример сложнее. Наиболее известный подход предложен А.Робинсоном в его 'нестандартном анализе'...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group