2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10415
Hogtown
Если $P$ -проектор, то$ I-P$ тоже, просто образ и ядро меняются местами и потому достаточно описать проекторы с рангом, не превосходящим половину размерности

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Спасибо, а то я засомневался, что там разные гиперболоиды получаются...

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Munin в сообщении #1057665 писал(а):
Как я понял, задача состоит в том, чтобы разыскать множество матриц, характеристический многочлен которых будет совпадать с тем матричным многочленом, который рассматривается изначально.


Не характеристический, а минимальный. И не совпадает, а делит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
У как сложно. Тогда не буду углубляться в это. Буду тихо-мирно искать проекторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 20:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
На самом деле можете в 2d рассмотреть все 3 варианта и вычислить характеристический многочлен у каждого из них. Можете даже в уме.

-- Вт, 29 сен 2015 10:44:33 --

В общем случае я не уверен, но думаю, что множество проекторов находится в соответствии с чем-то вроде что-то вроде $\mathrm{GL(n)}/(\mathrm{GL(k)}\times\mathrm{GL(n-k)})$, по аналогии с грассманианом. Возможно, кроме случая $n=2k$. Но я не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9582
Кентакска волост
karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):
Нельзя же здесь сказать, что или $A=0$ или $A-E=0$

Нет, нельзя. У меня была мысля протолкнуться через характеристический многочлен, но она расползлась по швам. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 22:34 


25/08/11

1074
Есть ещё такая популярная статья на тему: С.И.Гельфанд. О числе решений квадратного уравнения. Глобус, общематический семинар, выпуск 1, 2004. Может кому интересно. Там на уровне простых примеров вроде этого и философских рассуждений.
Автор правда не знал, что есть и монографии, и законченные теории про ур. Риккати, и матричное, и дифференциальное. Правда, один хороший математик сказал мне, что в книгах есть проколы, и он построил свою теорию. Не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
g______d в сообщении #1057694 писал(а):
На самом деле можете в 2d рассмотреть все 3 варианта

2d меня уже не интересует. Я уже построил картинку. Лень только нарисовать её в графредакторе и выложить.

Меня сейчас интересует вопрос, как выглядит геометрическое место ортогональных проекторов ранга $m$ в $n$ измерениях при $m\geqslant 2,\quad n-m\geqslant 2.$

g______d в сообщении #1057694 писал(а):
В общем случае я не уверен, но думаю, что множество проекторов находится в соответствии с чем-то вроде что-то вроде $\mathrm{GL(n)}/(\mathrm{GL(k)}\times\mathrm{GL(n-k)})$, по аналогии с грассманианом. Возможно, кроме случая $n=2k$. Но я не уверен.

Красивая формула, но я боюсь даже начать её читать пока :-) (Кстати, а $n=2k$-то чем выделен?)
Меня скорее интересует суметь найти эту вещь в явном виде, а не написать абстрактно.

sergei1961
Спасибо. Попробую глянуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Я смотрю, наши высокоумные товарищи "решают общую задачу о столе с произвольным числом ножек"? Похвально...
Но у ТС-а пока система четырех уравнений нерешанная стоит...
Вычитая первое уравнение из последнего, можно переписать ее в виде
$$\left\{
\begin{array}{lcl}
 a^2+bc&=&a \\
b(a+d-1)&=& 0\\
c(a+d-1)&=& 0\\
(a-d)(a+d-1)&=& 0\\
\end{array}
$$
Если $a+d = 1$, то последние равенства выполняются.
karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):
1) $a+d=1$. Тут все равно не знаю -- что дальше делать

Ну что? Оставлять первое равенство. Получим семейство решений с двумя параметрами.

karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):
Я понимаю, что можно так $A^2=A\;\Leftrightarrow\;(A-E)A=0$, но разве это упростит дело?

Нет, не упростит. А вот определитель слева и справа в $A^2 = A$ взять можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Munin, Сначала можете подумать, как выглядит ГМТ всех $k$-мерных подпространств $n$-мерного пространства. Это не так тривиально. Ключевые слова "грассманиан" и "многообразие Грассмана".

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Может, стоит разделить тему на две? Уж слишком два обсуждения разные по уровню... Или это сложно, так как перемешано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
provincialka в сообщении #1057714 писал(а):
Но у ТС-а пока система четырех уравнений нерешанная стоит...
Вычитая первое уравнение из последнего, можно переписать ее в виде

Ну не надо до мелочей-то разжёвывать, пускай и сам что-то сделает. (Тем более что полный ответ тут в теме прозвучал ненароком... Правда, в достаточно "зашифрованном" виде.)

Я вообще гляжу, ТС в теме почти не появляется.

-- 29.09.2015 23:23:12 --

g______d в сообщении #1057721 писал(а):
Munin, Сначала можете подумать, как выглядит ГМТ всех $k$-мерных подпространств $n$-мерного пространства.

Ну да, я об этом и говорил. Просто "ГМТ подпространств" как-то подозрительно невнятно звучит :-) (ГМТ в каком пространстве?)

g______d в сообщении #1057721 писал(а):
Это не так тривиально.

Это я заметил.

g______d в сообщении #1057721 писал(а):
Ключевые слова "грассманиан" и "многообразие Грассмана".

Я по вашим ключевым словам боюсь ходить: заинтересуешься частным ответом на частный вопрос, а там сначала надо теории прочитать килограмма три :-) Я уже с "теорией Галуа" напарывался, долго ещё не сунусь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Munin в сообщении #1057725 писал(а):
Ну не надо до мелочей-то разжёвывать, пускай и сам что-то сделает.

Ну, то что я написала, ТС уже сделал, как я поняла )))
Munin в сообщении #1057725 писал(а):
Я вообще гляжу, ТС в теме почти не появляется.

Да уж... И поэтому ее оккупировали всякие высоколобые умники!

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Munin в сообщении #1057725 писал(а):
Ну да, я об этом и говорил. Просто "ГМТ подпространств" как-то подозрительно невнятно звучит :-) (ГМТ в каком пространстве?)

Это скорее ещё и ответ на вопрос "как ввести естественную структуру многообразия на множестве всех подпространств". Если помните, проективное пространство — это частный случай для $k=1$, т. е. множество всех прямых.

Вложить его тоже куда-то можно; на самом деле оно является даже алгебраическим многообразием и вкладывается (алгебраически) в проективное пространство достаточно большой размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение30.09.2015, 00:12 


04/06/13
203
provincialka в сообщении #1057714 писал(а):
Я смотрю, наши высокоумные товарищи "решают общую задачу о столе с произвольным числом ножек"? Похвально...
Но у ТС-а пока система четырех уравнений нерешанная стоит...
Вычитая первое уравнение из последнего, можно переписать ее в виде
$$\left\{
\begin{array}{lcl}
 a^2+bc&=&a \\
b(a+d-1)&=& 0\\
c(a+d-1)&=& 0\\
(a-d)(a+d-1)&=& 0\\
\end{array}
$$
Если $a+d = 1$, то последние равенства выполняются.
karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):
1) $a+d=1$. Тут все равно не знаю -- что дальше делать

Ну что? Оставлять первое равенство. Получим семейство решений с двумя параметрами.

karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):
Я понимаю, что можно так $A^2=A\;\Leftrightarrow\;(A-E)A=0$, но разве это упростит дело?

Нет, не упростит. А вот определитель слева и справа в $A^2 = A$ взять можно.


Спасибо большое! Так вроде как вот оно решение уже или я что-то не так понял?

-- 30.09.2015, 00:13 --

Да, не много путают меня многообразия-проекторы-грассмианы, вроде бы и хочется вникнуть, но понимаешь, что еще рановато....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group