Вторая производная

[ewert]

provincialka в сообщении #1068179 писал(а):

почему бы не ввести "оператор дифференцирования",

Это (для непродвинутых мемберов) можно (и полезно) разве что в линейных дифурах, где к понятию "оператор" не предъявляется каких-то очень уж жёстких требований.

В анализе же это не только вредно, но и не нужно. Там нужно наоборот -- интерпретировать производную как некий оператор. А это совсем другой коленкор, нежели оператор дифференцирования.

-- Пт окт 30, 2015 20:12:29 --

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1067794 писал(а):

В чём сакральный смысл использования обозначений $dx_1,...,dx_n$ для приращения независимой переменной остаётся загадкой. По-моему гораздо понятней использовать для этого дела $h_1,...,h_n$.

особенно если объяснить товарищам, как высота планки зависит от номера этой планки

(хотя против самого возражения я и не возражаю; но -- звёзды тут так уж сошлись; что поделать)

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1068229 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1068172 писал(а):

При чём тут интеграл? Там тоже дифференциалы. Но там их смысл абсолютно другой.

А в каком смысле другой?

В том смысле, что они не являются элементами пространства $R^n$, в отличии от дифференциалов, которые являются приращениями независимой переменной, о которых я писал.

-- Ср ноя 04, 2015 20:27:35 --

Munin в сообщении #1068229 писал(а):

Нет, разумеется, это элементы не одного пространства. $dx$ - элемент кокасательного пространства.

У нас многобразие не введено

мат-ламер в сообщении #1064469 писал(а):

Для простоты будем рассматривать числовую функцию на $R^n$.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1070230 писал(а):

У нас многобразие не введено

Тем не менее, пространство другое.

[мат-ламер]

Я тут формулу Тейлора приводил

мат-ламер в сообщении #1068172 писал(а):

$f(x+dx)=f(x)+(f'(x),dx)+(f''(x)dx,dx)/2+...$

где $x$ складывается с $dx$. Значит они из одного пространства.

[arseniiv]

Вы ещё скажите, что в любом интересном пространстве можно к точкам векторы прибавлять.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1070243 писал(а):

где $x$ складывается с $dx$. Значит они из одного пространства.

Нет, не значит.

arseniiv
Хуже, он к точкам точки прибавлять пытается.

[мат-ламер]

arseniiv в сообщении #1070257 писал(а):

Вы ещё скажите, что в любом интересном пространстве можно к точкам векторы прибавлять.

Насчёт любого интересного пространства я не в курсе. Есть учебники (Шварц), где действие разворачивается в аффинном пространстве. Но я сразу предупредил, что действие разворачивается в $R^n$.

-- Чт ноя 05, 2015 22:24:12 --

Munin в сообщении #1070263 писал(а):

Хуже, он к точкам точки прибавлять пытается.

А что плохого, что складываются две точки из $R^n$?

[Otta]

мат-ламер
Вы совершенно напрасно приводили формулу Тейлора в таком post1070243.html#p1070243 виде, да еще аж два раза. Там никто никогда не пишет $dx$ в том месте, где он Вами написан.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1070263 писал(а):

Нет, не значит.

Munin. Вы принципиально против того, что можно складывать $x$ и $dx$ в данном случае (формула Тейлора)?

-- Чт ноя 05, 2015 22:40:42 --

Otta в сообщении #1070590 писал(а):

мат-ламер
Вы совершенно напрасно приводили формулу Тейлора в таком post1070243.html#p1070243 виде, да еще аж два раза. Там никто никогда не пишет $dx$ в том месте, где он Вами написан.

А может не напрасно? А вы не заметили с какими комментариями я её привёл? И что там было до этого?

-- Чт ноя 05, 2015 22:54:41 --

Otta в сообщении #1070590 писал(а):

Там никто никогда не пишет $dx$ в том месте, где он Вами написан.

Я дал ссылку на Канатникова (математика в техническом университете).

[Otta]

мат-ламер в сообщении #1070591 писал(а):

А может не напрасно? А вы не заметили с какими комментариями я её привёл? И что там было до этого?

Какая разница, с какими комментариями Вы к точке прибавляете дифференциальную 1-форму. :(

Если Вы хотели своими постами намекнуть на что-то, что прошло мимо моего внимания, умоляю, лучше скажите прямо.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1070602 писал(а):

Если Вы хотели своими постами намекнуть на что-то, что прошло мимо моего внимания, умоляю, лучше скажите прямо.

Надо срочно уходить в офф-топ. Завтра закончу мысль. Извините.

[Otta]

мат-ламер
Ну ладно, а пока Вы ходите в свой офф- то ли топ, то ли лайн, я почитала книжечку, на которую Вы ссылаетесь, и убедилась в своих подозрениях.

Вы знаете, таки $\Delta x$ и $dx$ - две большие разницы. Путать их не положено.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1070591 писал(а):

Munin. Вы принципиально против того, что можно складывать $x$ и $dx$ в данном случае (формула Тейлора)?

Нет, я принципиально против того, чтобы из верных посылок делать ошибочные выводы. Например, складывать не обязательно можно величины, принадлежащие одному множеству.

Otta в сообщении #1070609 писал(а):

Вы знаете, таки $\Delta x$ и $dx$ - две большие разницы. Путать их не положено.

В физике (элементарной, а не теоретической) положено. Точнее, тоже не положено, но не в том смысле, что $dx$ - дифформа, а в том, что это линейная часть $\Delta x.$

[arseniiv]

мат-ламер в сообщении #1070582 писал(а):

Но я сразу предупредил, что действие разворачивается в $R^n$.

Ah. Но это-то и плохо. В этом случае много вещей совпадают: потому можно сложить два элемента, а потом прибавить к ним элемент из касательного к третьему пространства. В общем случае ни складывать точки многообразия, ни прибавлять к ним векторы из касательного пространства нельзя.

[Munin]

Ни тем более из кокасательного.

-- 06.11.2015 14:46:02 --

Otta в сообщении #1070602 писал(а):

Какая разница, с какими комментариями Вы к точке прибавляете дифференциальную 1-форму. :(

Кстати, не хочу снова поднимать старый флейм, но прочитал забавную вещь, и она мне понравилась взглядом на вещи (в том числе, напомнила, что в математике всё как определим, так и будет).

Вавилов. Конкретная теория колец
§ 3.5. Анализ по Ферма: дуальные числа.

Цитата:

Следующая замечательная конструкция была предложена Пьером де Ферма в 1638 году и переоткрыта Клиффордом и Штуди в XIX веке. Текст Ферма не дает никаких возможностей для истолкования его в инфинитезимальном смысле, в духе Лейбница, или в смысле теории пределов. Напротив, это чисто алгебраический текст, притом абсолютно строгий.

1. Кольцо дуальных чисел. Пусть $K$ - произвольное поле, например, $K=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C},$ a $d$ - не принадлежащий $K$ элемент такой, что $d^2=0.$ Рассмотрим множество $K[d],$ элементами которого являются формальные линейные комбинации $1$ и $d$ с коэффициентами из $K$ (мы пишем просто $x+dy$ вместо $x1+yd,$ причем $x+dy=u+dv$ в том и только том случае, когда $x=u$ и $y=v$), сложение покомпонентное, а умножение продолжает умножение $1$ и $d$ по линейности, иными словами, для $x,y,u,v\in K$ имеем $(x+dy)(u+dv)=xu+d(xv+yu).$ Построенное так кольцо называется кольцом дуальных чисел над $K.$

2. Нильпотенты. В частности, в $K[d]$ имеем $(dy)^2=0$ для любого $y\in K.$ Элементы $dy\in K[d]$ являются актуально бесконечно малыми первого порядка, рассматриваемыми с точностью до бесконечно малых второго порядка (понятия, относящиеся к актуально бесконечно малым, называются обычно инфинитезимальными - 'infinitesimal'). Это значит, что кольцо $K[d]$ уже достаточно для определения первых производных, причем в нем производная находится непосредственно как отношение бесконечно малых, а не как продел отношений конечных величин.

3. Производные. Функция $f\colon K\mapsto K$ называется дифференцируемой, если ее можно продолжить на $K[d]$ так, чтобы отношение


$$f'(x)=\dfrac{f(x+dy)-f(x)}{dy},$$

называемое производной $f,$ не зависело от выбора $y\in K.$ Для этого необходимо (но, вообще говоря, не достаточно), чтобы $f(x+dy)-f(x)$ было бесконечно малой. Разумеется, для дифференцируемой функции мы можем определить производную так, как это делается в анализе, заменив $dy$ на $dx$:


$$f'(x)=\dfrac{f(x+dx)-f(x)}{dx},$$

замечательно, что нам не приходится при этом писать знака предела!

4. Производные многочленов. ...
5. Производные экспоненты и логарифма. ...
6. Производные тригонометрических функций. ...

Комментарий 2. Эта идея легко переносится и на производные высших порядков. при этом вместо кольца двойных чисел нужно рассматривать его обобщение - кольцо усеченных многочленов $K[t]/(t^n)$ которое мы введем в § ?. Разумеется, единственная сложность здесь доопределить функцию, априори заданную на $K,$ на всем $K[t]/(t^n).$ Конечно, для функций, заданных рядами (а только такие функции и рассматривались классиками!) этого вопроса не возникает.

Комментарий 3. Построить чисто алгебраическую версию дифференциального исчисления бесконечного порядка не в пример сложнее. Наиболее известный подход предложен А.Робинсоном в его 'нестандартном анализе'...