Задача о цилиндре.

[PSP]

На цилиндре в пространстве задано n точек.
Вопрос :
1.Какое минимальное количество точек надо задать,чтобы из их координат можно было вычислить диаметр цилиндра?
2.Каков алгоритм вычисления диаметра цилиндра по координатам этих точек ?

[Munin]

Чтобы задать произвольный эллипс на плоскости, нужно 5 точек. Думаю, для однозначного задания цилиндра в пространстве нужно тоже 5. (Если все они в одной плоскости, то они задают эллиптическое сечение цилиндра этой плоскостью.)

Я бы при помощи МНК нашёл положение оси цилиндра.

[PSP]

Munin в сообщении #1061209 писал(а):

Чтобы задать произвольный эллипс на плоскости, нужно 5 точек. Думаю, для однозначного задания цилиндра в пространстве нужно тоже 5. (Если все они в одной плоскости, то они задают эллиптическое сечение цилиндра этой плоскостью.)

Я бы при помощи МНК нашёл положение оси цилиндра.

Откуда инфа про 5 точек ?
И что такое МНК ?

[Munin]

Про 5 точек легко догадаться самому, если начать с окружности, проведённой через произвольные 3 точки, а затем попытаться менять направление большой полуоси и эксцентриситет эллипса. Получатся ещё две степени свободы, которые надо зафиксировать.

МНК = метод наименьших квадратов.

[Sender]

Munin в сообщении #1061209 писал(а):

Я бы при помощи МНК нашёл положение оси цилиндра.

А вот так не получится. Видимо, придётся искать прямую в пространстве, расстояния от которой до всех точек одинаковы.

[provincialka]

Munin в сообщении #1061209 писал(а):

Думаю, для однозначного задания цилиндра в пространстве нужно тоже 5. (Если все они в одной плоскости, то они задают эллиптическое сечение цилиндра этой плоскостью.)

А разве, зная сечение, мы можем узнать и направление оси? По-моему, оно достаточно произвольно! То есть ось можно направить в любую сторону, проведя ее через центр эллипса.

[Утундрий]

PSP
Нелепая какая-то формулировка. Если в пространстве уже задано $n$ точек, то при чём здесь их минимально необходимое для задания цилиндра количество? Или сам цилиндр как-то задан? Тогда ответ будет $0$. Вы бы определились сперва, что задано, а что нужно найти.

[PSP]

Эллипс - кривая второго порядка.
Существует теорема :

Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками(на плоскости),если никакие 4 из них не лежат на одной прямой.

И существует чёткий и простой алгоритм получения уравнения кривой второго порядка по этим 5 точкам.
(см.Корн "Справочник по математике" ,стр .69)

Вывод - задав 5 точек,как в теореме, мы получим либо эллипс,либо гиперболу,либо параболу.

Какие ограничения надо наложить на эти 5 точек ещё, кроме требования ( никакие 4 из них не лежат на одной прямой),чтобы гарантировано задать эллипс ?

И далее,если эллипс - сечение цилиндра плоскостью, то однозначно ли он определяет цилиндр ?

[provincialka]

Утундрий
Вот и я тоже пыталась как-то переформулировать задачу понятнее... Пока не вышло... Видимо, имеется в виду что-то такое: "Сколько точек надо задать, чтобы можно было вычислить диаметр проведенного через них цилиндра"

[PSP]

Утундрий в сообщении #1061229 писал(а):

PSP
Нелепая какая-то формулировка. Если в пространстве уже задано $n$ точек, то при чём здесь их минимально необходимое для задания цилиндра количество? Или сам цилиндр как-то задан? Тогда ответ будет $0$. Вы бы определились сперва, что задано, а что нужно найти.

Ну,заменю постановку так :
1.Сколько нужно минимально задать в пространстве точек,чтобы они лежали на единственном цилиндре ?
2.Как по этим точкам вычислить диаметр цилиндра ?

[provincialka]

Не хочется додумывать до конца... Но может взять общее уравнение поверхности второго порядка и учесть число ограничений, которые выделяют именно цилиндры?
Кстати, для эллипса есть требование общего положения точек (никакие 3 не лежат на одной прямой). Но вот какое аналогичное условие надо наложить в задаче?

[Sender]

Кстати, цилиндры имеются в виду круговые или ещё какие-нибудь?

[PSP]

provincialka в сообщении #1061237 писал(а):

Не хочется додумывать до конца... Но может взять общее уравнение поверхности второго порядка и учесть число ограничений, которые выделяют именно цилиндры?
Кстати, для эллипса есть требование общего положения точек (никакие 3 не лежат на одной прямой). Но вот какое аналогичное условие надо наложить в задаче?

Откуда взято выделенное ?
И если считать, что из 5 точек никакие 3 не лежат на одной прямой, то отсюда следует, что тогда и никакие 4 не лежат на одной прямой ? Так ?

-- Сб окт 10, 2015 23:08:45 --

Sender в сообщении #1061238 писал(а):

Кстати, цилиндры имеются в виду круговые или ещё какие-нибудь?

Да,только круговые.

-- Сб окт 10, 2015 23:21:02 --

Впрочем,задачу можно решить так :
1.3 точки однозначно определяют окружность.
2.Окружность определяет однозначно цилиндр,коий через него проходит.
Правильно ?
Отсюда уже и диаметр и т.п..

[Sender]

Munin в сообщении #1061209 писал(а):

Думаю, для однозначного задания цилиндра в пространстве нужно тоже 5.

По моим грубым прикидкам для однозначного определения оси получается 6 точек общего положения. Прямая в 3-хмерном пространстве задаётся двумя векторами минус одна степень свободы, т.е. 5 параметров. Для получения 5 уравнений требуется попарно приравнять 6 расстояний от этих точек до оси.

[12d3]

Sender в сообщении #1061243 писал(а):

Прямая в 3-хмерном пространстве задаётся двумя векторами минус одна степень свободы, т.е. 5 параметров.

4 параметра должно быть. Если уравнение $\mathbf{r}=\mathbf{r_0} + k\mathbf{n}$, где $|\mathbf{n}|=1$ - это пять степеней свободы, минус одна степень, потому что начальная точка может ездить вдоль прямой.