Матричное уравнение

[karandash_oleg]

Есть вопрос по задаче, потому как не получается решить полученную систему уравнений, после матричных преобразований:

Решить уравнение: $A^2=A$, где $A=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix}$

$A^2=\begin{pmatrix} a^2+bc&ab+bd \\ ac+cd&cb+d^2 \\ \end{pmatrix}$$

$\begin{pmatrix} a^2+bc&ab+bd \\ ac+cd&cb+d^2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{array}{rcl} a^2+bc&=&a \\ ab+bd&=& b\\ ac+dc&=& c\\ cb+d^2&=& d\\ \end{array} \right.$

Тут явно вырисовывается четыре ситуации $b=0, c\ne 0$, $b\ne 0, c=0$, $b=c=0$, $b\ne 0, c\ne 0$.

1) $b=0, c\ne 0$, тогда $c$ -- любое $d=0$ или $d=1$, $a=0$ или $a=1$

2) $b\ne 0, c=0$, тогда $b$ -- любое $d=0$ или $d=1$, $a=0$ или $a=1$

3) $b=c=0$, $d=0$ или $d=1$, $a=0$ или $a=1$

4) $b\ne 0, c\ne 0$, тогда

$\left\{ \begin{array}{rcl} a^2+bc&=&a \\ a+d&=& 1\\ cb+d^2&=& d\\ \end{array} \right.$

Были такие мысли, что $bc=a-a^2=d-d^2$

Но и это уравнение вырождается в $a+d=1$. Видно тут можно взять $d$ за параметр? Но как $b,c$ выразить через него?

[Dan B-Yallay]

Представьте, что это не матричное, а обычное уравнение с неизвестным $x$.
Как бы вы решали?

[provincialka]

karandash_oleg в сообщении #1057507 писал(а):

Были такие мысли, что $bc=a-a^2=d-d^2$

Но и это уравнение вырождается в $a+d=1$.

Это не все варианты. Может быть еще $a = d$
И вообще у вас перебор неаккуратный. Например, в 1) может ли быть одновременно $a=d=0$?

Все-таки лучше разбить все решения на два случая: $a+d=1$ и $a+d\ne 1$

[Munin]

(Оффтоп)

Пытаюсь представить себе геометрический образ множества решений. С заменой координат
$\begin{cases}x=\tfrac{1}{2}(b+c)\\y=\tfrac{1}{2}(b-c)\\z=a-\tfrac{1}{2}\\\end{cases}$
получается миленький такой гиперболоид

$$x^2-y^2+z^2=\tfrac{1}{4}.$$

Ну разумеется, это не всё решение, а самая интересная его часть...

Цитата:

Где гиперболоид? Там 4 переменных... В четырехмерном пространстве?

Ну да, в четырёхмерном, но можно рассмотреть его 3-мерное подпространство, а вне него решений немного...

[kw_artem]

Наложите дополнительное условие: т.к. матрица $A$ -- квадратная, то предположите, что её определитель равен нулю (в случаях, когда не равен, ответ весьма прост, как можете сами убедиться). Тем самым, получите ещё одно соотношение между элементами матрицы. Если подставите его в вашу первую систему, а все члены перенесете в левую сторону (так что справа каждого уравнения системы будет $...=0$), и вынесете за скобки множители, то получите очень удобную для решения форму системы, что решите её за раз, даже перебирать ничего не придется.

[Red_Herring]

Известный анекдот про студентов и приматов писал(а):

А что тут думать?!! Прыгать надо!!!

Оператор удовлетворяющий указанному уравнению имеет вполне простой смысл и называется проектором (хотя, возможно, неортогональным).

* Каким может быть ранг проектора в 2-мерном пространстве?
* Какой есть единственный нетривиальный случай?

[Munin]

(Оффтоп)

А я думал, идемпотентом...

[Red_Herring]

(Оффтоп)

В некотором смысле идемпотент более общее понятие. Зато и менее наглядное. Кстати $A^2=A \iff B^2=I$ с $B=I-2A$, $B$ отражение, опять-таки необязательно ортогональное.

[sergei1961]

В большой науке это называется матричное уравнение Риккати, есть целые книги про него (матричное квадратное уравнение). Для студента можно попробовать сначала спектр найти, а потом выписать матрицы с таким спектром и сделать проверку. Как бы теорема Гамильтона-Кэли, но в обратную сторону.

[Munin]

Вы меня заинтересовали,  сволочи 
Пойду смотреть, что там в матрице $3\times 3$ творится.

[g______d]

Классифицировать все проекторы в размерности 3 не сложно. 4 варианта: $0$, $I$, $\frac{u\otimes v}{u\cdot v}$, $I-\frac{u\otimes v}{u\cdot v}$.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1057637 писал(а):

Классифицировать все проекторы в размерности 3 не сложно

Некие сложности начинаются с 4, потому как там есть воистину 2-мерные проекторы

[karandash_oleg]

Dan B-Yallay в сообщении #1057509 писал(а):

Представьте, что это не матричное, а обычное уравнение с неизвестным $x$.
Как бы вы решали?

Я понимаю, что можно так $A^2=A\;\Leftrightarrow\;(A-E)A=0$, но разве это упростит дело?

-- 29.09.2015, 18:20 --

Нельзя же здесь сказать, что или $A=0$ или $A-E=0$

Под $0$ я понимал матрицу из нулей

-- 29.09.2015, 18:24 --

provincialka в сообщении #1057510 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1057507 писал(а):

Но и это уравнение вырождается в $a+d=1$.

Это не все варианты. Может быть еще $a = d$
И вообще у вас перебор неаккуратный. Например, в 1) может ли быть одновременно $a=d=0$?

Все-таки лучше разбить все решения на два случая: $a+d=1$ и $a+d\ne 1$

Хорошо. Действительно, так будет аккуратнее.

1) $a+d=1$. Тут все равно не знаю -- что дальше делать

2) $a+d\ne 1$. Тут ясно, что $b=c=0$, при этом $a=1$ или $a=0$ и $d=1$ или $d=0$.

[Munin]

karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):

Нельзя же здесь сказать, что или $A=0$ или $A-E=0$

Под $0$ я понимал матрицу из нулей

Нет, здесь сложнее. Поскольку в матрицах бывают делители нуля, то приходится говорить, что $A$ и $A-E$ - пара таких делителей. Если рассматривать матрицы как линейные преобразования, то $\operatorname{im}A\subseteq\ker(A-E).$

[Munin]

Вспомнил, наконец, что проекторы бывают неортогональные. Теперь всё состыковалось вместе.

1. Red_Herring
Проектор задаётся однозначно двумя подпространствами: подпространством, на котором он действует тождественно (образ), и подпространством, которое он обнуляет (ядро). Они дополнительны, их сумма равна полному пространству.

В 2 измерениях проектор ранга 1 задаётся двумя прямыми. Отсюда, пространство решений 2-мерно - гиперболоид. Симметрии гиперболоида приобретают наглядный смысл: круговая симметрия отвечает вращению обеих прямых вокруг начала координат, а гиперболическая симметрия - различным наклонам "нулевой" прямой относительно единичной.

Можно сразу "на пальцах" сказать, что любой проектор ранга 1 в пространстве размерности $n$ будет квадратичной поверхностью, устроенной как гиперболоид сигнатуры $(\tfrac{n(n-1)}{2},\tfrac{n(n-1)}{2}).$ Я бы сказал нечто аналогичное и для ранга $m,$ но испугался замечания Red_Herring о 4-мерном пространстве.

2. sergei1961
Как я понял, задача состоит в том, чтобы разыскать множество матриц, характеристический многочлен которых будет совпадать с тем матричным многочленом, который рассматривается изначально. Так что, может быть, задачу можно поставить не только для квадратных уравнений, но и для высших степеней.

И наконец, благодаря вашему указанию я не поленился и нашёл собственные числа и векторы 2-мерной матрицы. Это помогло всё понять.

3. g______d
Ваша подсказка помогла понять общий вид проектора. Теперь будет попроще разбираться со случаями размерности 3 и 4.