Задача о цилиндре.

[Otta]

Не, двух даже при таком условии не хватит. Направление оси будет непонятно.

[INGELRII]

Ну а если по-простому, по рабоче-крестьянски: круговой цилиндр задается:
1) Радиусом основания, это один параметр;
2) Координатами вектора смещения оси в перпендикулярной ей плоскости, это еще два параметра;
3) Вращением оси в пространстве, это еще два (не три, потому что вращение цилиндра вокруг его же оси ничего не меняет).

Итого пять параметров. С другой стороны, цилиндр в трехмерном пространстве задается одним уравнением. Соответственно, при подстановке туда координат одной известной точки получаем одно уравнение, связывающее параметры. Чтобы найти пять параметров, надо пять уравнений.

То есть пять точек.

С другой стороны очевидно, что далеко не любые пять точек подойдут - скажем, если все они лежат на одной прямой, то есть аж бесконечно много цилиндров самых разных диаметров, на которых они лежат. Тут уже думать надо, неохота.

[Munin]

INGELRII в сообщении #1061505 писал(а):

2) Координатами вектора смещения оси в перпендикулярной ей плоскости...
3) Вращением оси в пространстве...

Это всё чё такое, если по-русски?

[INGELRII]

Munin
Ладно, попытаюсь по-русски. Нам нужен произвольный круговой цилиндр и мы хотим знать, сколько параметров его задают.

Берем для начала семейство цилиндров с осью, совпадающей с $Oz$. У него параметров пока ровно один, радиус.

Теперь берем семейство всех цилиндров с осью, параллельной $Oz$. По сравнению с предыдущим семейством, тут добавились еще два параметра: координаты точки пересечения оси и плоскости $Oxy$.

Ну и берем третье семейство всех круговых цилиндров вообще. Из предыдущего оно получается просто вращением, и тут добавляются параметры, задающие вектор направления оси. Для этого собственно достаточно на единичной сфере указать точку, которая этому вектору служит концом (а началом - начало координат). А это делается при помощи двух углов, хорошо всем знакомых из формул сферических координат. Итого еще плюс два параметра.

В сумме пять.

Вроде ответил.

-- 11.10.2015, 23:54 --

(Оффтоп)

Кстати, "че" сейчас модно писать через букву "о"

[Утундрий]

Я понимаю задачу так: в пространстве заданы координаты $n$ точек и требуется определить, при каких условиях на координаты эти точки определяют единственный круговой цилиндр. Ну и найти параметры этого цилиндра.

[Mihaylo]

INGELRII в сообщении #1061505 писал(а):

Чтобы найти пять параметров, надо пять уравнений.

Всегда ли это так? Точка в пространстве имеет три координаты - итого, 5 точек = 15 чисел... Извините, мож я туплю?

[INGELRII]

Mihaylo
Распространенная ошибка Давайте на примере окружности на плоскости: она задается тремя параметрами, радиусом и координатами центра. У точки на плоскости две координаты. Стало быть что же, по-вашему, двух точек хватит для задания окружности? $2 \cdot 2 = 4 > 3$

Смотрите: уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, и что получится, когда мы туда подставим одну точку с координатами $(x_1, y_1)$? Получится ровно одно уравнение относительно параметров $x_0, y_0, R$. Ну и сколько ж нужно уравнений для однозначного нахождения трех параметров? Три. Значит, и точки три.

По поводу сломанных копий на тему когда точки задают цилиндр однозначно, когда нет: мне просто лениво этим вопросом заниматься, и вот почему. Я так понимаю, что задача ТС пришла из практики. А значит шанса, что ему попадутся такие точки, что цилиндра они не задают, практически нулевой. Ибо если точки "плохие", то их координаты должны удовлетворять некоему уравнению $F(x_1, y_1, z_1, x_2, ..., z_5) =0$. А значит, описываются некоей поверхностью в пространстве координат $(x_1, y_1, ..., y_5, z_5)$. То есть случай "плохих" точек есть множество меры нуль по сравнению с множеством "хороших". Ну и тьфу на него...

[provincialka]

INGELRII
Согласна, что разбирать подобно все варианты "плохих" расположений точек -- занятие не из самых веселых. Но все-таки насчет "меры 0" не совсем ясно. Например, не может ли там быть "невыпуклого" случая(когда 4 точки "не позволяют" пятой находиться в некоей области пространства)? Интуитивно кажется, что нет.. Но очевидного доказательства не видно.

[INGELRII]

Моя идея была крайне проста. Вот на примере системы линейных уравнений, там в решении возникает дискриминант в знаменателе. И потому мы говорим: ага, случаи, когда этот дискриминант равен нулю, и есть плохие. Ну и понятно, что если наугад взять числа и подставить их в выражение дискриминанта, то практически всегда получим не равный нулю результат. Просто потому что ноль есть лишь один, а ненулей бесконечно много. Теперь про наш старый добрый цилиндр...

Я таки взял и выписал его общее параметрическое уравнение: $(x \cos{\psi} - y \sin{\varphi} \sin{\psi} - z \cos{\varphi} \sin{\psi} - x_0)^2 + (y \cos{\varphi} - z \sin{\varphi} -y_0)^2 = R^2$. Красота какая. Теперь подставим туда пять заданных точек $(x_i, y_i, z_i), i =1, 2, 3, 4, 5$, получаем пять уравнений относительно параметров $R, x_0, y_0, \varphi, \psi$. Ура! Ну и берем да и решаем эту систему, мы же крутые. Так вот, в ходе решения этой системы наверняка выскочит какое-нибудь выражение в знаменателе, под корнем, а то и под логарифмом. Это и будет здешний дискриминант. Он и будет критерием плохости точек.

Так давайте кто-нибудь эту систему решит. А я искренне повосхищаюсь таким подвигом. Потому что я-то ее не решу, даже пытаться не стану.

[provincialka]

INGELRII
Ну, под корнем должно ведь быть неотрицательное значение, а это уже не "мера 0". Может. можно как-то геометрически, без уравнений... Впрочем, лень.

[Sender]

Утундрий в сообщении #1061566 писал(а):

Я понимаю задачу так: в пространстве заданы координаты $n$ точек и требуется определить, при каких условиях на координаты эти точки определяют единственный круговой цилиндр. Ну и найти параметры этого цилиндра.

Если отталкиваться от этой формулировки, задачу можно разделить на 2 подзадачи:
1. При каких условиях через эти точки можно провести хотя бы один круговой цилиндр?
2. При каких условиях этот цилиндр будет единственным?
Что касается первой задачи, пока видно только одно необходимое условие: ни одна из точек не должна лежать внутри выпуклой оболочки всех остальных. Для $5$ точек доказательство соорудить не так трудно. В самом деле: допустим, некоторая из этих $5$ точек (назовём её точкой $A$) лежит внутри выпуклой оболочки остальных, но через все $5$ точек можно провести цилиндр. Выпуклая оболочка этих $4$ точек общего положения есть тетраэдр. Проекция этого тетраэдра на любую плоскость представляет собой треугольник или четырёхугольник, внутри которого лежит проекция точки $A$ на эту же плоскость. Рассмотрим проекцию этого тетраэдра на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра(будем для краткости именовать эту проекцию $p$). $p$ будет представлять собой треугольник или четырёхугольник, вписанный в окружность, представляющую собой сечение цилиндра этой плоскостью. С одной стороны, точка $A$ лежит строго внутри $p$, с другой стороны, $A$ лежит на окружности, описанной около $p$ - противоречие.

Что касается второй подзадачи, тут всё совсем просто. Назовём цилиндрисой кривую пересечения двух произвольных круговых цилиндров. Если через некоторые $n$ точек можно провести хотя бы один круговой цилиндр, то он будет единственным, если эти $n$ точек не лежат на одной цилиндрисе.

INGELRII в сообщении #1061637 писал(а):

Так давайте кто-нибудь эту систему решит.

А систему эту пусть вольфрам решает, он железный.

[INGELRII]

Sender
Шикарное решение второй подзадачи И Вы прямо для любых точек можете сразу сказать, лежат ли они на одной цилиндрисе или нет? Честно-честно?

[Munin]

Утундрий
Вы достигли непревзойдённых высот в понимании задач. Хотелось бы услышать от вас что-нибудь и о решении.

Sender в сообщении #1061644 писал(а):

Что касается второй подзадачи, тут всё совсем просто. Назовём цилиндрисой кривую пересечения двух произвольных круговых цилиндров. Если через некоторые $n$ точек можно провести хотя бы один круговой цилиндр, то он будет единственным, если эти $n$ точек не лежат на одной цилиндрисе. :-)

Теперь вот такой вот встречный вопрос: сколько точек задают цилиндрису однозначно? Потому что если это число меньше 5, то точки общего положения не лежат на цилиндрисе, попадание на цилиндрису образует меру 0. А вот если это число 5... (если больше, то вообще всё плохо). Если 5, то надо разбираться отдельно.

Sender в сообщении #1061644 писал(а):

С одной стороны, точка $A$ лежит строго внутри $p$, с другой стороны, $A$ лежит на окружности, описанной около $p$ - противоречие.

Из этого доказательства видно, что требование "ни одна из точек не должна лежать внутри выпуклой оболочки всех остальных" недостаточное. Вне треугольника, но внутри окружности, есть ещё много места (ненулевая мера), так что могут быть такие положения точек, что они удовлетворяют требованию, но не лежат на цилиндре.

(Например, возьмём точку внутри тетраэдра, и будем её выводить наружу через грань. Когда точка находится на грани, цилиндра ещё нет, и в первый момент, когда она оказывается снаружи грани, цилиндра тоже ещё нет.)

Так что, задача ещё не решена.

[Утундрий]

Munin в сообщении #1061667 писал(а):

Хотелось бы услышать от вас что-нибудь и о решении.

Полагаю, что оно громоздко.

[Sender]

Munin в сообщении #1061667 писал(а):

Хотелось бы услышать от вас что-нибудь и о решении.

На всякий случай, в моём посте не содержится решения, только некоторые мысли вслух. А про цилиндрису это скорее шутка была, на что намекал смайлик. Или, если угодно, альтернативный взгляд на проблему, поскольку задача исследования этого объекта ничуть не легче исходной.